1 Dokažte nerovnost |𝑥 + 𝑦| ≤ |𝑥| + |𝑦|, která platí pro jakákoli reálná 𝑥, 𝑦. (Stačí Vám projít
všechny čtyři kombinace znamení 𝑥 a 𝑦.)
2 Mějme 𝜌(𝑥, 𝑦) = |𝑥−𝑦|. Dokažte, že (ℝ, 𝜌) je metrický prostor. (Prostě zkontrolujte jednotlivé
body definice.)
3 Nakreslete jednotkové kružnice kolem počátku v prostorech (ℝ2
, 𝜌1) a (ℝ2
, 𝜌∞), kde 𝜌1 je taxikářská
metrika a 𝜌∞ je maximální metrika. Pro body [𝑥1; 𝑦1] a [𝑥2; 𝑦2] platí 𝜌1 = |𝑥2 − 𝑥1| + |𝑦2 − 𝑦1|
a 𝜌∞ = max{|𝑥2 − 𝑥1|, |𝑦2 − 𝑦1|}.
4 Určete vzdálenost bodu [1; 1] od přímky 𝑦 = −𝑥:
1. v taxikářské metrice; 2. v eukleidovské metrice; 3. v maximální metrice.
5 Uvažme metrický prostor ℝ2
s eukleidovskou metrikou. Které z následujících množin jsou
v něm otevřené? Které jsou uzavřené?
1. množina obsahující jediný bod [0; 0]; 2. přímka 𝑦 = 𝑥; 3. kruh 𝑥2
+ 𝑦2
< 1;
4. čtverec ⟨0; 1) × ⟨0; 1); 5. elipsa 𝑥2
+ 𝑦2
/4 ≤ 1; 6. celé ℝ2
.
6 Mějmemetrickýprostor,kterýjetvořenintervalem(0; 1)astandardnímetrikou 𝜌(𝑥, 𝑦) = |𝑥−𝑦|,
a uvažme na něm posloupnost { 1
2 𝑛 } pro 𝑛 = 1, 2, 3,…
1. Je ta posloupnost cauchyovská? 2. Konverguje k něčemu? Pokud ne, co je tam za problém?
Pampeliškový prostor
Prostor ℝ2
s metrikou
𝜌([𝑥1; 𝑦1], [𝑥2; 𝑦2]) = {
√(𝑥2 − 𝑥1)2 + (𝑦2 − 𝑦1)2 , je-li 𝑥2 = 𝑘𝑥1, 𝑦2 = 𝑘𝑦1 pro 𝑘 ≥ 0;
√𝑥2
1 + 𝑦2
1 + √𝑥2
2 + 𝑦2
2 jinak.
se nazývá pampeliškový prostor. Vaším úkolem bude o něm v dalším zjistit všelijaké věci.
7 Popište slovně, jak se počítá vzdálenost v tomto prostoru, tak, aby to každý intuitivně pochopil.
Můžete k tomu nakreslit i obrázek.
8 Dokažte, že je to metrický prostor.
9 Najděte nějakou podmnožinu ℝ2
, která bude mít v pampeliškové metrice větší průměr než
v eukleidovské.
10 Nakreslete v této metrice kružnice kolem bodu [1; 0] o poloměrech 1
2, 1, 2 a 5.
11 Vymezíme v ℝ2
nějakou množinu bodů takovou, že mezi každou dvojicí (navzájem různých)
bodů z této množiny je vzdálenost 1.
1. Kolik nejvíc bodů může taková množina obsahovat, počítáme-li vzdálenost v eukleidovské metrice?
2. A kolik nejvíc bodů tam může být, užijeme-li pampeliškové metriky?
12 Najděte nějakou nekonečnou posloupnost, která by v eukleidovské metrice konvergovala, ale
v pampeliškové nikoli.