1 Dokažte nerovnost |𝑥 + 𝑦| ≤ |𝑥| + |𝑦|, která platí pro jakákoli reálná 𝑥, 𝑦. (Stačí Vám projít
všechny čtyři kombinace znamení 𝑥 a 𝑦.)
2 Mějme 𝜌(𝑥, 𝑦) = |𝑥−𝑦|. Dokažte, že (ℝ, 𝜌) je metrický prostor. (Prostě zkontrolujte jednotlivé
body definice.)
3 Nakreslete jednotkové kružnice kolem počátku v prostorech (ℝ2
, 𝜌1) a (ℝ2
, 𝜌∞), kde 𝜌1 je taxikářská
metrika a 𝜌∞ je maximální metrika. Pro body [𝑥1; 𝑦1] a [𝑥2; 𝑦2] platí 𝜌1 = |𝑥2 − 𝑥1| + |𝑦2 − 𝑦1|
a 𝜌∞ = max{|𝑥2 − 𝑥1|, |𝑦2 − 𝑦1|}.
4 Určete vzdálenost bodu [1; 1] od přímky 𝑦 = −𝑥:
1. v taxikářské metrice; 2. v eukleidovské metrice; 3. v maximální metrice.
5 Uvažme metrický prostor ℝ2
s eukleidovskou metrikou. Které z následujících množin jsou
v něm otevřené? Které jsou uzavřené?
1. množina obsahující jediný bod [0; 0]; 2. přímka 𝑦 = 𝑥; 3. kruh 𝑥2
+ 𝑦2
< 1;
4. čtverec ⟨0; 1) × ⟨0; 1); 5. elipsa 𝑥2
+ 𝑦2
/4 ≤ 1; 6. celé ℝ2
.
6 Mějmemetrickýprostor,kterýjetvořenintervalem(0; 1)astandardnímetrikou 𝜌(𝑥, 𝑦) = |𝑥−𝑦|,
a uvažme na něm posloupnost { 1
2 𝑛 } pro 𝑛 = 1, 2, 3,…
1. Je ta posloupnost cauchyovská? 2. Konverguje k něčemu? Pokud ne, co je tam za problém?
Přetočená číselná osa
Představme si množinu 𝛭 = ℝ ⧵ {0} ∪ {∞}, tedy reálnou osu, ze které jsme vyňali bod 0
a naopak přidali bod ∞. Označme 𝑓(𝑥) = arc tg 1
𝑥 a dodefinujme 𝑓(∞) = 0, načež zavedeme
𝜌(𝑥, 𝑦) = |𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑦)|.
Vaším úkolem bude vyšetřit metrický prostor (𝛭, 𝜌). Nemá žádný zvláštní název, tak mu říkejme
třeba přetočená číselná osa.
7 Dokažte, že to je metrický prostor. (Při dokazování nerovnosti 𝜌(𝑥, 𝑦) ≤ 𝜌(𝑥, 𝑧) + 𝜌(𝑦, 𝑧) se
vyplatí rozdělit důkaz na dvě části: buď je 𝑓(𝑧) mezi 𝑓(𝑥) a 𝑓(𝑦), nebo není.)
8 Zkuste nakreslit schematický obrázek (klidně 2D či 3D), ze kterého by bylo pěkně vidět, jak
tento prostor vůbec „vypadá“ — co je blízko k sobě a co zas daleko, kde je díra a odkud kam je zas přímý
přechod.
9 Jaký je průměr 𝛭, tedy celého tohoto prostoru? Je to množina omezená, nebo nikoli?
10 Zjistěte, jak vypadá kruh se středem v ∞ a poloměrem 𝜋
4. Jak myslíte, že by vypadalo nějaké
malé okolí bodu ∞?
11 Napište nekonečnou posloupnost, která:
1. je v tomto prostoru cauchyovská, ačkoli by ve standardní metrice |𝑥 − 𝑦| nebyla;
2. je cauchyovská, ale přesto nemá limitu (nápověda: násilně jsme z reálné osy vytrhli nulu. Nemohli
bychom vyrobit posloupnost, která by „konvergovala k té nule, která tam není“?)