Když jsme měli dělat dvojný integrál v kartézských souřadnicích třeba po nějakém trojúhelníku, měli jsme dvě možnosti: nejdřív integrovat podél x a. pro každé x pak po sloupečku ve směru y, nebo opačně: začít podél y a pro každé y jít po řádku ve směru x (viz obrázky vlevo):
r
/
	
	
--	
Zakreslete obdobné šipky pro polární souřadnice r, <p do druhých dvou obrázků, a to pro obě pořadí. Přechodem do polárníeh souřadnic spočtěte jf & dj, kde n]ekmhx^ +y
2 < IX.
Nehádejte, nesnažte se to ohaluzit. Naopak: nakreslete si obrázek, rozmyslete si, jaký rozsah úhlů <p ten kruh zabírá, a pro každý úhel <p stanovte, odkud kam půjde r. Nejlepší je to udělat tak, že do rovnice kružnice, která ten kruh ohraničuje, dosadíte polární souřadnice.
3   V integrálu J J xy dx dy, kde Q je trojúhelník o < x < i, o < ^ < i — x, přejděte do nových
o
souřadnic x + y = u, y = uv, a vyčíslete ho.
Zapište v polárních souřadnicích integrál J J f(x->ý) dx dy, je-li O:
1. trojúhelníko < x < i;o<^< i — x;
2. jedno ucho lemniskáty (x2 + y2)2 = a2(x2 — y2) (x < o, a je kladná konstanta);
2
3. parabolická úseč —a < x < a; ^- < y < a (a je kladná konstanta).
5  Zapište následující veličiny pomocí křivkových integrálů (rozhodněte sami, jestli prvního nebo
druhého druhu, všechno se odehrává v rovině):
1. elektrická intensita v bodě [x;y] od drátu nabitého s délkovou hustotou nábojeý;
2. práce síly F podél nějaké křivky;
3. moment setrvačnosti křivky o délkové hustotě ý vzhledem k ose procházející kolmo počátkem;
4. výtok kapaliny o rychlosti v skrz zadanou uzavřenou křivku za jednotku času.
I 6 j Spočtěte následující křivkové integrály:
J (x + y) ds, kde K je trojúhelník s vrcholy [o; o], [i; o], [o; 1];
K
.J' y2 ds, kde K je oblouk cykloidy: x = a(cos t + f sin f), y = a(sin t — t cos f), kde a je kladná
1.
K
2
konstanta a f je parametr, který se mění od o do 27t;
K
4. <^>{x + y) dx + (x — y) dy, kde K je elipsa    + |i = 1 obíhaná jednou proti směru hodin.
K_
I y I Co se stane, když pod integrálem stojí plný diferenciál? 1. Čemu se rovná J dF (pro nějakou křivku K)}     2. Čemu     dF (tj. K je uzavřená)?
K K