Greenova věta
Představme si, že chceme integrovat po malém obdélníčku o velikosti dx X dy. Začínáme v levém dolním bodě se souřadnicemi [x;y] a obejdeme obdélníček jednou proti směru hodin, tak, jak je to vyznačeno na    T , -obrázku.                                                                                       L^V> L^V
1. Zapište (j)(P(x,y) dx + Q(x,y) dy) jako součet čtyř integrálů po jednotlivých stranách obdélníčku.
2. Dejte k sobě vždy dva a dva integrály po rovnoběžných stranách.
3. Jelikož je obdélníček velmi malý, můžeme aproximovat P i Q diferenciálem. Proveďte to a integrály dopočítejte (mělo by to vyjít fakt jednoduše).
4. Doplňte: (j)(P dx + Q dy) =
dxdy.
V následujícím obrázku je nějaká oblast, kterou jsem rozdělil na hromadu malých čtverečků.
Řekněme, že po každém takovém malinkém čtverečku vyčíslíme (j) (P dx + Q dy) zcela stejně jako v předchozí úloze.
1. Všechny čtverečky se obíhají proti směru hodin. Vyznačte v obrázku dovnitř každého čtverečku šipky, které vyznačí, jak se ten čtvereček obíhá. Nemusíte to dělat pro všechny čtverečky, ale chtělo by jich to relativně hodně.
2. Na základě Vašich šipeček vysvětlete, co se stane s vnitřními stranami všech čtverečků (tedy s těmi, které přiléhají k jinému čtverečku).
3. Co se stane s těmi stranami čtverečků, které jsou na hranici vyznačené oblasti (a tudíž nepřiléhají k jinému čtverečku)?
4. Sečteme-li příspěvky od všech čtverečků, dostaneme na jednu stranu JJ      P dx + Q dy dx dy.
Z úvah v předchozím bodě vysvětlete, jak to lze napsat jiným způsobem (kde Vám v obrázku zůstanou šipky, které se nezruší?) Dosaďte za (f — vyčíslení z první úlohy. Měli byste obdržet Qreenovu větu.
										
										
										
[—.	-									
				1						
										
										
HVyííslete pomod Greenovy véty následující integr% f(xfAx - ^yiy) po
x2 + y2 = a2;     2. <^)(x + y) dx — (x — y) dy po elipse fž + fi = r-
4  Vyčíslete křivkový integrál f(ex siny — my) dx + (ex cos y — m) dy po půloblouku kružnice
x2-\-y2 = ax(a> o), který procházíme proti směru hodinových ručiček. Jelikož tento integrál není po uzavřené křivce, nejde na něj hned Greenova věta použít. Uzavřete však integrační cestu nějak vhodně a použijte Greenovu větu potom.