Odpovědi k trikům
Papírek s derivováním
{-i)nn\
an+i
i     13   m — i   it        nit (2«)!
(«-l)!2 2 2     2tí«+| an+\22nn\'
T] Ad 1. f e-**; Ad 2. ^e-^ (f + a); Ad 3. Tady se hodí rozepsat sin2 ax = I~c°2S2ax. Pak do-
staneme-^- (1 — je 2ab\ Ad 4. Využijeme toho, že 7--— = 7^—-—~ [—7——7--„ * , „
4^ V     b       )      *   J    t (x2 + a2)(x2 + fc2)    b2 - a2 \x2 + a2 x2+b2,
7t/2      (    I I \
Tím se integrál rozpadne na rozdíl dvou takových, které už známe, a máme —-- ——--- .
6        ť 1   ' ' b2-a2\aeaa    ^)
TI  » ,      1 •        /* M*2 +      1      1 dř      T        2a áx it 4j Ad..Je-h/ = J    x2 + b2   dx.pak-^ = j      + a2)(x2 +      = ——.inttgna
O
oo
/ln x dx     /  /       /I ln x dx —Ijl—2 = \ I ~^ I ) —+—2 'v druhém
O I
00 1     x       1 j
lnxdx      1   rlnX + lnž,dx
/ln x dx      1 C
b coz
,   ,   o     -+(f)2 »'
s užitím předchozího výsledku dá ^ ln b. Proto I = j ln(^ + b) + C musí být při ^ = o rovno | ln b, a tedy C = o. Výsledek: / = | ln(* + fc). Ad 2. •••
00
.2 l /..z dx
„  íí!x —b/xz
x2
Ad 3je-H Z = / e"— dx = e"^ / e"^^ d. Zjistíme J = - /
O O O
Proto
V3Y _ VFg = J e-(^-^)- íff + ^. Uc.
O
°° 2
V posledním integrálu už lze položit -JHCx —    Ix = u, po čemž integrál přejde na f é~u =
—00
Máme tedy rovnici
db
Tu vyřešíme třeba variací konstant a dostaneme řešení / = + De2V^. Při b = o musíme
dostat integrál z gaussovky, tedy -JŤľ/i. Z toho je vidět, že D = oa/= \Jjé~2^.
Papírek s integrací
ln |. U arkustangenty vyjde f ln |.
Ad 1. Prostě integrujeme ten integrál ze zadání podle x, dostaneme ln       Ad 2. Ad 3. Uvě
+a'
00 ,
P—i „a—l
/X        — X -j-dx =
= ln 1 ^—r. Po oddělení reálné a imaginární části dostaneme ľ cos(— ln x) —.—— = ln J ^ 2^
1 k
o — a
a
/x x sin(— ln x)—z-= are tg in oc
o
Vyjde f sgn^i.
71 aa   t n   * \ arctgptgx) .    ,v. ?     V dx
4-   Adi. Telikoz / -;-— =-, ie nas integral roven / dy I -
J i + ^tgx)2 tgx     >> *> J   JJ i
+ _y2 tg2 X
o o
a oo
!áy Í {l + uí,+yV) = lHl + a)-
—axz        —bxz n
Ad 2. Využijeme toho, že---=  / é~yx dy. Díky tomu je náš integrál roven \ ln -.
Ad 3. Zase využijeme téhož poznatku jako v minulém bodě a dostaneme výsledek 2^W{yJF — -Jit).
-—-dx = ln —, takže je jistě též
00
e
-(a-ia)x     c-(a-\b)x ,-\h ............ ..... f^Tb
dx = ln-—. Oddělením reálné části dostaneme výsledek ln ^
x cl — id. V or + a
Odpovědi k integrálům s gammou
První papírek
1  Ad! Ä
T(a)T(b)
Ad 2.
Ad 2.
2T(a + fc)'
Adi. —— = —.
r(s) s r(3 + l)T(2 +1) =      = ^ _
2r(6) 26 • 5! 512' r(«±i)r(^)
Ad 3.--=-ňu- Všimněte si, že to funguje jen při \a\ < i; jinak ten integrál diverguje.
2
7t
Ad 4. Po substituci x = tg w to přejde na integrál předchozího bodu, takže zase dostaneme
„__„ TttX *
2 cos —
Ad 5. Dole potřebujeme vyrobit (1 + x2)^, tak vytkneme a. a položíme x = j^u2^. Pak ještě dáme u = tgz&užijeme = cos2 z. Výsledek: -—^--—-.
Ad 6. Klademe x = ul/m, vyjde 1 ^
mT(i + - - -V
\    '   m n)
00
dw 7T
00 00
2Ä—I j„ _ /» I
Ad 7. Podle bodu 4 je / -— = —:-. Položíme v tom x = JÍT a máme / -
J     I -\- X 2 Sin TtCL J     1 + u
o
2
Derivujeme podle a a máme výsledek _£_£21£^
' 1 y Sin 7TÄ
Druhý papírek
r(i) = J c~xdx = 1. r(f) = J c~x^ = 2 J c~x2 áx = VF.
Sin TtCL
00 00
o 00
rtó       r(i) r(f)
Adl.J|);Ad2.^;Ad,_M;
Ad 4. Ad 5. V předchozím výsledku místo a napíšeme a — ib, kde a > o a b je jakékoli reálné. Z to-
ho máme / xa~Ie~ax (cos bx^ + i sin bx^) áx =---t-t exp (are tg — | T [%\. Oddělením
J K '        l(a* + b2Y/2X   ťW      6 aj \1)
o v '
1    r(|)       /Ä £\
reálné a imaginární části dostaneme pro bod 4.--t-t cos — are tg - a pro bod 5. totéž, jen
a (*z2 + ^2)Ä'2/i     V A a)
je tam sinus místo kosinu.
1
Ad 6. Klademe x = e~M, výsledek je T(l + 1). Takže např. / i = VŤF.
J V- lnx'