MODEL SOUSTAVY VELKÝCH KANADSKÝCH JEZER
robert mařík
1. základní model samočistení
Nechť veličina x(t) udává hmotnost populace částic, které znečišťují vodu v jezeře o objemu V. Předpokládejme, že do jezera přitéká čistá voda a stejnou rychlostí odtéká voda s nečistotami (hladina se nemění, je v ustáleném stavu). Nechť veličina r udává, jaký objem vody se v jezeře takto vymění za jeden den. Předpokládejme dále (poněkud nerealisticky), že rozdělení znečišťujících částic v jezeře je rovnoměrné.
Úbytek hmotnosti nečistot za časovou jednotku je dán derivací x', kde čárka značí derivaci podle času í.
Tento úbytek hmotnosti je možno vyjádřit též ve tvaru
r r
—x, kde — je pro dané jezero kladná konstanta udá-V V
vající, jak velká část z celkového množství vody se v jezeře vymění za časovou jednotku. Označíme-li tuto konstantu symbolem k,je proces úbytku nečistot v jezeře popsán diferenciální rovnicí
(1.1)     x' = —kx.
Znaménko „—" vyjadřuje, že intenzita znečištění v jezeře klesá.
Předpokládejme nyní, že do jezera neustále přitékají další nečistoty rychlostí c. Rovnici (1.1) je potom nutno modifikovat na rovnici
(1.2)
-kx + c.
Veličinu c zpravidla vypočteme jako součin koncentrace nečistot v přítoku a vydatnosti přítoku.
2. Model soustavy dvou jezer
Uvažujme nyní soustavu dvou znečištěných jezer. Do prvního jezera o objemu V\ vtéká voda rychlostí /i, s koncentrací nečistot p\ a vytéká stejnou rychlostí voda znečištěná. Tato znečištěná voda vtéká (rychlostí f i2 = fi) do druhého jezera o objemu V2 a rychlostí / vytéká z celé soustavy jezer voda obsahující nečistoty z obou jezer. Druhé jezero má navíc přítok vydatnosti f2 s koncentrací znečištění p2- Označme
xi(ť) množství nečistot v čase t v prvním jezeře a X2(t) množství nečistot v čase t v druhém jezeře. Soustavu je možno popsat matematickým modelem
(2.1)
fiPi
Í2P2
J12 V\ fl2
-xi
-x2.
3. pět kanadských jezer
Označme indexy pět velkých kanadských jezer, jak je uvedeno v tabulce.
index i	jezero	objem V i	přítok f i
		|míle3l	[míle3/rokl
1	Hořejší	2900	15
2	Michiganské	1180	38
3	Hurónké	850	15
4	Erijské	116	17
5	Onatrio	393	14
Označme pi množství nečistot v přítoku i-tého jezera. Dále označme fij roční tok mezi jezerem i a jezerem j v kubických mílích za rok. Platí /13 = 15, f 23 = 38, f u = 68, f45 = 85 a /56 = 99, kde /56 je roční odtok ze soustavy jezer.
Označme xí míru znečištění i-tého jezera. Soustava popisující vývoj systém má tvar (porovnejte s mapkou jezerního systému a s modelem dvou jezer)
/l3
pih
P2J2
■xi
>2
X2
,  , /l3      . Í2'í fu P3h+-rrx1+—X2-—X3
V\ V2
Pih P5/5
v3
fu,
>3
x3-
/45 ,
hľ>
>4
X4
■X4-
Kat. matematiky, Fakulta lesnická a dřevařská, Mende-lova zemědělská a lesnická univerzita v brně E-mail address: marikgmendelu . cz URL: www.mendelu.cz/user/marik
Date: 1. dubna 2005.
1