Cvičení 10
Pravděpodobnostní vytvořující funkce
Definice: Nechť X je celočíselná nezáporná náhodná veličina s pravděpodobnostní funkcí
( )


 =
==
jinak0
0,1,2,...kprop
kXP k
. Pravděpodobnostní vytvořující funkce náhodné veličiny X je
dána vztahem: ( ) 
∞
=
==
0k
k
k
X
X zpzE)z(g , kde 1z ≤ .
Vlastnosti:
a)
0z
)k(
X
k
!k
)z(g
p
=
= pro k = 0, 1, 2, …
b) 1zX )z(g
dz
d
)X(E =
= , [ ]2
1z
X2
2
)X(E)X(E)z(g
dz
d
)X(D −+=
=
.
c) X1, ..., Xn jsou stochasticky nezávislé celočíselné nezáporné náhodné veličiny, =
=
n
1i
iXY
 )z(g)z(g)z(g n1 XXY ⋅⋅= K .
d) X1, ..., Xn jsou stochasticky nezávislé celočíselné nezáporné náhodné veličiny, které mají
všechny stejnou pravděpodobnostní funkci ( )


 =
==
jinak0
0,1,2,...kprop
kXP k
i , i = 1, 2, ..., n.
Pak transformovaná náhodná veličina =
=
n
1i
iXY má pravděpodobnostní funkci
( ) { }


 =
==
jinak0
0,1,2,...kprop
kYP
*n
k
.
e) Nechť X1, X2, ... je posloupnost stochasticky nezávislých celočíselných nezáporných
náhodných veličin, které mají všechny stejnou pravděpodobnostní funkci
( )


 =
==
jinak0
0,1,2,...kprop
kXP k
i , i = 1, 2, ... Nechť N je celočíselná nezáporná náhodná
veličina nezávislá na X1, X2, ... s pravděpodobnostní funkcí ( )


 =
==
jinak0
0,1,2,...nproq
nNP n
.
Pak náhodná veličina S = X1 + ... + XN (tj. součet náhodného počtu náhodných veličin) má
pravděpodobnostní funkci ( )
{ }





=
===

∞
=
jinak0
0,1,2,...kpropq
hkSP 0n
*n
kn
k .
f) Pro pravděpodobnostní vytvořující funkci náhodné veličiny S = X1 + ... + XN platí:
gS(z) = gN(gX(z)).
g) E(S) = E(N)μ, D(S) = D(N)μ2
+ E(N)σ2
, kde μ = E(Xi), σ2
= D(Xi), i = 1, 2, …
Příklad 1.: Celočíselná nezáporná náhodná veličina X má pravděpodobnostní funkci
( ) ( )





=
+==
jinak0
1,2,kpro
1kk
1
kXP
K
. Najděte její pravděpodobnostní vytvořující funkci.
Návod: Použijte rozklad na parciální zlomky a Taylorův rozvoj funkce ( ) 
∞
=
−=−
1k
k
k
x
x1ln .
Výsledek: ( ) ( )z1ln
z
z1
1zgX −
−
+=
Příklad 2.: Pomocí pravděpodobnostních vytvořujících funkcí najděte střední hodnoty a
rozptyly těchto rozložení: a) Dg( )µ , b) ( )ϑA , c) ( )ϑ,nBi , d) ( )ϑGe .
Výsledek: ad a) E(X) = μ, D(X) = 0, ad b) ( ) ( ) ( )ϑ−ϑ=ϑ= 1XD,XE , ad c)
( ) ( ) ( )ϑ−ϑ=ϑ= 1nXD,nXE , ad d) ( ) ( ) 2
1
XD,
1
XE
ϑ
ϑ−
=
ϑ
ϑ−
=
Píklad 3.: Pravděpodobnostní vytvořující funkce celočíselné nezáporné náhodné veličiny X
má tvar: ( ) ( )2
X z32
5
z
zg += . Najděte pravděpodobnostní funkci náhodné veličiny X.
Výsledek: ( ) 3prok
5
3
,1prok
5
2
kXP ====
Příklad 4.: Provedeme tři nezávislé pokusy, v nichž sledujeme nastoupení úspěchu. V prvním
pokusu nastává úspěch s pravděpodobností 0,5, ve druhém 0,2 a ve třetím 0,1. Najděte
pravděpodobnostní vytvořující funkci náhodné veličiny Y, která udává počet úspěchů v těchto
třech pokusech.
a) Vyjádřete pravděpodobnostní vytvořující funkci náhodné veličiny Y.
b) Pomocí pravděpodobnostní vytvořující funkce najděte střední hodnotu a rozptyl náhodné
veličiny Y.
c) Pomocí pravděpodobnostní vytvořující funkce odvoďte pravděpodobnostní funkci náhodné
veličiny Y.
Výsledek:
Ad a) ( ) 32
Y z01,0z14,0z49,036,0zg +++=
Ad b) ( ) ( ) 5,0YD,8,0YE ==
Ad c) p0 = 0,36, p1 = 0,49, p2 = 0,14, p3 = 0,01
Příklad 5: Nechť X1, …, Xn jsou stochasticky nezávislé náhodné veličiny, Xi ~ Po(λi),
i = 1, …, n. Pomocí pravděpodobnostních funkcí odvoďte rozložení transformované náhodné
veličiny =
=
n
1i
iXY .Výsledek: 





λ=
n
1i
iPo~Y
Příklad 6: Předpokládejme, že počet vajíček, která snese slepice za sezónu, je náhodná
veličina N ~ Po(λ). Pravděpodobnost, že se z libovolného vajíčka vylíhne kuře, je ϑ . Pomocí
pravděpodobnostní vytvořující funkce odvoďte rozložení náhodné veličiny S, která udává
počet kuřat vylíhlých za sezónu z vajíček dané slepice. Pomocí vzorce z bodu (g) vypočtěte
též E(S) a D(S).
Výsledek: S ~ Po(λϑ ), E(S) = D(S) = λϑ