Cvičení 9: Optimalizace SHO
Optimalizace systému M/M/1/∞/FIFO
Vstupní proud zákazníků je Poissonův proces s parametrem λ, doba obsluhy se řídí
exponenciálním rozložením. Známe náklady c1 na obsluhu jednoho požadavku za jednotku
času a náklady c2 na údržbu prázdného systému za jednotku času. Hledáme intenzitu obsluhy
µ tak, aby funkce nákladů a ztrát
( ) ( )
λ−µ
λ
+µ=+µ=µ 2121 ccNEccF nabývala svého minima. Minima je dosaženo pro
λ+λ=µ
1
2
c
c
. Optimální intenzitu obsluhy a hodnotu funkce nákladů a ztrát pro tuto
optimální intenzitu počítá funkce opt_neomezeny_1.m.
Příklad 1.: Do malé venkovské prodejny s jednou prodavačkou přichází ve všední den
odpoledne průměrně 1 zákazník každé 4 minuty. Intervaly mezi příchody zákazníků mají
exponenciální rozložení a doba obsluhy rovněž. Náklady na jednoho zákazníka jsou vyčísleny
na 30 Kč/h a prostojové náklady na prodavačku činí 50 Kč/h. Najděte optimální dobu obsluhy
jednoho zákazníka a zjistěte hodnotu funkce nákladů a ztrát pro tuto optimální dobu obsluhy.
Výsledek: Optimální doba obsluhy zákazníka je 3 min. Pro tuto optimální dobu obsluhy činí
hodnota funkce nákladů a ztrát 750 Kč.
Příklad 2.: Na konci montážní linky se nachází pracoviště kontroly kvality, které se skládá
z prostoru na čekání palet a zkušebního pracoviště. Průměrně přichází 80 palet v průběhu
osmihodinové směny. Doba mezi příchody palet má exponenciální rozložení a doba kontroly
rovněž. Náklady na kontrolu jedné palety činí 100 Kč, prostojové náklady jsou 40 Kč/h.
Stanovte optimální dobu kontroly jedné palety a najděte hodnotu funkce nákladů a ztrát pro
optimální intenzitu obsluhy.
Výsledek: 5 minut, tedy za 1 h by se mělo zkontrolovat 12 palet. Funkce nákladů a ztrát
nabývá hodnoty 1400.
Příklad 3.: V dílně dochází v průměru ke třem poruchám strojů za hodinu. Prostojové
náklady stroje jsou 1000 Kč za hodinu. Můžeme volit mezi průměrným opravářem, který
opravuje čtyři stroje za hodinu a stojí i s režií 500 Kč za hodinu a zkušeným opravářem, který
opravuje pět strojů za hodinu a stojí i s režií 650 Kč za hodinu. Kterého z nich je výhodnější
přijmout?
Návod: Rozhodněte podle funkce nákladů a ztrát.
Výsledek: Funkce nákladů a ztrát nabývá menší hodnoty pro zkušeného opraváře (4750 Kč)
než pro průměrného opraváře (5000 Kč), je tedy výhodnější přijmout zkušeného opraváře.
Optimalizace systému M/M/n/∞/FIFO
Vstupní proud zákazníků je Poissonův proces s parametrem λ, doba obsluhy se řídí
exponenciálním rozložením s parametrem µ.
a) Známe náklady c1 na čekajícího zákazníka za jednotku času a náklady c2 na nevyužitou
linku obsluhy za jednotku času. Hledáme počet linek n tak, aby kriteriální funkce
( ) ( ) ( )[ ]S2Q1 NEncNEcnC −+= nabývala svého minima.
Přitom ( )
ρ−
ρ
=
1
PNE QQ ,
( ) ρ−
=
ρ−
β
=
1
a
1!n
aP n
n
0Q ,
µ
λ
=β ,
n
β
=ρ ,
( )
1
1n
0j
nj
0
n!n
n
!j
a
−
−
=






β−
β
+
β
=  , ( ) ρ= nNE S . Podmínka stabilizace:
µ
λ
>n .
Optimální počet linek a hodnotu kriteriální funkce pro tento optimální počet linek počítá
funkce opt_neomezeny_n.m.
b) Známe náklady c1 na pobyt zákazníka v systému za jednotku času a náklady c2 na provoz
jedné linky obsluhy za jednotku času. Hledáme počet linek n tak, aby kriteriální funkce
( ) ( ) ncNEcnC 21 += nabývala svého minima. Přitom ( ) ρ+
ρ−
ρ
= n
1
PNE Q . Podmínka
stabilizace:
µ
λ
>n .
Optimální počet linek a hodnotu kriteriální funkce pro tento optimální počet linek počítá
funkce opt_neomezeny_n_alt.m.
Příklad 4.: V nově otevřené pobočce České spořitelny bylo rozhodnuto rezervovat pro
operace s účtem Poštovní spořitelny 3 přepážky. Klienti, kteří do pobočky přicházejí kvůli
těmto operacím, se řadí do jedné fronty a po uvolnění libovolné z přepážek mohou být
obsluhováni. Po otevření pobočky bylo zjištěno, že v průměru přichází 68 klientů za hodinu,
přičemž intervaly mezi jejich příchody mají exponenciální rozložení. Doba nutná pro
odbavení klienta má exponenciálním rozložením se střední hodnotou 2 min 24 s.
a) Za předpokladu, že náklady na pobyt klienta v pobočce po dobu 1 h jsou 120 Kč a náklady
na provoz jedné přepážky činí 300 Kč/h, najděte optimální počet přepážek.
b) Zjistěte, jak by se musely snížit náklady na pobyt klienta v pobočce po dobu 1 h, aby byl
optimální původně uvažovaný systém se třemi přepážkami.
Výsledek: ad a) Optimální počet přepážek je 4, ad b) Náklady na čekajícího zákazníka nesmí
přesáhnout 41,56 Kč za hodinu.
Příklad 5.: K lékaři přicházejí v průměru 4 pacienti za hodinu, ošetření jednoho pacienta trvá
v průměru 12 minut. Doba mezi příchody pacientů i doba ošetření se řídí exponenciálním
rozložením. Hodinová mzda lékaře je 500 Kč a náklady na pobyt pacienta ve zdravotnickém
zařízení se odhadují na 300 Kč/h. Vyplatí se, aby byly v provozu dvě ordinace zároveň?
Výsledek: C(1) = 1700 Kč, C(2) = 1285,70 Kč. Vidíme tedy, že otevření druhé ordinace se
vyplatí.