Autonomní systémy
Zvláštnosti nelineárních systémů
Petr Liška
Masarykova univerzita
1.3.2022
Petr Liška   (Masarykova univerzita)
Autonomní systémy
Nulová reálná cast je opravdu problém
Dva podobné, ale různé systémy Dokažte, že nulová řešení následujících systému mají různou stabilitu:
x — y — x{x2 + y2) Vr = -x - y(x2 + y2)
x = y + x(x + y ) yr = -x + y(x2 + y2)
Petr Liška   (Masarykova univerzita)
Autonomní systémy
1.3.2022
2/6
Limitní cykl
Ukažte, že následující systém má jako trajektorii alespoň jeden cyklus
xf — —y + x{l — x2 — y2) yf = x + y(l - x2 - y2)
V čem se liší systém
x1 = -2/(1 - x2 - y2)2 + x(l - x2 - y2)3 - y3 y' = x(i - x2 - y2)2 + y(l - x2 - y2)3 + xy2,
který „numericky" vypadá „stejně"?
Petr Liška   (Masarykova univerzita)
Autonomní systémy
1.3.2022 3 /6
Uvažme opět náš systém
x' = f (x)
(1)
Definice ((Asymptoticky) stabilní cykly)
Cyklus Cu rovnice (1) se nazývá stabilní, jestliže pro každou otevřenou množinu V C Kn, která obsahuje Cu, existuje otevřená množina W C V taková, že každé řešení, které začíná v bodě xq G W v čase nula, zůstane v množině V pro všechna t > 0.
Cyklus Cu se nazývá asymptoticky stabilní, jestliže navíc existuje množina X C ]Rn taková, že každé řešení, které začíná v bodě xq G X, se asymptoticky blíží k Cu pro t —>> oo.
Petr Liška   (Masarykova univerzita)
Autonomní systémy
1.3.2022
4/6
Jak poznat, že cyklus neexistuje?
x' = f(x,y)
y' = g(x,y)
(2)
Věta (Dulacovo kritérium, Bendixson-Dulac)
Nechť Q je jednoduše souvislá oblast ve fázovém prostoru. Existuje-li spojitě diferencovatelná funkce (f){x,y) taková, že výraz
d d
<f>(x,y)f(x,y)] + — [(/)(x,y)g(x,y)]
dx
dy
nemění znaménko v Q a není identicky roven nule v žádné otevřené podmnožině množiny íí, pak v Q neexistuje uzavřená trajektorie systému (2).
Dulac, H., Points singuliers des équations différentielles, Memoriál des Sciences Mathématiques, fasc. 61, Paris : Gauthier-Villar, 1934.
Petr Liška   (Masarykova univerzita)
Autonomní systémy
1.3.2022
5/6
Důsledek (Bendixsonovo kritérium)
Nechť Q je jednoduše souvislá oblast ve fázovém prostoru. Nemění-li výraz
f(x,y) + -z-g{x,y)
dxJ v 1 *7 ' dy
znaménko v Q a není identicky roven nule v žádné otevřené podmnožině množiny     pak v Q neexistuje uzavřená trajektorie systému (2).
Bendixson, I., Sur les courbes définies par des equations différentielles, Acta Mathematica 24(1), 1901, 1-88.
Příklad
Ukažte, že daný systém nemá žádné uzavřené trajektorie
d = y
y' = -x - y + x2 + y2
Petr Liška   (Masarykova univerzita)
Autonomní systémy
1.3.2022
6/6