Autonomní systémy uj - limitní množina a její struktura Petr Liška Masarykova univerzita 15.3.2022 Petr Liška (Masarykova univerzita) Autonomní systémy 15.3.2022 1/ 11 x' = f(x), f G C (D, Rm), D C Mm je otevřená (1) Definice Množina M C D se nazývá invariantní, jestliže pro každé řešení x (t) rovnice (1) splňující x(0) £ M platí x (ť) G M pro ŕ G (—00,00). Jeli tato vlastnost platná pouze pro t > 0 (resp. i < 0), nazývá se M pozitivně (resp. negativně) invariantní Označme C+ trajektorii rovnice (1) odpovídající řešení x (í), t > to. A podobně c~ je trajektorie odpovídající řešení x (ŕ), ŕ < íq- c+ a c~ nazýváme polotrajektorie (kladná a záporná). Petr Liška (Masarykova univerzita) Autonomní systémy 15.3.2022 2/1 Nechť C+ je trajektorie řešení x{ť) rovnice (1). cj-limitním bodem trajektorie C+ rozumíme libovolný bod x$ £ Km takový, že existuje posloupnost {ín}^=i? tn —>» oc tak, že x{tn) —>» xo pro n —>> oo. Množina fž(C+) všech cj-limitních bodů trajektorie C+ se nazývá cj-limitní množina trajektorie C+. Definice Nechť C~ je trajektorie řešení x{ť) rovnice (1). a-limitním bodem trajektorie C+ rozumíme libovolný bod xo £ Km takový, že existuje posloupnost {ín}^=i? ín "~^ —00 tak, že x(rn) —>> xo pro n —> oc. Množina A(C+) všech a-limitních bodů trajektorie C~ se nazývá a-limitní množina trajektorie C+. Petr Liška (Masarykova univerzita) Autonomní systémy Co plyne z definice? i. ÍÍ(C+) = {x0 E Rm | VT a £ > 0, 3t > T : - ar0| < e} 2. ÍÍ(C+) C C+, A(C") C C 3. a-limitní množina je vlastně w-limitní množina s časem běžícím pozpátku 4. Je-li C — C+ U C~ můžeme definovat limitní množinu A(C) = A(C-)Utt(C+) Petr Liška ÍMasarvkova univerzita") Autonomní svstémv 15.3.2022 Množina fž(C+) je uzavřená. Má-li C+ v D kompaktní uzávěr pak je množina fž(C+) kompaktní a souvislá. Věta Nechťxo G D n fž(C+). Je-li xo{t) úplné řešení x1 — f(x\ x(0) = Xo s maximálním intervalem existence (cj_,cj+); pak xo{t) G fž(C+) pro Má-li navíc C+ v D kompaktní uzáver, existuje řešení x o (t) pro t G (—00, 00) a pro jeho trajektorii Co platí Co U A(Cq) U íl(C£) C Petr Liška (Masarykova univerzita) Autonomní systémy 15.3.2022 5/ 11 Je-li fž(C+) C D, pak fž(C+) je invariantní množina. Důsledek Jestliže se množina fž(C+) skládá z jediného bodu xo G D, pak xo je stacionárním bodem a lim^oo x(í) = xo pro řešení x(t) jemuž odpovídá trajektorie C+. Věta Nechť V C D je neprázdná pozitivně invariantní kompaktní konvexní množina rovnice (1). Pak (1) má alespoň jeden singulární bod v množině V. Petr Liška (Masarykova univerzita) Autonomní systémy 15.3.2022 6/ 11 Trajektorie odpovídající řešení x(ť), t £ (—00,00), rovnice (1) tako- vému, že lim x(ť) — xij lim x(ť) — x2, x\ 7^ x2 kde x\, x2 jsou stacionární body rovnice (1), se nazývá heteroklinická. Trajektorie odpovídající řešení x (t) rovnice (1) takovému, že lim x(t) — lim x{t) — xij kde x\ je stacionární bod rovnice (1) se nazývá homoklinická. Trajektorie Co odpovídající úplnému řešení xo(ť), t £ (cj_,cj+) taková, že Co C fž(C+), C+ ^ Co pro nějakou polotrajektorii C+, se nazývá cj-limitní trajektorií Jestliže kromě toho je řešení xo{t) periodické, nazývá se trajektorie Co co-limitním cyklem. Petr Liška (Masarykova univerzita) Autonomní systémy 15.3.2022 7/ 11 x' = f (x), f e C (D,R2), D C E2 je otevřená (2) Věta Nechť x(ť), t G (—oc,oc); je periodické řešeni rovnice (2); jehož trajektorie je cyklus C ležící v D i se svým vnitřkem T. Pak T obsahuje stacionární bod rovnice (2). Věta (Poincaré-Bendixson) Nechť C+ je trajektorie řešení x{t\ t > 0; rovnice (2); mající kompaktní uzávěr v D. Předpokládejme, že uj-limitní množina fž(C+) neobsahuje stacionární body. Pak fž(C+) je cyklus. Petr Liška (Masarykova univerzita) Autonomní systémy 15.3.2022 8/ 11 Struktura cj-limitní množiny dvourozměrného autonomního systému obsahující stacionární body Věta Nechť C+ je trajektorie řešení x{t), t > 0; rovnice (2), mající kompaktní uzávěr v D. Předpokládejme, že cj-limitní množina fž(C+) obsahuje konečný počet k > 1 stacionárních bodů. Jestliže se množina fž(C+) skládá z jediného bodu xo £ D, pak xo je stacionárním bodem a lim^oo x(í) = xo pro řešení x (t) jemuž odpovídá trajektorie C+. Je-li fž(C+) tvořena více než jedním bodem, pak fž(C+) sestává ze stacionárních bodů konečného nebo spočetného systému trajektorií Co: x = ^o(í), í G (—00,00) neprocházejících stacionárními body a mající vlastnost, že limity xo(±oc) = lim^j-oo ^o(í) existují a splývají s jedním z bodů x^\ x^,..., x^. Petr Liška (Masarykova univerzita) Autonomní systémy 15.3.2022 9/11 Slíbená e — ô definice asymptotické orbitální stability Definice Nechť Cu: x = xu{t), t £ (—00,00), je cyklus rovnice (2) odpovídající periodickému řešení xu(t) s periodou w > 0. Cyklus Cu se nazývá orbitálně stabilní (orbitálně stabilní zvnějšku/zvnitřku) pro t —> 00, jestliže ke každému e > 0 existuje S = S (e) > 0 takové, že jestliže bod xo leží ve vzdálenosti menší než S od cyklu Cu (a ve vnějšku/vnitřku cyklu), pak polotrajektorie Cq : x = xo(t) řešení xo(t) počátečního problému xr — x(0) = xo zůstává pro všechna t > 0 v £-okolí cyklu Cu. Cyklus Cu se nazývá asymptoticky orbitálně stabilní (zvnějšku/zvnitřku) pro t —> 00, jestliže existuje S > 0 takové, že jestliže bod xo leží ve vzdálenosti menší než S od cyklu Cu (a ve vnějšku/vnitřku Cu) pak pro polotrajektorii : x = ^o(í) řešení ^o(í) počátečního problému x' — x(0) = platí íí(Cq~) = Cu. Petr Liška (Masarykova univerzita) Autonomní systémy 15.3.2022 10/ 11 Nechť Cu: x — xu(t), t G (—oc,oc); je cyklus rovnice (2) odpovídající periodickému řešenixu{t) s periodou w > 0. Pak i) pro to, aby Cu byl cyklus asymptoticky orbitálně stabilní zvnějšku rovnice (2) pro t —>> oc; je nutné a stačí, aby trajektorie Cu byla ej-limitní množinou pro polotrajektorii Cq některého řešení xo(t), t > 0, ležícího ve vnějšku Cu; U) pro to, aby Cu byl cyklus orbitálně stabilní zvnějšku pro t —> oc je nutné a stačí, aby trajektorie Cu byla cj-limitní množinou pro některou polotrajektoroii Cq ležící ve vnějšku Cu nebo aby pro každé e > 0 existovala uzavřená trajektorie rovnice (2) ležící ve vnější části e-okolí trajektorie Cu. Petr Liška (Masarykova univerzita) Autonomní systémy 15.3.2022 11/ 11