Autonomní systémy
Charakteristické směry
Petr Liška
Masarykova univerzita
22.03.2022
Petr Liška (Masarykova univerzita) Autonomní systémy 22.03.2022 1 / 7
Shrnutí z minulého týdne
x′
= f(x), f ∈ C(D, R2
), D ⊆ R2
je otevřená (1)
1. Je-li trajektorie ohraničená pro t → ∞, pak její ω-limitní množina
obsahuje buď stacionární bod nebo cyklus.
2. Cyklus musí mít ve svém vnitřku stacionární bod.
3. Obsahuje-li ω-limitní množina stabilní uzel nebo ohnisko, pak
obsahuje jen tento bod.
4. ω-limitní množina neobsahuje žádné nestabilní stacionární body.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Autonomní systémy 22.03.2022 2 / 7
Charakteristické směry
Uvažujme autonomní systém
x′
= P(x, y)
y′
= Q(x, y)
(2)
kde P, Q ∈ C(D, R), kde D je otevřená množina, D ⊆ R2, [0, 0] ∈ D a
P(0, 0) = Q(0, 0) = 0.
Zavedením polárních souřadnic x = r cos φ, y = r sin φ dostaneme
systém ve tvaru
Petr Liška (Masarykova univerzita) Autonomní systémy 22.03.2022 3 / 7
Charakteristické směry
Uvažujme autonomní systém
x′
= P(x, y)
y′
= Q(x, y)
(2)
kde P, Q ∈ C(D, R), kde D je otevřená množina, D ⊆ R2, [0, 0] ∈ D a
P(0, 0) = Q(0, 0) = 0.
Zavedením polárních souřadnic x = r cos φ, y = r sin φ dostaneme
systém ve tvaru
r′
= P(r cos φ, r sin φ) cos φ + Q(r cos φ, r sin φ) sin φ
rφ′
= Q(r cos φ, r sin φ) cos φ − P(r cos φ, r sin φ) sin φ
(3)
Petr Liška (Masarykova univerzita) Autonomní systémy 22.03.2022 3 / 7
Definice
Směr φ = φ0 se nazývá charakteristickým směrem pro systém (2)
jestliže existuje posloupnost (rn, φn) taková, že
1.
0 < rn → 0, φn → φ0 pro n → ∞,
2.
(P(rn cos φn, rn sin φn), Q(rn cos φn, rn sin φn)) ̸= 0 pro n ∈ N
3. pro n → ∞
Q(rn cos φn, rn sin φn) cos φ0 − P(rn cos φn, rn sin φn) sin φ0
P2(rn cos φn, rn sin φn) + Q2(rn cos φn, rn sin φn)
→ 0
Petr Liška (Masarykova univerzita) Autonomní systémy 22.03.2022 4 / 7
Věta
Je-li ψ(r) kladná a spojitá funkce pro r > 0 taková, že platí
lim
r→0+
ψ(r) = 0
a limity
p(φ) = lim
r→0+
P(r cos φ, r sin φ)
ψ(r)
,
q(φ) = lim
r→0+
Q(r cos φ, r sin φ)
ψ(r)
existují stejnoměrně pro φ blízká φ0, přičemž p2(φ) + q2(φ) ̸= 0, pak
φ = φ0 je charakteristickým směrem právě tehdy, když
q(φ0) cos φ0 − p(φ0) sin φ0 = 0 .
Petr Liška (Masarykova univerzita) Autonomní systémy 22.03.2022 5 / 7
Věta
Nechť f, g ∈ C(D, R), kde D ⊆ R2 je otevřená množina, [0, 0] ∈ D. Buď
A = (aij)2
i,j=1 regulární konstantní matice. Předpokládejme, že
lim
(x,y)→(0,0)
|f(x, y)| + |g(x, y)|
|x| + |y|
= 0.
Pak ke každému charakteristickému směru φ0 systému
x′
= a11x + a12y + f(x, y),
y′
= a21x + a22y + g(x, y)
(4)
existuje reálný vlastní vektor matice A mající směr φ0 a naopak směr
φ0 každého reálného vlastního vektoru matice A je charakteristickým
směrem rovnice (4).
Petr Liška (Masarykova univerzita) Autonomní systémy 22.03.2022 6 / 7
Důsledek
Předpokládejme, že funkce P, Q jsou spojité a mají spojité parciální
derivace druhého řádu v okolí bodu [x0, y0] a že P(x0, y0) = Q(x0, y0) =
0. Nechť
A =
∂P(x0,y0)
∂x
∂P(x0,y0)
∂y
∂Q(x0,y0)
∂x
∂Q(x0,y0)
∂y
je regulární matice. Pak ke každému charakteristickému směru φ0 sys-
tému
x′
= P(x, y),
y′
= Q(x, y)
(5)
v bodě [x0, y0] existuje reálný vlastní vektor matice A mající směr φ0 a
naopak směr φ0 každého reálného vlastního vektoru matice A je charakteristickým
směrem systému (5) v bodě [x0, y0].
Petr Liška (Masarykova univerzita) Autonomní systémy 22.03.2022 7 / 7