Osnova přednášky „Jednofaktorová MANOVA“
1. Popis problému
2. Test hypotézy o shodě vektorů středních hodnot
3. Simultánní testy o složkách vektorů středních hodnot
4. Vícerozměrná obdoba mnohonásobného porovnávání
5. Simultánní testy v mnohonásobném porovnávání
6. Předpoklady v MANOVĚ a jejich ověřování
7. Aplikace MANOVY v psychologickém výzkumu
Vícerozměrná analogie analýzy rozptylu jednoduchého třídění
(jednofaktorová MANOVA)
1. Popis problému
Předpokládáme, že faktor A má 3r ≥ úrovní a přitom na h-té úrovni bylo provedeno h
n
p-rozměrných pozorování ( ) ( )T
phn1hnhn
T
p1h11h1h hhh
X,,X,,X,,X KKK == XX , která považujeme
za p-rozměrný náhodný výběr rozsahu h
n , r,,1h K= . Na každé úrovni faktoru musí být
provedeno více pozorování než je závisle proměnných veličin, tj. pnh
> , r,,1h K= . Výsledky
lze zapsat do tabulky:
faktor A výsledky
úroveň 1
p11111 x,,x K
……………
pn11n1 11
x,,x K
………... ……………
úroveň r
p1r11r x,,x K
……………
prn1rn rr
x,,x K
Zavedeme následující označení:
h … index skupiny, i … index objektu, j … index proměnné

=
=
h
1r
rnn … celkový rozsah všech r výběrů

=
=
hn
1i
hij
h
hj X
n
1
M … výběrový průměr j-té proměnné v h-té skupině, p,,1j K= , r,,1h K=










=
hp
1h
h
M
M
MM … vektor výběrových průměrů v h-té skupině, r,,1h K=

=
=
r
1h
hh
n
n
1
MM … vektor celkových průměrů
( )( )=
−−
−
=
hn
1i
T
hhihhi
h 1n
1
MXMXSh … výběrová varianční matice v h-té skupině, r,,1h K=
( )
=
−
−
=
r
1h
hh
1n
rn
1
SS … vážený průměr výběrových variančních matic
Příklad dat vhodných pro vícerozměrnou analýzu rozptylu
Na 45 vzorcích ropy pocházejících ze tří ložisek byly zjištěny hodnoty těchto čtyř proměnných:
X1 … obsah vanadu v popelu (v promile)
X2 … obsah železa v popelu (v promile)
X3 … obsah nasycených uhlovodíků (v setinách procenta)
X4 … obsah aromatických uhlovodíků (v setinách procenta)
Máme 3 skupiny, v 1. skupině je 7 čtyřrozměrných pozorování, ve 2. skupině 8 pozorování a ve 3. skupině 30 pozorování.
Ukázka části datového souboru:
Vektor M1 výběrových průměrů v 1. skupině:
36,571
38,714
679,571
1082,571
Vektor M2 výběrových průměrů ve 2. skupině:
50,6250
35,7500
653,2500
518,1250
Vektor M3 výběrových průměrů ve 3. skupině:
76,5333
21,4667
457,4667
614,8667
Vektor M celkových průměrů:
65,7111
26,6889
526,8222
670,4222
X1 … obsah vanadu v popelu (v promile)
X2 … obsah železa v popelu (v promile)
X3 … obsah nasycených uhlovodíků (v setinách procenta)
X4 … obsah aromatických uhlovodíků (v setinách procenta)
Výběrová varianční matice S1 v 1. skupině:
Proměnná X1 X2 X3 X4
X1 244,62 2,5238 -1103,55 767,95
X2 2,52 59,2381 28,52 355,19
X3 -1103,55 28,523820002,95 13339,45
X4 767,95 355,190513339,45 51132,95
Výběrová varianční matice S2 ve 2. skupině:
Proměnná X1 X2 X3 X4
X1 325,696 -111,393 749,11 3446,9
X2 -111,393 91,357 190,50 -133,5
X3 749,107 190,500 8149,64 26549,0
X4 3446,911 -133,53626548,96 119963,8
Výběrová varianční matice S3 ve 3. skupině:
Proměnná X1 X2 X3 X4
X1 223,223 -36,602 -511,292 663,87
X2 -36,602 34,671 267,637 -567,56
X3 -511,292 267,6379071,223 4749,31
X4 663,867 -567,5564749,306 53134,19
Společná výběrová varianční matice S:
Proměnná X1 X2 X3 X4
X1 488,62 -160,637 -1934,96 -812,22
X2 -160,64 101,992 958,06 388,52
X3 -1934,96 958,05719900,79 18314,85
X4 -812,22 388,52118314,85 94423,93
X1 … obsah vanadu v popelu (v promile)
X2 … obsah železa v popelu (v promile)
X3 … obsah nasycených uhlovodíků (v setinách procenta)
X4 … obsah aromatických uhlovodíků (v setinách procenta)
Celková variabilita obsažená v datech je vyjádřena maticí T:
( )( )
= =
−−=
r
1h
n
1i
T
hihi
h
MXMXT .
Matici T lze rozložit na součet dvou matic: BET += ,
kde E je matice reziduální variability
( )( ) ( )
== =
−=−−=
r
1h
h
r
1h
n
1i
T
hhihhi
1n
h
h
SMXMXE
a B je matice meziskupinové variability
( )( )
=
−−=
r
1h
T
hhh
n MMMMB .
Vliv faktoru, který způsobuje rozpad datové matice na skupiny, se může projevit jen v matici B.
Variabilitu projevující se v matici E tedy považujeme za reziduální, způsobenou buď
náhodnými vlivy nebo faktory, kterou nejsou z našeho hlediska podstatné.
Matice T celkové variability:
X1 X2 X3 X4
X1 21499,2 -7068,04 -85138,3 -35738
X2 -7068,0 4487,64 42154,5 17095
X3 -85138,3 42154,51 875634,6 805853
X4 -35737,5 17094,91 805853,44154653
Matice E reziduální variability:
X1 X2 X3 X4
X1 10221,1 -1826,1 -16205,0 47988
X2 -1826,1 2000,4 9266,1 -15263
X3 -16205,0 9266,1 440130,7 403609
X4 47988,2 -15262,7 403609,32687436
Matice B meziskupinové variability:
X1 X2 X3 X4
X1 11278,1 -5241,94 -68933,3 -83726
X2 -5241,9 2487,24 32888,4 32358
X3 -68933,3 32888,41 435503,9 402244
X4 -83725,7 32357,61 402244,11467217
2. Test hypotézy o shodě vektorů středních hodnot
Nadále budeme předpokládat, že náhodný výběr příslušející h-té úrovni faktoru A, tedy
posloupnost stochasticky nezávislých p-rozměrných náhodných vektorů hhn1h ,, XX K , pochází
z p-rozměrného normálního rozložení ( )Σμ ,N hp , r,,1h K= a jednotlivé náhodné výběry jsou
stochasticky nezávislé.
Na hladině významnosti α testujeme nulovou hypotézu r10 :H μμ ==K proti alternativní
hypotéze :H1
aspoň jedna dvojice vektorů středních hodnot se liší.
Při testování této hypotézy můžeme použít až čtyři různé testy založené na
- Wilksově kritériu,
- Lawleyově – Hotellingově kritériu,
- Pillaiově kritériu,
- Royově kritériu.
Každé z těchto kritérií je určitým způsobem založeno na vlastních číslech matice 1
BE−
.
Označme gλ g-té vlastní číslo této matice a s počet nenulových vlastních čísel, přičemž
( )1r,pmins −= .
Uvedeme vzorce pro vyjádření jednotlivých kritérií:
Wilksovo kritérium:
( )
( )
∏
= λ+
=
+
=Λ
s
1g
g1
1
det
det
BE
E
,
Lawleyovo – Hotellingovo kritérium: ( ) =
−
λ==
s
1g
g
2
trT 1
BE ,
Pillaiovo kritérium: ( )( ) 
=
−
+
=+=
s
1g
g
g1
λ1
λ
trP EBB ,
Royovo kritérium: ( )1
V λ= , kde ( )1
λ je největší vlastní číslo matice 1
BE−
.
V praxi je nejpoužívanější Wilksovo kritérium. Nabývá hodnot mezi 0 a 1, přičemž vyšší hodnoty znamenají,
že střední hodnoty se liší méně.
Testová statistika WF pro test shody vektorů středních hodnot vznikne transformací Λ:
Λ





−
+
−−= ln1
2
rp
nFW
. V případě platnosti nulové hypotézy se statistika WF asymptoticky řídí
rozložením ( )( )1rp2
−χ . 0H tedy zamítáme na asymptotické hladině významnosti α, když
( )( )1rpF 1
2
W −χ≥ α− . Znamená to, že jsme s rizikem omylu nejvýše %100α prokázali, že alespoň dvě
skupiny nemají stejné vektory středních hodnot.
3. Simultánní testy o složkách vektorů středních hodnot
Prokážeme-li na zvolené hladině významnosti α rozdíl mezi vektory středních hodnot, budeme
dále zjišťovat, které ze sledovaných p kvantitativních proměnných p1
X,,X K způsobují rozdíl
mezi skupinami. Provedeme tedy tzv. simultánní testy. Ty odhalí, které jednotlivé proměnné jsou
závislé na faktoru A. Současně tedy testujeme p hypotéz
r11101
:H µ==µ K , …, pr1pp0
:H µ==µ K .
Použijeme testovou statistiku založenou na Wilksově kritériu:
jj
jj
j
t
e
ln1
2
rp
nK 





−
+
−−= ,
kde jj
e resp. jj
t je j-tý diagonální prvek matice E resp. T, p,,1j K= .
V případě platnosti nulové hypotézy se statistika jK asymptoticky řídí rozložením ( )( )1rp2
−χ .
j0H tedy zamítáme na asymptotické hladině významnosti α, když ( )( )1rpK 1
2
j −χ≥ α− .
Upozornění: Může však nastat situace, kdy hypotéza o shodě vektorů středních hodnot byla na
hladině významnosti α zamítnuta, avšak simultánní testy neprokáží žádný rozdíl mezi složkami
vektorů středních hodnot. V takovém případě jsou rozdíly mezi skupinami způsobeny nějakou
kombinací sledovaných p proměnných.
4. Vícerozměrná obdoba mnohonásobného porovnávání
Dalším krokem, který následuje po zamítnutí hypotézy o shodě vektorů středních hodnot, je
provedení vícerozměrné obdoby mnohonásobného porovnávání. Chceme totiž zjistit, které
dvojice vektorů středních hodnot se liší na zvolené hladině významnosti α. Budeme tedy pro
všechny indexy **
hh,r,,1h,h ≠= K testovat hypotézu *
hh0 :H μμ = proti *
hh1 :H μμ ≠ .
Těchto testů je 





2
r
.
Nulovou hypotézu zamítneme na hladině významnosti α, když testová statistika (založená na
Lawleyově – Hotellingově kritériu)
( )
( ) ( )**
*
*
hh
1T
hh
hh
hh
nn
nn
p1r
1prn
MMEMM −−
+
⋅
−
+−− −
nabude hodnoty aspoň ( )211 ,F ννα−
, kde
( ) ( )
( )p1r2n
prnp1r
1
−−−
−−−
=ν , 1prn2
+−−=ν . Pak jsme
s rizikem omylu nejvýše %100α prokázali, že h-tá a *
h -tá skupina nemají stejné vektory
středních hodnot.
5. Simultánní testy v mnohonásobném porovnávání
Provedení MANOVY uzavřeme tím, že odhalíme případné rozdíly mezi jednotlivými
proměnnými v rámci dvojic skupin. Pro všechny indexy *
h,h , *
hh ≠ a všechny indexy
p,,1j K= testujeme na hladině významnosti α hypotézu jhhj0 *μμ:H = proti jhhj1 *μμ:H ≠ .
Zajímá nás tedy rozdíl mezi středními hodnotami j-té proměnné v h-té a *
h -té skupině. Těchto
testů je
( )
2
1rpr −
.
Testová statistika má tvar:
( )
2
j
2
jhhj
hh
hh
S
MM
nn
nn
)rn(p)1r(
1prn *
*
*
−
⋅
+
⋅
−−
+−−
(
2
j
S je j-tý diagonální prvek matice S) .
V případě platnosti nulové hypotézy se tato statistika asymptoticky řídí rozložením ( )21 ,F νν ,
kde
( ) ( )
( )p1r2n
prnp1r
1
−−−
−−−
=ν , 1prn2
+−−=ν .
Hypotézu o shodě j-tých složek vektorů středních hodnot v h-té a *
h -té skupině zamítneme na
hladině významnosti α, když tato testová statistika nabude hodnoty větší nebo rovné kvantilu
( )211 ,F ννα−
.
Upozornění:
Vícerozměrnou obdobu mnohonásobného porovnávání ani simultánní testy v mnohonásobném
porovnávání systém STATISTICA neposkytuje. Problém lze vyřešit tím, že na zvolenou hladinu
významnosti α aplikujeme Bonferroniho korekci.
V prvém případě (tj. pro vícerozměrnou obdobu mnohonásobného porovnávání) provedeme pro
každou dvojici skupin vícerozměrný dvouvýběrový t-test (tj. Hotellingův T2
test) a jeho
vypočtenou p-hodnotu porovnáme s číslem






α
2
r
. Je-li






α
≤
2
r
p , považujeme rozdíl ve vektorech
středních hodnot příslušných dvojic skupin za prokázaný.
Ve druhém případě (tj. pro simultánní testy v mnohonásobném porovnávání) provedeme pro
každou proměnnou a každou dvojici skupin dvouvýběrový t-test a jeho vypočtenou p-hodnotu
porovnáme s číslem
( )
2
1rpr −
α
. Je-li
( )
2
1rpr
p
−
α
≤ , zamítáme hypotézu o shodě středních hodnot
příslušné proměnné v daných dvou skupinách.
6. Předpoklady v MANOVĚ a jejich ověřování
Vícerozměrná normalita: V každé z r skupin bychom měli testovat hypotézu, že vektor
proměnných ( p1
X,,X K )T
se řídí p-rozměrným normálním rozložením. Testy na
vícerozměrnou normalitu však nejsou běžnou součástí statistických programových systémů.
V praxi se spokojíme s tím, že otestujeme normalitu pro každou jednotlivou proměnnou zvlášť.
Výsledky těchto testů však posuzujeme jen orientačně. Menší odchylky od normality nebrání
provedení MANOVY, při větším porušení používáme vhodné transformace.
Shoda variančních matic: Je-li třídění vyvážené, tj. ve všech skupinách je stejný počet
pozorování, je MANOVA odolná vůči porušení předpokladu shody variančních matic. V případě
nevyváženého třídění je nutné provést Boxův test shody variančních matic. Na hladině
významnosti α testujeme hypotézu r10
:H ΣΣ ==K proti alternativní hypotéze :H1 aspoň
jedna dvojice variančních matic se liší. Testová statistika má tvar:
( ) ( ) 


 −−−= 
=
r
1h
hh
p
0 ln1nlnrn
C
1
T SS , kde
( )( ) 





−
−
−+−
−+
+= 
= rn
1
1n
1
1p1r6
1p3p2
1C
r
1h
h
2
p
je konstanta zlepšující aproximaci.
V případě platnosti nulové hypotézy se statistika 0
T asymptoticky řídí rozložením
( ) ( )





 +−
χ
2
1pp1r2
. Pokud testová statistika nabude hodnoty aspoň
( ) ( )





 +−
χ α−
2
1pp1r
1
2
,
hypotézu o shodě variančních matic zamítneme na asymptotické hladině významnosti α.
Linearita vztahů: Vzhledem k tomu, že MANOVA patří do skupiny obecných lineárních
modelů, předpokládá se, že v každé skupině existuje mezi závisle proměnnými veličinami
přibližně lineární vztah. Tento předpoklad lze orientačně ověřit pomocí dvourozměrných
tečkových diagramů. Výskyt nelineárních vztahů snižuje sílu testů v MANOVĚ.
7. Aplikace MANOVY v psychologickém výzkumu
Informace o projektu „Výkonová motivace rozumově nadaných studentů s dyslexií“
Institut výzkumu dětí, mládeže a rodiny je součástí Fakulty sociálních studií Masarykovy
univerzity. Vědecká činnost tohoto institutu je zaměřena na sledování psychických a sociálních
charakteristik dětí, adolescentů a jejich rodin. V nedávné minulosti zde mj. řešili projekt
„Výkonová motivace rozumově nadaných studentů s dyslexií – základní determinanty v období
adolescence a časné dospělosti“. Tento projekt se zaměřoval na problematiku mimořádně
nadaných adolescentů a mladých dospělých se souběžnou vývojovou poruchou učení –
s dyslexií. Podle současných poznatků je právě tato skupina nadaných studentů ve značně
znevýhodňující vzdělávací pozici, která jí často znemožňuje dosahovat úspěchů ve škole i
v životě. Hlavním cílem projektu bylo sledování klíčových proměnných, které mohou být
zodpovědné za tento stav.
V rámci projektu byly vyšetřeny řádově stovky studentů. Zaměříme se na data o 166 studentech
bez dyslexie a s diagnostikovanou dyslexií, u nichž byla změřena inteligence Ravenovým testem
(maximální skóre je 60 bodů, za nadané jsou považováni studenti se skóre aspoň 56 bodů) a kteří
vyplnili dotazník zaměřený na tyto aspekty:
- vědomí vlastní účinnosti (přesvědčení jedince, že dokáže úspěšně realizovat chování, které
je potřebné k dosažení specifických cílů), výsledky jsou zaznamenány v proměnné skóre H,
která může nabývat hodnot od 10 do 40;
- osobní standardy (tendence dávat si vysoké cíle a hodnotit se v závislosti na jejich
dosažení), výsledky jsou obsaženy v proměnné skóre PS, minimální hodnota může být 7,
maximální 35;
- organizovanost (ukazuje na schopnost udržovat pořádek a řád ve vlastních věcech),
výsledky jsou shrnuty v proměnné skóre O, může nabývat hodnot mezi 6 až 30;
- potřeba poznávat, výsledky jsou zaznamenány v proměnné skóre G, která se může
pohybovat v mezích -64 až 64.
Poznámka k Ravenovu testu:
Základem testu jsou matice diagramů 3 x 3, do které se doplňuje chybějící diagram ve třetí řadě
na základě logických souvislostí. Podstatou tohoto testu je měření obecné intelektuální
schopnosti pracovat s abstraktními pojmy.
Ukázka Ravenovy matice:
Celý výzkumný soubor 166 studentů je rozčleněn na čtyři skupiny:
- nadaní studenti s dyslexií (n1 = 16, označení ND),
- nadaní studenti bez dyslexie (n2 = 40, označení NnD),
- průměrní studenti s dyslexií (n3 = 22, označení PD),
- průměrní studenti bez dyslexie (n4 = 88, označení PnD).
Metodami MANOVY zjistíme, zda na hladině významnosti 0,05 existují významné rozdíly mezi
uvedenými čtyřmi skupinami studentů a identifikujeme proměnné, které tyto rozdíly způsobují.
Ukázka části datového souboru:
Posouzení úrovně a variability sledovaných proměnných v daných čtyřech skupinách:
Souhrnné výsledky
Popisné statistiky (psychologie.sta)
Proměnná ID N platných Průměr Sm.odch.
skoreH
skorePS
skoreO
skoreG
skoreH
skorePS
skoreO
skoreG
skoreH
skorePS
skoreO
skoreG
skoreH
skorePS
skoreO
skoreG
nadany dyslektik 16 28,62500 3,61248
nadany dyslektik 16 22,43750 5,15065
nadany dyslektik 16 17,25000 3,17280
nadany dyslektik 16 18,06250 14,17260
nadany nedyslektik 40 27,25000 4,85561
nadany nedyslektik 40 20,00000 4,53477
nadany nedyslektik 40 17,65000 3,00043
nadany nedyslektik 40 3,07500 20,38525
prumerny dyslektik 22 27,63636 2,78680
prumerny dyslektik 22 20,86364 5,00757
prumerny dyslektik 22 15,86364 4,31272
prumerny dyslektik 22 7,31818 18,00102
prumerny nedyslektik 88 28,28409 4,16595
prumerny nedyslektik 88 20,88636 4,42935
prumerny nedyslektik 88 18,53409 2,84443
prumerny nedyslektik 88 0,15909 19,10581
Průměry proměnných skóre H a skóre PS se u
různých skupin příliš neliší. Průměr skóre O je
poněkud nižší ve skupině průměrných
dyslektiků. Největší rozdíly mezi průměry jsou
pozorovatelné u skóre G, kde se velmi výrazně
odlišují nadaní dyslektici a průměrní studenti
bez dyslexie.
Z hlediska variability se nejvyrovnanější jeví
průměrní dyslektici ve vědomí vlastní
účinnosti (skóre H), naopak největší
proměnlivost pozorujeme u nadaných
nedyslektiků v potřebě poznání (skóre G).
Výpočty doplníme krabicovými grafy:
Krabicový graf z více proměnných seskupený ID
psychologie.sta 7v*166c
Průměr; Krabice: Průměr±SmOdch; Svorka: Min-Max
skoreH
skorePS
skoreO
skoreG
nadany dyslektik
nadany nedyslektik
prumerny dyslektik
prumerny nedyslektik
ID
-60
-40
-20
0
20
40
60
Ověření předpokladů MANOVY
Normalita: Nejprve pomocí S-W testu ověříme předpoklad o normalitě rozložení proměnných
skóre H, skóre PS, skóre O, skóre G ve všech čtyřech skupinách.
Souhrnné výsledky
Testy normality (psychologie.sta)
Proměnná ID N W p
skoreH
skorePS
skoreO
skoreG
skoreH
skorePS
skoreO
skoreG
skoreH
skorePS
skoreO
skoreG
skoreH
skorePS
skoreO
skoreG
nadany dyslektik 16 0,943706 0,396906
nadany dyslektik 16 0,920708 0,173164
nadany dyslektik 16 0,974538 0,905670
nadany dyslektik 16 0,984604 0,989658
nadany nedyslektik 40 0,981282 0,736977
nadany nedyslektik 40 0,947461 0,062032
nadany nedyslektik 40 0,950792 0,080743
nadany nedyslektik 40 0,927833 0,013694
prumerny dyslektik 22 0,981058 0,931731
prumerny dyslektik 22 0,979518 0,908287
prumerny dyslektik 22 0,979293 0,904593
prumerny dyslektik 22 0,960403 0,497479
prumerny nedyslektik 88 0,983965 0,350405
prumerny nedyslektik 88 0,971554 0,049792
prumerny nedyslektik 88 0,968818 0,032215
prumerny nedyslektik 88 0,989775 0,728066
S-W test zamítá na hladině významnosti 0,05
hypotézu o normalitě skóre G u nadaných
nedyslektiků a dále zamítá hypotézu o normalitě
skóre PS a skóre O u průměrných nedyslektiků.
Normalita je však porušena jen mírně.
Nedopustíme se závažné chyby, budeme-li
předpokládat, že každá ze čtyř částí datové matice je
realizací výběru ze čtyřrozměrného normálního
rozložení.
Shoda variančních matic
Hypotézu o shodě variančních matic otestujeme Boxovým testem.
Boxův M test (psychologie.sta)
Efekt: ID
(Vypočteno pro všechny proměnné)
Boxovo M Chí-kv. sv p
Boxovo M 39,90594 37,13662 30 0,173196
Test shody čtyř variančních matic poskytl p-hodnotu 0,1732, tedy nadále budeme varianční
matice považovat za shodné.
Linearita vztahů
Linearitu vztahů mezi sledovanými proměnnými v daných čtyřech skupinách orientačně
posoudíme pomocí tečkových diagramů. Uvedeme zde výsledky jen pro skupinu průměrných
dyslektiků, neboť vzhled tečkových diagramů v ostatních skupinách je podobný:
Maticový graf
psychologie.sta 7v*166c
Zahrnout jestliže: ID=3
skoreH
skorePSskoreO
skoreO
skoreG
skoreG
skoreH
skorePS
skoreO
skoreG
Výrazné nelinearity se zde neprojevují. Důležité předpoklady MANOVY jsou splněny.
Testování hypotézy o shodě vektorů středních hodnot
Nyní provedeme Wilksův, Pillaiův, Hotellingův a Royův test hypotézy o shodě vektorů středních
hodnot.
Vícerozměrné testy významnosti (psychologie.sta)
Sigma-omezená parametrizace
Dekompozice efektivní hypotézy
Efekt
Test hodnota F Efekt
sv
Chyba
sv
p
Abs. člen
ID
Wilksův 0,01865 2091,936 4 159,0000 0,000000
Pillaiův 0,98135 2091,936 4 159,0000 0,000000
Hotellng 52,62732 2091,936 4 159,0000 0,000000
Royův 52,62732 2091,936 4 159,0000 0,000000
Wilksův 0,82122 2,711 12 420,9660 0,001535
Pillaiův 0,18498 2,645 12 483,0000 0,001932
Hotellng 0,21022 2,762 12 473,0000 0,001213
Royův 0,16843 6,779 4 161,0000 0,000046
Všechny čtyři testy zamítají na hladině významnosti 0,05 hypotézu, že střední hodnoty
proměnných skóre H, skóre PS, skóre O, skóre G jsou ve všech čtyřech skupinách shodné.
S rizikem omylu nejvýše 5 % jsme tedy prokázali, že aspoň mezi dvěma skupinami studentů
existuje rozdíl z hlediska sledovaných psychologických skóre.
Simultánní testy o složkách vektorů středních hodnot
Dále se pomocí simultánních testů pokusíme odhalit, které proměnné způsobují rozdíly mezi
skupinami studentů.
1
K1
2
K2
3
K3
4
K4
5
kvantil
1 2,21966888 3,21204257 13,0998874 12,5981213 21,0260698
Vidíme, že ani jedna ze čtyř statistik se nerealizuje v kritickém oboru.
Vzhledem k tomu, že hypotéza o shodě vektorů středních hodnot byla na hladině významnosti
0,05 zamítnuta, ale simultánní testy jsou nevýznamné, musí být rozdíly mezi skupinami
zapříčiněny nějakou lineární kombinací sledovaných čtyř proměnných.
Vícerozměrná obdoba mnohonásobného porovnávání
Nyní zjistíme, mezi kterými dvojicemi skupin existuje onen významný rozdíl, který byl odhalen
při testování hypotézy o shodě vektorů středních hodnot.
Vícerozměrnou obdobu mnohonásobného porovnávání STATISTICA neposkytuje. Problém
vyřešíme tak, že provedeme všech šest porovnání (1-2, 1-3, 1-4, 2-3, 2-4, 3-4) pomocí
Hotellingova T2
testu a získané p-hodnoty porovnáme s hladinou významnosti korigovanou
podle Bonferroniho, tj. s číslem 3008,0
6
05,0
2
4
2
r
==





α=





α .
Výsledek pro 1. a 2. skupinu:
t-testy; grupováno: ID (psychologie.sta) Skup. 1: nadany dyslektik; Skup. 2: nadany nedyslektik
Hotellingovo 8,38772 F(4,51)=1,9804 p<,11150
Vypočtenou p-hodnotu (tj. 0,11150) porovnáme s 3008,0 . Vidíme, že nadaní dyslektici a nadaní
nedyslektici se neliší.
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Výsledek pro 1. a 3. skupinu:
t-testy; grupováno: ID (psychologie.sta) Skup. 1: nadany dyslektik; Skup. 2: prumerny dyslektik
Hotellingovo 5,78503 F(4,33)=1,3257 p<,28093
Protože p-hodnota 0,28093 je větší než 3008,0 , můžeme konstatovat, že nadaní dyslektici a
průměrní dyslektici se neliší.
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Výsledek pro 1. a 4. skupinu:
t-testy; grupováno: ID (psychologie.sta) Skup. 1: nadany dyslektik; Skup. 2: prumerny nedyslektik
Hotellingovo 21,4183 F(4,99)=5,1971 p<,00077
V tomto případě vidíme, že nadaní dyslektici a průměrní nedyslektici se liší: 3008,000077,0 ≤
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Výsledek pro 2. a 3. skupinu:
t-testy; grupováno: ID (psychologie.sta) Skup. 1: nadany nedyslektik; Skup. 2: prumerny dyslektik
Hotellingovo 5,35556 F(4,57)=1,2719 p<,29168
Při srovnání nadaných nedyslektiků a průměrných dyslektiků nebyly odlišnosti zjištěny, protože
příslušná p-hodnota (0,28168) je větší než 3008,0 .
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Výsledek pro 2. a 4. skupinu:
t-testy; grupováno: ID (psychologie.sta) Skup. 1: nadany nedyslektik; Skup. 2: prumerny
nedyslektik Hotellingovo 7,10202 F(4,123)=1,7332 p<,14690
Nadaní a průměrní nedyslektici se neliší na hladině významnosti 0,05.
Výsledek pro 3. a 4. skupinu:
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
t-testy; grupováno: ID (psychologie.sta) Skup. 1: prumerny dyslektik; Skup. 2: prumerny
nedyslektik Hotellingovo 18,2551 F(4,105)=4,4370 p<,00236
Zde jsme prokázali, že s rizikem omylu nejvýše 5 % se liší průměrní dyslektici a nedyslektici.
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Simultánní testy v mnohonásobném porovnávání
Pro každou proměnnou provedeme dvouvýběrový t-test, abychom ji porovnali ve dvojicích
skupin 1-2, 1-3, 2-3, 2-4, 3-4 a zjistíme, zda vypočtené p-hodnoty jsou menší nebo rovny
korigované hladině významnosti
( )
0021,02405,0
2
1rpr
==
−
α .
Vypočtené p-hodnoty máme v tabulce:
skóre H skóre PS skóre O skóre G
ND x NnD 0,3109 0,0861 0,6592 0,0096
ND x PD 0,3469 0,3508 0,2839 0,0554
ND x PnD 0,7597 0,2118 0,1058 0,0006
NnD x PD 0,7330 0,4920 0,0604 0,4176
NnD x PnD 0,2191 0,2996 0,1116 0,4347
PD x PnD 0,4914 0,9833 0,0006 0,1149
Na základě této tabulky můžeme konstatovat, že:
- nadaní dyslektici a průměrní nedyslektici se liší ve skóre G (nadaní dyslektici vykazují vyšší
potřebu poznání než průměrní studenti bez dyslexie)
- průměrní dyslektici a průměrní nedyslektici se liší ve skóre O (průměrní dyslektici mají nižší
schopnost udržovat pořádek a řád ve vlastních věcech než průměrní studenti bez dyslexie).
Grafické znázornění rozdílů mezi sledovanými proměnnými v rámci čtyř skupin studentů:
Graf průměru z více proměnných seskupený ID
psychologie.sta 7v*166c
Průměr; Svorka: Průměr±0,95 Int. spolehl.
skoreH
skorePS
skoreO
skoreG
nadany dyslektik
nadany nedyslektik
prumerny dyslektik
prumerny nedyslektik
ID
-10
-5
0
5
10
15
20
25
30
35
Závěr:
Test hypotézy o shodě vektorů středních hodnot prokázal, že s rizikem omylu nejvýše 5 %
existují odlišnosti mezi čtyřmi skupinami studentů z hlediska vědomí vlastní účinnosti, osobních
standardů, organizovanosti a potřeby poznávání.
Simultánní testy o složkách vektorů středních hodnot ukázaly, že rozdíly mezi skupinami jsou
zapříčiněny nějakou lineární kombinací sledovaných čtyř proměnných.
Pomocí vícerozměrné analogie mnohonásobného porovnávání jsme zjistili, že se odlišují nadaní
dyslektici a průměrní studenti bez dyslexie a také průměrní studenti bez dyslexie a s dyslexií.
Simultánní testy v mnohonásobném porovnávání odhalily, že nadaní dyslektici vykazují vyšší
potřebu poznání než průměrní studenti bez dyslexie a průměrní dyslektici mají nižší schopnost
udržovat pořádek a řád ve vlastních věcech než průměrní studenti bez dyslexie.
Výpočet pomocí systému R
Data jsou uložena v souboru psychologie.csv. Načteme je pomocí Environment:
Environment – Import Dataset – From CSV – Browse – najdeme soubor psychologie.csv –
Otevřít – Import.
Načtený soubor přejmenujeme:
data<-psychologie
Proměnnou ID zavedeme jako faktor:
data$ID<-factor(data$ID)
Zjistíme rozsahy jednotlivých skupin:
table(data$ID)
nadany dyslektik nadany nedyslektik prumerny dyslektik prumerny nedyslektik
16 40 22 88
Vypočítáme průměry pro nadané dyslektiky, nadané nedyslektiky, průměrné dyslektiky a
průměrné nedyslektiky:
colMeans(data[data$ID=="nadany
dyslektik",4:7])
skoreH skorePS skoreO skoreG
28.6250 22.4375 17.2500 18.0625
colMeans(data[data$ID==" nadany
nedyslektik",4:7])
skoreH skorePS skoreO skoreG
27.250 20.000 17.650 3.075
colMeans(data[data$ID=="prumerny
dyslektik",4:7])
skoreH skorePS skoreO skoreG
27.636364 20.863636 15.863636 7.318182
colMeans(data[data$ID=="prumerny
nedyslektik",4:7])
skoreH skorePS skoreO skoreG
28.2840909 20.8863636 18.5340909 0.1590909
Vypočítáme výběrové varianční matice pro nadané dyslektiky, nadané nedyslektiky, průměrné
dyslektiky a průměrné nedyslektiky:
var(data[data$ID=='nadany dyslektik',4:7])
skoreH skorePS skoreO skoreG
skoreH 13.050000 9.708333 4.566667 11.29167
skorePS 9.708333 26.529167 5.083333 31.83750
skoreO 4.566667 5.083333 10.066667 16.38333
skoreG 11.291667 31.837500 16.383333 200.86250
var(data[data$ID=='nadany nedyslektik',4:7])
skoreH skorePS skoreO skoreG
skoreH 23.576923 7.205128 1.346154 42.673077
skorePS 7.205128 20.564103 4.974359 49.769231
skoreO 1.346154 4.974359 9.002564 3.155128
skoreG 42.673077 49.769231 3.155128 415.558333
var(data[data$ID=='prumerny dyslektik',4:7])
skoreH skorePS skoreO skoreG
skoreH 7.766234 3.709957 3.567100 -8.926407
skorePS 3.709957 25.075758 3.790043 43.950216
skoreO 3.567100 3.790043 18.599567 -10.287879
skoreG -8.926407 43.950216 -10.287879 324.036797
var(data[data$ID=='prumerny nedyslektik',4:7])
skoreH skorePS skoreO skoreG
skoreH 17.3551463 8.814263 0.8005486 27.48302
skorePS 8.8142633 19.619122 4.0498955 40.69645
skoreO 0.8005486 4.049896 8.0907785 15.07497
skoreG 27.4830199 40.696447 15.0749739 365.03187
Nyní pomocí H-Z testu ověříme, zda data pro nadané dyslektiky, nadané nedyslektiky, průměrné
dyslektiky a průměrné nedyslektiky pocházejí ze čtyřrozměrného normálního rozložení.
HZ.test(data[data$ID=="nadany dyslektik",4:7],qqplot=T)
Henze-Zirkler test for Multivariate Normality
data : data[data$ID == "nadany dyslektik", 4:7]
HZ : 0.7110436
p-value : 0.3241268
Result : Data are multivariate normal (sig.level = 0.05)
HZ.test(data[data$ID=="nadany nedyslektik",4:7],qqplot=T)
Henze-Zirkler test for Multivariate Normality
data : data[data$ID == "nadany nedyslektik", 4:7]
HZ : 1.203365
p-value : 0.0003048462
Result : Data are not multivariate normal (sig.level = 0.05)
Vidíme, že ve skupině nadaných nedyslektiků je čtyrrozměrná normalita porušena, avšak
vzhledem k dostatečně velkému rozsahu této skupiny (40 studentů) budeme s daty pracovat jako
by předpoklad normality splňovala.
HZ.test(data[data$ID=="prumerny dyslektik",4:7],qqplot=T)
Henze-Zirkler test for Multivariate Normality
data : data[data$ID == "prumerny dyslektik", 4:7]
HZ : 0.5654739
p-value : 0.9008939
Result : Data are multivariate normal (sig.level = 0.05)
HZ.test(data[data$ID=="prumerny nedyslektik",4:7],qqplot=T)
Henze-Zirkler test for Multivariate Normality
data : data[data$ID == "prumerny nedyslektik", 4:7]
HZ : 0.7184389
p-value : 0.7915785
Result : Data are multivariate normal (sig.level = 0.05)
Kvůli vykreslení krabicových diagramů zavedeme zkrácené označení pro 4 skupiny studentů:
data$ID2<-factor(data$ID,labels=c("ND","NnD","PD","PnD"))
par(mfrow=c(2,2))
boxplot(data$skoreH ~ data$ID2, ylab='skore H - vedomi vlastni ucinnosti')
boxplot(data$skorePS ~ data$ID2, ylab='skore PS - osobni standardy')
boxplot(data$skoreO ~ data$ID2, ylab='skore O - organizovanost')
boxplot(data$skoreG ~ data$ID2, ylab='skore G - potreba poznavat')
K ověření shody variančních matic použijeme Boxův M-test z knihovny biotools:
library(biotools)
boxM(data[,4:7],grouping=data$ID)
Box's M-test for Homogeneity of Covariance Matrices
data: data[, 4:7]
Chi-Sq (approx.) = 37.137, df = 30, p-value = 0.1732
Ověření linearity vztahů ukážeme jen pro skupinu nadaných dyslektiků. Použijeme k tomu
matici dvourozměrných tečkových diagramů:
plot(data[data$ID=="nadany dyslektik",4:7])
Po ověření předpokladů sestavíme model MANOVA a postupně vypíšeme výsledky Wilksova,
Pillaiova, Hotellingova a Royova testu hypotézy o shodě vektorů středních hodnot:
model <- manova(as.matrix(data[4:7]) ~ data$ID)
summary(model,test='Wilks')
Df Wilks approx F num Df den Df Pr(>F)
data$ID 3 0.82122 2.7113 12 420.97 0.001535 **
Residuals 162
---
summary(model,test='Pillai')
Df Pillai approx F num Df den Df Pr(>F)
data$ID 3 0.18498 2.6449 12 483 0.001932 **
Residuals 162
---
summary(model,test='Hotelling-Lawley')
Df Hotelling-Lawley approx F num Df den Df Pr(>F)
data$ID 3 0.21022 2.762 12 473 0.001213 **
Residuals 162
---
summary(model,test='Roy')
Df Roy approx F num Df den Df Pr(>F)
data$ID 3 0.16843 6.7795 4 161 4.554e-05 ***
Residuals 162
---
Všechny čtyři testy na hladině významnosti 0,05 zamítají hypotézu o shodě vektorů středních
hodnot.
Nyní se pomocí simultánních testů založených na Wilksově statistice pokusíme zjistit, které
proměnné zapříčiňují rozdíly:
> SSB <- summary(model,test='Wilks')$SS[[1]]
> SSE <- summary(model,test='Wilks')$SS[[2]]
> SST <- SSB + SSE
> n <- nrow(data)
> k<-4
> r<-4
> const <- (n- (k+r)/2 -1)
> K <- -const * log(diag(SSE)/diag(SST))
> K
skoreH skorePS skoreO skoreG
2.219678 3.212055 13.099897 12.598135
> kvantil <- qchisq(0.95, df=k*(r-1))
> kvantil
[1] 21.02607
Protože se ani jedna ze čtyř statistik nerealizuje v kritickém oboru, musí být rozdíly mezi
skupinami způsobeny nějakou lineární kombinací proměnných skoreH, skorePS, skoreO,
skoreG.
V dalším kroku provedeme vícerozměrnou obdobu mnohonásobného porovnávání, a to tak, že
pomocí všech šesti dvouvýběrových Hotellingových T2
-testů porovnáme dvojice vektorů
středních hodnot a výsledné p-hodnoty porovnáme s hladinou významnosti korigovanou podle
Bonferroniho 0083,0
6
05,0
= .
alpha.korig <- 0.05/ choose(r,2)
alpha.korig
[1] 0.008333333
Výsledek pro dvojici (nadaní dyslektici, nadaní nedyslektici):
library(ICSNP)
Loading required package: ICS
HotellingsT2(data[data$ID2=='ND',4:7], data[data$ID2=='NnD',4:7])
Hotelling's two sample T2-test
data: data[data$ID2 == "ND", 4:7] and data[data$ID2 == "NnD", 4:7]
T.2 = 1.9804, df1 = 4, df2 = 51, p-value = 0.1115
alternative hypothesis: true location difference is not equal to c(0,0,0,0)
Výsledek pro dvojici (nadaní dyslektici, průměrní dyslektici):
HotellingsT2(data[data$ID2=='ND',4:7], data[data$ID2=='PD',4:7])
Hotelling's two sample T2-test
data: data[data$ID2 == "ND", 4:7] and data[data$ID2 == "PD", 4:7]
T.2 = 1.3257, df1 = 4, df2 = 33, p-value = 0.2809
alternative hypothesis: true location difference is not equal to c(0,0,0,0)
Výsledek pro dvojici (nadaní dyslektici, průměrní nedyslektici):
HotellingsT2(data[data$ID2=='ND',4:7], data[data$ID2=='PnD',4:7])
Hotelling's two sample T2-test
data: data[data$ID2 == "ND", 4:7] and data[data$ID2 == "PnD", 4:7]
T.2 = 5.1971, df1 = 4, df2 = 99, p-value = 0.0007661
alternative hypothesis: true location difference is not equal to c(0,0,0,0)
Výsledek pro dvojici (nadaní nedyslektici, průměrní dyslektici):
HotellingsT2(data[data$ID2=='NnD',4:7], data[data$ID2=='PD',4:7])
Hotelling's two sample T2-test
data: data[data$ID2 == "NnD", 4:7] and data[data$ID2 == "PD", 4:7]
T.2 = 1.2719, df1 = 4, df2 = 57, p-value = 0.2917
alternative hypothesis: true location difference is not equal to c(0,0,0,0)
Výsledek pro dvojici (nadaní nedyslektici, průměrní nedyslektici):
HotellingsT2(data[data$ID2=='NnD',4:7], data[data$ID2=='PnD',4:7])
Hotelling's two sample T2-test
data: data[data$ID2 == "NnD", 4:7] and data[data$ID2 == "PnD", 4:7]
T.2 = 1.7332, df1 = 4, df2 = 123, p-value = 0.1469
alternative hypothesis: true location difference is not equal to c(0,0,0,0)
Výsledek pro dvojici (průměrní dyslektici, průměrní nedyslektici):
HotellingsT2(data[data$ID2=='PD',4:7], data[data$ID2=='PnD',4:7])
Hotelling's two sample T2-test
data: data[data$ID2 == "PD", 4:7] and data[data$ID2 == "PnD", 4:7]
T.2 = 4.437, df1 = 4, df2 = 105, p-value = 0.002362
alternative hypothesis: true location difference is not equal to c(0,0,0,0)
Odlišnost se prokázala u dvojic (nadaní dyslektici, průměrní nedyslektici) a (průměrní dyslektici,
průměrní nedyslektici).
Nakonec chceme zjistit, které proměnné způsobují rozdíly mezi jednotlivými dvojicemi skupin.
K tomu využijeme dvouvýběrový t-test, v němž je ovšem nutné korigovat hladinu významnosti
počtem prováděných testů, v našem případě jich je 24.
alpha.korig2 <- 0.05 / (k*r*(r-1)/2)
alpha.korig2
[1] 0.002083333
Postup ukážeme jen pro proměnnou skoreH a dvojici skupin (nadaný dyslektik, nadaný
nedyslektik):
Nejprve F-testem ověříme shodu rozptylů:
var.test(data$skoreH[data$ID2=='ND'],data$skoreH[data$ID2=='NnD'])
F test to compare two variances
data: data$skoreH[data$ID2 == "ND"] and data$skoreH[data$ID2 == "NnD"]
F = 0.55351, num df = 15, denom df = 39, p-value = 0.2168
alternative hypothesis: true ratio of variances is not equal to 1
95 percent confidence interval:
0.2525853 1.4333585
sample estimates:
ratio of variances
0.5535073
Provedeme dvouvýběrový t-test:
t.test(data$skoreH[data$ID2=='ND'],data$skoreH[data$ID2=='NnD'],var.equal = T)
Two Sample t-test
data: data$skoreH[data$ID2 == "ND"] and data$skoreH[data$ID2 == "NnD"]
t = 1.0228, df = 54, p-value = 0.3109
alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 0
95 percent confidence interval:
-1.320141 4.070141
sample estimates:
mean of x mean of y
28.625 27.250
Analogicky postupujeme v ostatních případech. Nakonec porovnáním p-hodnot s korigovanou
hladinou významnosti 0,0021 zjistíme, že
- nadaní dyslektici a průměrní nedyslektici se liší ve skóre G (nadaní dyslektici vykazují vyšší
potřebu poznání než průměrní studenti bez dyslexie)
- průměrní dyslektici a průměrní nedyslektici se liší ve skóre O (průměrní dyslektici mají nižší
schopnost udržovat pořádek a řád ve vlastních věcech než průměrní studenti bez dyslexie).