Osnova přednášky Vícenásobná lineární regrese
1. Popis modelu
2. Specifika modelu vícenásobné lineární regrese
2.1. Kroky před provedením regresní analýzy
2.2. Sedm hlavních předpokladů modelu
2.3. Ověřování předpokladů modelu
2.4. Posouzení vlivu nezávisle proměnných veličin v modelu
2.5. Pravidla pro stanovení počtu pozorování v závislosti na počtu prediktorů
3. Dvě hlavní metody při provádění vícenásobné lineární regrese
3.1. Metoda ENTER
3.2. Metoda STEPWISE
3.3. Postup při budování modelu vícenásobné lineární regrese
4. Příklad
Model Yi = β0 + β1Xil + ... + βpXip+ εi, i = 1, ..., n lze formálně ztotožnit s lineárním regresním
modelem z přednášky „Jednoduchá lineární regrese“:
Yi = β0 + β1 f1(xi) + ... + βp fp(xi) + εi, i = 1, ..., n,
kde položíme f1(xi) = xi1, ..., fp(xi) = xip, i = 1,..., n.
Dostáváme tedy maticový tvar Y = Xβ + ε, kde regresní matice










=
np1n
p111
xx1
xx1
K
KKKK
K
X , přičemž h(X) = p+1 < n a ε ~ Nn(0, σ2
I).
Všechny výsledky uvedené v přednášce „Jednoduchá lineární regrese“ zůstávají v platnosti.
Příklady vícenásobné regrese
Lékaře zajímá, jak krevní tak Y závisí na věku pacienta X1, na jeho BMI X2 a na
množství vypitého alkoholu X3.
Majitele realitní kanceláře zajímá, jak cena bytu Y závisí na velikosti bytu X1, na počtu
pokojů X2, vzdálenosti bytu od centra města X3 a existenci vlastního parkovacího místa
X4 (1 – ano, 0 – ne).
Pěstitele brambor zajímá, jak výnos Y jisté odrůdy brambor závisí na množství
dodaného hnojiva X1, na množství srážek X2 ve vegetačním období a na teplotě půdy
X3.
Ekonoma zajímá, jak výdaje domácnosti za potraviny a nápoje Y závisí na čistém
příjmu domácnosti X1 a na počtu členů domácnosti X2.
Příklad:
Při zkoumání závislosti hodinové výkonnosti dělníka (veličina Y – v kusech) na jeho věku (veličina X1 – v letech) a době
zapracovanosti (veličina X2 – v letech) byly u 10 náhodně vybraných dělníků zjištěny tyto údaje:
Y 67 65 75 66 77 84 69 60 70 66
X1 43 40 49 46 41 41 48 34 32 42
X2 6 8 14 14 8 12 16 1 5 7
Najděte regresní matici a vektor regresních parametrů.
Řešení:
































=
7421
5321
1341
16481
12411
8411
14461
14491
8401
6431
X 









β
β
β
=
2
1
0
β
2. Specifika modelu vícenásobné lineární regrese
2.1. Kroky před prováděním vícenásobné lineární regrese
a) Musíme prozkoumat, zda naše data splňují předpoklady pro regresní analýzu.
b) Pokud je nesplňují, posoudíme, jak vážné je porušení těchto předpokladů.
c) Je-li porušení předpokladů vážné, musíme s daty provést některé operace, abychom
porušení předpokladů odstranili (nebo aspoň zmírnili).
2.2. Sedm hlavních předpokladů regresní analýzy
1. Závisle proměnná Y musí být proměnná aspoň intervalového typu. (Pokud není, musíme použít logistickou
regresi.)
2. Nezávisle proměnné X1, ..., Xp jsou rovněž aspoň intervalového typu. Mohou to být i proměnné alternativní.
3. Nezávisle proměnné by neměly být mezi sebou příliš vysoce korelovány. Pokud v datech existuje
multikolinearita, výsledky regrese jsou nespolehlivé. Vysoká multikolinearita zvyšuje pravděpodobnost, že důležitá
nezávisle proměnná bude shledána statisticky nevýznamná a bude vyřazena z modelu.
4. V datech nesmějí být odlehlé či extrémní hodnoty, neboť na ty je regresní analýza citlivá. Odlehlé hodnoty
mohou vážně narušit kvalitu odhadů regresních parametrů.
5. Proměnné musejí být v lineárním vztahu. Vícenásobná lineární regrese je založena Pearsonově korelačním
koeficientu, takže neexistence linearity způsobuje, že i důležité vztahy mezi proměnnými, pokud nejsou lineární,
zůstanou neodhaleny.
6. Proměnné mají normální rozložení. Význam tohoto předpokladu ustupuje do pozadí, máme-li dostatečně velký
datový soubor, kde se již uplatňuje působení centrální limitní věty.
7. Proměnné vykazují homoskedasticitu, tedy homogenitu rozptylu. (Opakem homoskedasticity je
heteroskedasticita.)
2.3. Ověřování předpokladů modelu
Ověřování normality:
- jednorozměrná: použijeme např. N-P plot a S-W test či Lilieforsův test.
- vícerozměrná: sestrojíme graf závislosti reziduí na predikovaných hodnotách. Tečky by měly
být rovnoměrně rozptýleny po obou stranách vodorovné osy.
62 64 66 68 70 72 74 76
Predikované hodnoty
-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
12
Rezidua
Odhalení multikolinearity:
- Vysoké absolutní hodnoty výběrových korelačních koeficientů nezávisle proměnných (orientačně > 0,75).
- Velké rozdíly mezi párovými a parciálními korelačními koeficienty.
- Celkový F-test je významný, ale dílčí t-testy nikoliv.
Informace o multikolinearitě poskytuje koeficientu VIF (Variance inflation factor). Má-li koeficient VIF
hodnotu 1, pak příslušná nezávisle proměnná není korelovaná s ostatními nezávisle proměnnými, jestliže
1 < VIF < 5, pak existuje mírná korelace, pro VIF > 5 vysoká korelace a pro VIF > 10 extrémní multikolinearita.
Užitečný je též ukazatel tolerance. Hodnoty pod 0,2 svědčí o multikolinearitě.
Odstranění multikolinearity:
- Je-li multikolinearita způsobena silnou lineární závislostí dvou proměnných, vypustíme jednu z nich
z analýzy. Tím se nedopustíme žádné závažné chyby, neboť když máme dvě vysoce vzájemně korelované
proměnné, velmi často to znamená, že obě indikují podobný jev. Tím, že jednu z těchto proměnných z regresního
modelu vyřadíme, nijak jej neoslabíme.
- Je-li multikolinearita zapříčiněna vzájemnou korelovaností několika proměnných, nabízí se řešení zkombinovat
je do jedné nové proměnné. Tu vytvoříme např. s pomocí analýzy hlavních komponent.
Příklad: Při zkoumání závislosti hodinové výkonnosti dělníka (veličina Y – v kusech) na jeho věku (veličina
X1 – v letech) a době zapracovanosti (veličina X2 – v letech) byly u 10 náhodně vybraných dělníků zjištěny
tyto údaje:
Y 67 65 75 66 77 84 69 60 70 66
X1 43 40 49 46 41 41 48 34 32 42
X2 6 8 14 14 8 12 16 1 5 7
Posuďte pomocí koeficientu VIF a ukazatelu tolerance, zda proměnné věk a doba zapracovanosti mohou způsobit
multikolinearitu v modelu ε+β+β+β= 22110
xxY .
Řešení:
Efekt
Toler. Rozptyl
Infl fak
R^2 Y
Beta v
Y
Parciál.
Y
Semipar.
Y
t
Y
p
"X1"
"X2"
0,282545 3,539258 0,717455 -0,550937 -0,328630 -0,292850 -0,920604 0,387883
0,282545 3,539258 0,717455 0,920415 0,502564 0,489246 1,537994 0,167937
Koeficient VIF je 3,54, ukazatel tolerance je větší než 0,2, tedy mezi věkem a dobou zapracovanosti existuje
jen mírná korelace.
Odhalení nelinearity vztahů:
Pomocí tečkového diagramu prozkoumáme závislost reziduí na hodnotách závisle proměnné veličiny Y. Pokud tečky
vytvoří nelineární obrazec, pak buď jedna z nezávisle proměnných nebo kombinace nezávisle proměnných mají
nelineární vztah se závisle proměnnou veličinou Y. Tento graf nám také pomůže odhalit případnou heteroskedasticitu
v datech.
Odstranění nelinearity vztahů:
Doporučuje se ty proměnné, u nichž jsme detekovali nelinearitu, transformovat pomocí logaritmické nebo
odmocninové transformace. Pokud tento postup nepomůže, musíme použít nelineární regresi.
Odhalení odlehlých hodnot:
Použijeme krabicové grafy nebo pravidlo 3 sigma. Odlehlé hodnoty mají velký vliv na kvalitu odhadu regresních
parametrů.
Způsoby řešení problému odlehlých hodnot:
Ověříme, zda při zadávání hodnot dané proměnné nedošlo k překlepu;
proměnnou transformujeme;
upravíme hodnotu odlehlého případu;
odstraníme případy s odlehlou hodnotou;
proměnnou vymažeme.
2.4. Posouzení vlivu jednotlivých nezávisle proměnných v modelu
Chceme-li porovnávat vliv, jaký mají proměnné x1, ..., xp v modelu Y = Xβ + ε, můžeme spočítat
tzv. standardizované regresní parametry, kterým se také říká B-koeficienty (nebo také beta koeficienty).
Zavedeme proto standardizované veličiny
j
j
x
xij
ij
Y
Yi
i
s
mx
v,
s
mY
Z
−
=
−
= , j = 1, ..., p, i = 1, ..., n
a vytvoříme regresní model s těmito standardizovanými proměnnými. Odhady regresních parametrů
v tomto novém modelu jsou B-koeficienty, které pak vyjadřují intenzitu vlivu jednotlivých
nezávisle proměnných veličin na veličinu Y.
V sytému STATISTICA jsou B-koeficienty značeny b*.
Graficky lze absolutní hodnoty standardizovaných regresních parametrů (nebo absolutní hodnoty
testových statistik dílčích t-testů) znázornit pomocí Paretových grafů.
Paretův graf t-hodnot koeficienů; sv=7
Proměnná: Y: vykon delnika
Sigma-omezená parametrizace
,9206035
1,537994
p=,05
t-hodnota (koeficienty; absolutní hodnota)
"X1"
"X2"
,9206035
1,537994
Paretův graf standardizovaných koeficientů
Proměnná: Y: vykon delnika
Sigma-omezená parametrizace
,5509366
,9204152
0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0
Standardizované koeficienty (absolutní hodnota)
"X1"
"X2"
,5509366
2.5. Pravidla pro stanovení počtu pozorování v závislosti na počtu prediktorů
a)Pokud nás přednostně zajímá variabilita vysvětlená modelem (tj. index determinace),
mělo by platit n ≥ 50 + 8p. Např. pro 4 prediktory bychom měli mít aspoň 82
pozorování.
b)Zajímají-li nás odhady regresních parametrů (tj. jde nám především o predikci),
mělo by platit n ≥ 104 + p. Např. pro 4 prediktory bychom měli mít aspoň 108
pozorování.
c)Nejnižší možný poměr proměnná/počet případů je 1:5. V tom případě ale platí silný
požadavek na normalitu – rozložení reziduí by mělo být normální. Při čtyřech
prediktorech bychom měli mít aspoň 20 pozorování.
Příklad: Při zkoumání závislosti hodinové výkonnosti dělníka (veličina Y – v kusech) na jeho věku (veličina X1 – v letech)
a době zapracovanosti (veličina X2 – v letech) byly u 10 náhodně vybraných dělníků zjištěny tyto údaje:
Y 67 65 75 66 77 84 69 60 70 66
X1 43 40 49 46 41 41 48 34 32 42
X2 6 8 14 14 8 12 16 1 5 7
Posuďte vliv věku a doby zapracovanosti na výkon dělníka pomocí odhadů standardizovaných regresních parametrů a interpretujte
nestandardizované odhady regresních parametrů.
Řešení:
Výsledky regrese se závislou proměnnou : Y (vykony delniku.sta)
R= ,54005243 R2= ,29165662 Upravené R2= ,08927280
F(2,7)=1,4411 p<,29913 Směrod. chyba odhadu : 6,6491
N=10
b* Sm.chyba
z b*
b Sm.chyba
z b
t(7) p-hodn.
Abs.člen
X1
X2
86,74217 25,32397 3,425299 0,011056
-0,550937 0,598452 -0,70031 0,76071 -0,920604 0,387883
0,920415 0,598452 1,35062 0,87817 1,537994 0,167937
Odhady standardizovaných regresních parametrů jsou uvedeny ve sloupci b*
. Pro věk má tento parametr hodnotu -0,5509 a
pro dobu zapracovanosti 0,9204. V absolutní hodnotě je vyšší parametr pro dobu zapracovanosti, tedy tato proměnná má
vyšší vliv na výkon než věk.
Odhad konstanty je 86,74, což znamená, že dělníka s věkem 0 a dobou zapracovanosti 0 by hodinový výkon byl 86,74.
Odhad parametru pro věk je -0,7, tedy při konstantní době zapracovanosti by se při zvýšení věku o rok výkon snížil o 0,7.
Odhad parametru pro dobu zapracovanosti je 1,35, což znamená, že při konstantním věku by se při zvýšení doby zapracovanosti
o rok zvýšil výkon o 1,35.
Příklad řešený v systému R
Při zkoumání závislosti hodinové výkonnosti dělníka (veličina Y – v kusech) na jeho věku
(veličina X1 – v letech) a době zapracovanosti (veličina X2 – v letech) byly u 10 náhodně
vybraných dělníků zjištěny tyto údaje:
Y 67 65 75 66 77 84 69 60 70 66
X1 43 40 49 46 41 41 48 34 32 42
X2 6 8 14 14 8 12 16 1 5 7
Úkolem je provést v systému R regresní analýzu modelu Y = β 0 + β1x1 + β2x2. Data jsou
uložena v souboru vykony_delniku.txt.
Načtení dat a pojmenování proměnných:
data<-read.delim('vykony delniku.txt',sep=' ', header=T)
Y<-data$Y
X1<-data$X1
X2<-data$X2
Výpočet korelační matice:
cor(data)
Y X1 X2
Y 1.000000 0.2286800 0.4537570
X1 0.228680 1.0000000 0.8470271
X2 0.453757 0.8470271 1.0000000
Vytvoření modelu a jeho výstup:
vystup1<-lm(Y~X1+X2)
> summary(vystup1)
Call:
lm(formula = Y ~ X1 + X2)
Residuals:
Min 1Q Median 3Q Max
-7.4367 -4.4717 -0.9345 3.3150 9.7630
Coefficients:
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
(Intercept) 86.7422 25.3240 3.425 0.0111 *
X1 -0.7003 0.7607 -0.921 0.3879
X2 1.3506 0.8782 1.538 0.1679
---
Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1
Residual standard error: 6.649 on 7 degrees of freedom
Multiple R-squared: 0.2917, Adjusted R-squared: 0.08927
F-statistic: 1.441 on 2 and 7 DF, p-value: 0.2991
Ověření předpokladů modelu:
par(mfrow=c(2,2))
plot(vystup1)
Testování normality reziduí:
shapiro.test(vystup1$residuals)
Shapiro-Wilk normality test
data: vystup1$residuals
W = 0.9355, p-value = 0.5041
Provedení Durbinova – Watsonova testu autokorelovanosti reziduí:
durbinWatsonTest(vystup1)
lag Autocorrelation D-W Statistic p-value
1 -0.1974273 2.376259 0.446
Alternative hypothesis: rho != 0
Výpočet koeficientu VIF:
library(car)
vif(vystup1)
X1 X2
3.539258 3.539258
Pro posouzení vlivu jednotlivých nezávisle proměnných v modelu vytvoříme standardizovaná
data:
sdata<-scale(data)
Pojmenujeme jednotlivé standardizované proměnné:
sY<-sdata[,1]
sX1<-sdata[,2]
sX2<-sdata[,3]
Vytvoříme model se standardizovanými proměnnými a podíváme se na jeho výstup:
svystup1<-lm(sY~sX1+sX2)
summary(svystup1)
Call:
lm(formula = sY ~ sX1 + sX2)
Residuals:
Min 1Q Median 3Q Max
-1.0674 -0.6418 -0.1341 0.4758 1.4012
Coefficients:
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
(Intercept) -1.118e-15 3.018e-01 0.000 1.000
sX1 -5.509e-01 5.985e-01 -0.921 0.388
sX2 9.204e-01 5.985e-01 1.538 0.168
Residual standard error: 0.9543 on 7 degrees of freedom
Multiple R-squared: 0.2917, Adjusted R-squared: 0.08927
F-statistic: 1.441 on 2 and 7 DF, p-value: 0.2991
3. Dvě hlavní metody při provádění mnohonásobné lineární regrese
3.1. Metoda ENTER
Tato metoda je standardní metoda, do modelu vstupují všechny nezávisle proměnné najednou.
Metodu ENTER použijeme v případě,
- kdy chceme popsat, jak velký podíl rozptylu závisle proměnné veličiny Y je vysvětlen
nezávisle proměnnými veličinami X1, …, Xp (zajímá nás index determinace),
- kdy chceme zjistit, jak velký vliv má každá z nezávisle proměnných na proměnnou závislou při
kontrole vlivu působení ostatních proměnných (interpretujeme nestandardizované odhady
regresních parametrů),
- kdy nás zajímá, jaká je relativní důležitost každé z nezávisle proměnných (posuzujeme
standardizované odhady regresních parametrů).
3.2. Metoda STEPWISE
Metoda STEPWISE (postupná regrese) je metoda nalezení „nejlepšího“ modelu (co nejmenší počet nezávisle
proměnných veličin, co nejkvalitněší predikce).
Uživatel nekontroluje pořadí proměnných, jak postupně vstupují do modelu, to provádí samotný program,
který pracuje podle jistého algoritmu.
Používá se ve dvou variantách – dopředná (forward) a zpětná (backward).
Při metodě forward se prediktory postupně přidávají, při metodě backward se nejdříve zařadí všechny
prediktory a pak se postupně odebírají.
Pořadí vkládání nezávisle proměnných je důležité, neboť může vést k různým odhadům jejich důležitosti
v modelu. Proto je při mnohonásobné regresi vždy nutné si dobře rozmyslet, jakou metodu vkládání
proměnných zvolíme.
Princip postupné regrese spočívá v tom, že regresní model je budován krok po kroku tak, že v každém kroku
zkoumáme všechny prediktory a zjišťujeme, který z nich nejlépe vystihuje variabilitu závisle proměnné
veličiny.
Zařazování prediktoru do modelu či jeho vylučování se děje pomocí sekvenčních F-testů.
Sekvenční F-test je založen na statistice F, která je podílem přírůstku regresního součtu čtverců při zařazení
daného prediktoru do modelu a reziduálního součtu čtverců.
Jestliže je tato statistika větší než hodnota zvaná „F to enter“ (česky „F na zahrnutí“, ve STATISTICE
implicitně 1 pro dopřednou metodu, 11 pro zpětnou), je prediktor zařazen.
Je-li statistika F menší než hodnota zvaná „F to remove“ (česky „F na vyjmutí“, ve STATISTICE implicitně
0 pro dopřednou metodu, 10 pro zpětnou), je již dříve zařazený prediktor z modelu vyloučen.
Po vybrání proměnných do modelu jsou odhadnuty parametry lineární regresní funkce a kvalita regrese je
posouzena indexem determinace.
Do modelu se postupně přidávají další proměnné, pokud se zvyšuje podíl vysvětlené variability hodnot
veličiny Y.
3.3. Postup při budování modelu vícenásobné lineární regrese
Metoda ENTER
1. Ověříme předpoklady modelu: normalitu, homoskedasticitu, prozkoumáme existenci případné multikolinearity,
prověříme linearitu vztahů, detekujeme případná vybočující pozorování.
2. V modelu Yi = β0 + β1xil + ... + βpxip + εi, i = l, ..., n získáme bodové a intervalové odhady regresních parametrů
β0, βl, ..., βp, index determinace, odhad rozptylu. Provedeme dílčí t-testy a celkový F-test. Vliv jednotlivých
proměnných posoudíme pomocí B-koeficientů.
3. Z modelu vyloučíme ty nezávisle proměnné, pro něž byly dílčí t-testy nevýznamné a odhadneme parametry
výsledného modelu.
4. Provedeme reziduální analýzu.
Metoda STEPWISE
1. Ověření předpokladů modelu.
2. Zvolíme dopřednou nebo zpětnou metodu Stepwise, nastavíme hladinu významnosti, hodnoty F na zahrnutí
a F na vyjmutí (nebo ponecháme implicitně nastavené hodnoty 0,05, 1, 0.
3. Pro výsledný model provedeme reziduální analýzu.
4. Příklad:
U 15 žen ve věkové kategorii 20 – 50 let byly zjištěny tyto údaje: tělesná hmotnost (v kg – závisle
proměnná veličina Y), tělesná výška (v cm – nezávisle proměnná veličina neboli regresor X1),
věk (v letech, regresor X2):
1
Y
2
X1
3
X2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
52,2 147,3 45
53,1 149,9 25
54,4 152,4 39
55,8 154,9 43
57,1 157,5 35
58,5 160,0 38
59,9 162,6 36
61,2 165,1 47
63,0 167,6 34
64,4 170,2 23
66,2 172,7 37
68,0 175,3 42
69,8 177,8 32
72,1 180,3 49
74,4 182,9 26
Zajímá nás, jakou hmotnost u ženy můžeme očekávat, jestliže známe její výšku a věk
Řešení:
Sestavíme regresní model Yi = β0 + β1xil + β2xi2 + εi, i = 1, ..., 15.
Nejprve sestrojíme dvourozměrné tečkové diagramy vyjadřující závislost Y na X1, X2.¨
Závislost hmotnosti na výšce
145 150 155 160 165 170 175 180 185
X1
50
52
54
56
58
60
62
64
66
68
70
72
74
76
Y
Závislost hmotnosti na věku
20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50 52
X2
50
52
54
56
58
60
62
64
66
68
70
72
74
76
Y
Dále spočteme koeficienty korelace
mezi hmotností a výškou: rYX1 = 0,9955
mezi hmotností a věkem: rYX2 = -0,108
mezi výškou a věkem: rX1X2 = -0,109
Vidíme, že korelace mezi hmotností a výškou je přímá a velmi silná, avšak mezi hmotností a
věkem či mezi výškou a věkem je nepřímá a jen slabá.
Metodou nejmenších čtverců získáme odhady regresních parametrů.
Výsledky regrese se závislou proměnnou : Y (Tabulka1)
R= ,99549503 R2= ,99101036 Upravené R2= ,98951208
F(2,12)=661,43 p<,00000 Směrod. chyba odhadu : ,71983
N=15
b* Sm.chyba
z b*
b Sm.chyba
z b
t(12) p-hodn.
Abs.člen
X1
X2
-39,7220 3,051469 -13,0174 0,000000
0,995574 0,027535 0,6160 0,017038 36,1565 0,000000
0,000729 0,027535 0,0006 0,024510 0,0265 0,979327
Empirická regresní funkce má tvar Y
)
= -39,722 + 0,616x1 + 0,0006x2. Variabilita proměnné Y je z 99,1 %
vysvětlená zvoleným regresním modelem. Pro α = 0,05 je celkový F-test významný, dílčí t-testy pro β0 a β1
rovněž, avšak parametr β2 je nevýznamný. Podíváme-li se na beta koeficienty, vidíme, že největší vliv má
proměnná X1. Sestavíme tedy nový model Yi = β0 + β2xi1 + εi, i = 1, ..., 15. Metodou nejmenších čtverců
opět získáme odhady regresních parametrů.
Výsledky regrese se závislou proměnnou : Y (Tabulka1)
R= ,99549477 R2= ,99100983 Upravené R2= ,99031828
F(1,13)=1433,0 p<,00000 Směrod. chyba odhadu : ,69161
N=15
b* Sm.chyba
z b*
b Sm.chyba
z b
t(13) p-hodn.
Abs.člen
X1
-39,6901 2,692492 -14,7410 0,000000
0,995495 0,026297 0,6160 0,016272 37,8553 0,000000
Nyní má empirická regresní funkce tvar Y
)
= -39,6901 + 0,616x1, model jako celek je významný a nezávisle
proměnná X1 rovněž. Adjustovaný index determinace je 0,9903, což je větší než adjustovaný index
determinace 0,9895 v původním modelu.
Pro kontrolu kvality regrese porovnáme zjištěné a predikované hodnoty veličiny Y.
1
skutečnost
2
predikce
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
52,2 51,1
53,1 52,6
54,4 54,2
55,8 55,8
57,1 57,3
58,5 58,9
59,9 60,4
61,2 62,0
63,0 63,6
64,4 65,1
66,2 66,7
68,0 68,3
69,8 69,8
72,1 71,4
74,4 73,0
Tečkový diagram naměřených a predikovaných hodnot:
50 52 54 56 58 60 62 64 66 68 70 72 74
predikce
50
52
54
56
58
60
62
64
66
68
70
72
74
76
skutečnost
Provedeme-li krokovou dopřednou metodu, skončí hned v 1. kroku a vybere X1.
Provedeme-li krokovou zpětnou metodu, skončí také v 1. kroku a vyloučí proměnnou X2.