Vnitrosemestrální písemka - MIN201 - jaro 2021 - 29. 4. 2021
Veškeré odpovědi musí být zdůvodněny a výpočty musí být doprovozeny komentářem. (Řešení sestávající pouze z odpovědí budou považována za opsaná a hodnocena 0 body.)
je spojitá v bodě x = 0.
(ii) Spočítejte první derivaci f'(x) ve všech bodech a rozhodněte, zda je f'(x) spojitá v bodě x = 0.
(iii) Rozhodněte, zda existuje druhá derivace /"(O).
2. (5.5 bodu) Určete průběh funkce f(x) = ^r~- (Tedy určete definiční obor, intervaly, kde funkce roste/klesá, lokální extrémy, konvexnost/konkávnost, inflexní body, asymptoty a načrtněte graf.)
3. (2 body) Uvažme graf funkce f(x) = y/x pro x G [0, oo). Určete souřadnice bodu A na grafu funkce f(x), který je nejblíž bodu bodu P, kde
1. (2.5 bodu)
(i) Ukažte, že funkce
x2 sin ^ pro i/0, 0 pro x = 0
(i) P=[J,0],
(ii) P =[1,0].
Řešení a bodování:
[2.5 bodu]
(i) Platí linia-^o x2 sm j = 0, tj. funkce f(x) je spojitá v bodě
(ii) Derivaci v bodě x = 0 je třeba spočíst přímo z definice,
= 0.
/'(O) = lim
t—>o
/(O
jW(o)=limM
ŕ t->o í
lim ŕ sin — = 0.
t->o í
Výsledek tedy je
i i   pro x 7^ 0, pro x = 0.
(iii) Jelikož linia^o 2x sin ^ -a tedy /"(0) neexistuje.
lim^^Q cos   neexistuje, není funkce f'(x) v spojitá v bodě x = 0
2. [5.5 bodu] Platí
/(*) =
(x + 1)4
(x + l)3(x-3)
12(x + l)2
Funkce roste na intervalech (—oo, dva - lokální maximum v bodě x
-1] a [3, oo) a klesá na intervalech [—1, 0) a (0, 3]. Lokální extrémy jsou — la lokální minimum v bodě x = 3. Funkce je konkávni na intervalu
(—oo, 0) a konvexní na intervalu (0, oo), infiexní body funkce nemá. Asymptoty jsou x = 0ay = x + A.
[2 body] Pro bod P = [a, 0] hledáme jeho vzdálenost od bodu A = [x, \/x], tj. extrémy funkce f(x) = (x — a)2 + (y/x)2 = (x — a)2 + x pro x > 0. Podmínka f'(x) = 2(x — a) + 1 = 0 znamená x = — | + a, což leží v intervalu [0, oo] pro a > |. Další kandidát na extrém je hraniční bod x = 0.
Pro a = \ je
Pro a = 1 je — \
A
[2' y5J
- a mimo interval [0,oo] a tedy extrém nutně nastane v hraničním bodě A = [0,0]. a = | v intervalu [0, 00] a jelikož f"(í) > 0, je hledané minimum skutečně v bodě