Zkouška 1. termín - MIN201 - jaro 2021 - 17. 6. 2021
Veškeré odpovědi musí být zdůvodněny a výpočty musí být doprovozeny komentářem. (Řešení sestávající pouze z odpovědí budou považována za opsaná a hodnocena 0 body.)
1. (4 body) Rozložte následující funkci na parciální zlomky:
„, ,     2x3 + 7x2 + 20
r(x) =---.
Pro rozklad jmenovatele využijte vzorec pro druhou mocninu dvojčlenu a2 — b2.
2. (4 body) Vypočtěte uvedené integrály (použijte výpočet z Příkladu 1).
f /2x3 + 7x2 + 20\ , f 1
/ -:- \ dx   a     /--—dx.
J V     ^4-16     ) J (x + lf
o
3. (8 bodů) Mějme funkce f{x) = x3^2 a g{x) = 2x a uvažme omezenou oblast S ohraničenou grafy těchto funkcí. Popište oblast S (včetně „vrcholů") a určete obsah a obvod oblasti S.
4. (4 body) Určete Fourierovu řadu pro periodické prodloužení funkce h(x) = x2, x G [—7r, 7r].
Řešení a bodování:
1. [4 body] Výpočtem dostaneneme
2x3 + 7x2 + 20     x + 1 1
x4-16 x2+4    x + 2    x -2
2. [4 body] Výpočtem dostaneneme
/f ^r—---"--1--—)dx = - ln(x2 + 4) + - arctan(x/2) - ln \x + 21 + 2ln \x - 21 + C,
J \x2+A    x+ 2    x — 2 2 2
pro C G M a
i
tir = —.
(z+ 1)3
0
3. [8 bodů] Oblast S1 je shora ohraničena grafem g(x) = 2x a zdola grafem /(x) = x3/2, pro x e [0,4]; „vrcholy" jsou [0,0] a [4,8]. Obsah je
16
S = í (2x-x3/2)dx = Jo
Délka „horní" úsečky je V42 + 82 = 4-v/5, délka „dolního" oblouku je
y/TTfrdx = | f \fi7~xdx = [(I + xfl% = (4+ |)3/2 - (|)3/2 = ^(lOVlO - 1).
10   ' Jo Obvod tedy je 4V^+ J^IOVTO- 1).
4. [4 body] Funkce h(x) je sudá, takže v rozvoji této funkce
00
h(x) = — +       ^an cos(nx) + bn sin(nx)
n=+
máme bn = 0 pro každé n. Dále
1  /"r 2 /"r
a0 = — /    h(x)dx = —      x2 dx = ^ir2
* J-7T * JO
1  /"r 2 /"r
an = —       h(x) cos(nx)dx = —      x cos(nx) =
= f     ^ sin(n70 + ^Trcos(nTr) - 4, sin(nTr)] = f 4r7T cos(nTr) = 4r(-l)" pro n = 1, 2,.... Tedy výsledek je
1 00 (—D™
= -7T2 + 4 -—^— cos(nx) w     3 ^ n2