Zkouška 2. termín - MIN201 - jaro 2021 - 30. 6. 2021
Veškeré odpovědi musí být zdůvodněny a výpočty musí být doprovozeny komentářem. (Řešení sestávající pouze z odpovědí budou považována za opsaná a hodnocena 0 body.)
1. (8 bodů) Vypočtěte uvedené integrály:
tt/2
—-- I dx   a     / sm2(x) cos(x) dx.
X3 + x2 + x) J        v '     v '
o
2. (4 body) Plošný útvar U se skládá z obdélníku, k jehož jedné straně je připojený půlkruh. Označme p a, q délky stran obdélníka, přičemž půlkruh je polovina kruhu o průměru p (a je tedy připojen ke straně a délce p).
Určete p a, q tak, aby U měl minimální obvod za předpokladu, že obsah U ]e roven | m2. (Připomeňme, že obsah kruhu o poloměru r je 7rr2 a jeho obvod je 2irr.)
3. (4 body) Uvažme plochu mezi grafem funkce h(x) = x — 2 a osou x na intervalu x G [0, 2]. Rotací této plochy kolem osy x vznikne těleso T. Určete objem a povrch tohoto tělesa. (Připomeňme, že část povrchu je kruh.)
4. (4 body) Určete konvoluci funkcí f\ * f2, kde
Řešení a bodování:
1. [8 bodů] Rozklad na parciální zlomky dává
x2 + 3      _   -2x - 3 3
x(x2 + X + 1)       x2 + X + 1       x '
tedy
„2
í , ľ +3 ^ dx= í(-t^!ĺ—L. + -W = -ln(x2 +x + 1) - |%/3arctan(^=(x+ i)) +31n|x| + C" 7 x(x2+x+í) J \x2 + x+l     x) v '    3 VV3V      2/7 1 1
pro CeR. Dále použitím substituce ŕ = sin x, dŕ = cosxdx dostaneme
tt/2 1
sin2(x) cos(x) dx = / t2 dt = ^.
2. [4 body] Obsah útvaru [/ je S = pq + \tt(p/2)2, tj. q = ±[S - \tt(p/2)2]. Obvod je tedy
o = p + 2q + ^ =p+2p[S-^(p/2)2}+^ = f + Z2+P-
Hledáme minimum funkce o(p). Jelikož o'(ji) = — + ^ + 1 = 0, dostáváme pro S = ^ stacionární bod této funkce
p = Š=^Z atedy i = ^\\-\^ů-
Jelikož o"(p) > 0 pro každé kladné p, jedná se minimum (které je globální pro p G (0, oo)).
3. [4 body] Objem je
í'2 í'2 Stt
V = tt      h2(x)dx = ir     (x-2)2dx= — Jo Jo ^
a obsah (zahrnující kruh o poloměru 2) je
S = 4tt + 2tt[ (-h(x))y/í + (-h'(x))2 dx = 4TT + 2TT í (2 - x)\Í2dx = 4tt + A\Í2ti. Jo Jo
4. [4 body] Platí /i * f2 (i) =       /i(^)/2(í — x)dx, tedy potřebujeme t — x > 0, tj. x < t. Tedy
rt rt
h*h(t)= I    h(*)dx= f e-^dx
J—oo J—oo
Tedy pro t < 0 máme
/i * Í2(ť) = ( dx = í    ex dx = e
J—oo J—oo
a pro t > 0 dostaneme
e-VxUx= i     exdx+ /  e~x dx = 2-e~t.
-oo J—oo Jo