Množství, obsahy, objemy, povrchy
aneb
cesta tam a zase zpátky
Integrální počet
Petr Liška
Masarykova univerzita
18.02.2022
Petr Liška (Masarykova univerzita) Množství, obsahy, objemy, povrchy aneb cesta tam a zase zpátky18.02.2022 1 / 8
Primitivní funkce
Definice
Nechť funkce f a F jsou definované na intervalu I ⊆ R. Jestliže platí
F (x) = f(x) pro všechna x ∈ I,
pak říkáme, že funkce F je primitivní funkcí k funkci f na intervalu I.
Věta
Je-li funkce F primitivní funkcí k funkci f na intervalu I ⊆ R, pak F
je spojitá na I.
Věta (O existenci primitivní funkce)
Je-li funkce f spojitá na intervalu I ⊆ R, pak k ní na tomto intervalu
existuje primitivní funkce.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Množství, obsahy, objemy, povrchy aneb cesta tam a zase zpátky18.02.2022 2 / 8
Malá odbočka
Definice
Funkce f se nazývá darbouxovská na intervalu I ⊆ D(f), jestliže pro
každé dva body x1, x2 ∈ I takové, že f(x1) < f(x2) a každé číslo y0 ∈
R, f(x1) < y < f(x2), existuje v intervalu (x1, x2) takový bod x0, že
f(x0) = y0.
Věta
Necht’ funkce f má vlastní derivaci na intervalu I ⊆ R. Pak je funkce
f na I darbouxovská.
Věta
Nechť k funkci f existuje na intervalu I ⊆ R funkce primitivní. Pak je
funkce f darbouxovská na intervalu I.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Množství, obsahy, objemy, povrchy aneb cesta tam a zase zpátky18.02.2022 3 / 8
Dvě pozorování:
• Nechť funkce F je primitivní k funkci f na intervalu I ⊆ R. Pak
pro libovolné c ∈ R je také funkce F + c primitivní k funkci f.
• Nechť funkce F a G jsou primitivní k funkci f na intervalu I ⊆ R.
Pak existuje c ∈ R, že platí G(x) = F(x) + c pro každé x ∈ I.
Věta
Nechť F je nějaká primitivní funkce k funkci f na intervalu I ⊆ R. Pak
{F + c: c ∈ R}
je množina všech primitivních funkcí k funkci f na intervalu I.
Definice
Množina všech primitivních funkcí k funkci f na intervalu I ⊆ R se
nazývá neurčitý integrál z funkce f na I a značí se
f(x) dx, x ∈ I.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Množství, obsahy, objemy, povrchy aneb cesta tam a zase zpátky18.02.2022 4 / 8
Věta
Nechť na intervalu I existují neurčité integrály f(x) dx a g(x) dx
a nechť α je libovolná konstanta. Pak na I existuje neurčitý integrál
funkce f + g a neurčitý integrál funkce αf a platí
(f(x) + g(x)) dx = f(x) dx + g(x) dx, (1)
αf(x) dx = α f(x)dx. (2)
Petr Liška (Masarykova univerzita) Množství, obsahy, objemy, povrchy aneb cesta tam a zase zpátky18.02.2022 5 / 8
(1) 1 dx = x + c,
(2) xn dx = xn+1
n+1 + c, n = −1,
(3) 1
x dx = ln |x| + c,
(4) ex dx = ex + c,
(5) ax dx = ax
ln a + c, a > 0, a = 1,
(6) sin x dx = − cos x + c,
(7) cos x dx = sin x + c,
(8) 1
x2+1
dx = arctg x + c,
(9) 1
(x−x0)2+a2 dx = 1
aarctg x−x0
a + c,
(10) 1√
a2−x2
dx = arcsin x
a + c,
(11) 1√
x2+a
dx = ln |x +
√
x2 + a| + c,
(12) 1
cos2 x
dx = tg x + c,
(13) 1
sin2 x
dx = −cotg x + c,
(14) f (x)
f(x) dx = ln |f(x)| + c.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Množství, obsahy, objemy, povrchy aneb cesta tam a zase zpátky18.02.2022 6 / 8
Metoda per partes
Věta
Nechť funkce u(x) a v(x) mají spojité derivace na intervalu I. Pak platí
u(x)v (x) dx = u(x)v(x) − u (x)v(x) dx.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Množství, obsahy, objemy, povrchy aneb cesta tam a zase zpátky18.02.2022 7 / 8
Substituční metoda
Věta
Nechť funkce f má na intervalu J primitivní funkci F, funkce t = ϕ(x)
má spojitou derivaci na intervalu I a ϕ(x) ∈ J pro x ∈ I. Pak má
složená funkce f(ϕ(x))ϕ (x) primitivní funkci na intervalu I a platí
f(ϕ(x))ϕ (x) dx = F(ϕ(x)) + c.
Věta
Nechť funkce f je definovaná na intervalu J a nechť funkce ϕ má nenulovou
derivaci na intervalu I a ϕ(x) ∈ J pro x ∈ I. Má-li funkce
f(ϕ)ϕ primitivní funkci F na intervalu I, je F(ϕ−1) primitivní funkce
k funkci na intervalu J.
f(x) dx =
x = ϕ(t)
dx = ϕ (t) dt
= f ϕ(t) ϕ (t) dt.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Množství, obsahy, objemy, povrchy aneb cesta tam a zase zpátky18.02.2022 8 / 8