Řady funkcí
Taylorova řada
Petr Liška
Masarykova univerzita
13.05.2022
Petr Liška (Masarykova univerzita) Řady funkcí 13.05.2022 1 / 4
Taylorova a Maclaurinova řada
Raději si připomeňme: Na intervalu I s krajními body x a x0
f(x) = f(x0) +
f (x0)
1!
(x − x0) + · · · +
f(n)(x0)
n!
(x − x0)n
+ Rn(x),
kde
Rn(x) =
(x − x0)n+1
(n + 1)!
f(n+1)
(ν), kde ν ∈ I, ν = x, x0 .
Definice
Nechť funkce f má v bodě x0 derivace všech řádů. Mocninnou řadu
∞
n=0
f(n)(x0)
n!
(x − x0)n
nazýváme Taylorovou řadou funkce f v bodě x0. Je-li x0 = 0, mluvíme
o Maclaurinově řadě.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Řady funkcí 13.05.2022 2 / 4
Věta
Nechť funkce f má v nějakém bodě x0 derivace všech řádů. Pak platí
f(x) =
∞
n=0
f(n)(x0)
n!
(x − x0)n
na intervalu I, x0 ∈ I, právě tehdy, když pro posloupnost {Rn(x)}
zbytků platí lim
n→∞
Rn(x) = 0 pro všechna x ∈ I.
Věta
Nechť funkce f má na otevřeném intervalu I derivace všech řádů a
nechť existuje k ∈ R, k > 0 takové, že pro ∀n ∈ N a ∀x ∈ I platí
f(n)(x) < k. Pak pro ∀x0 ∈ I platí
f(x) =
∞
n=0
f(n)(x0)
n!
(x − x0)n
.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Řady funkcí 13.05.2022 3 / 4
Maclaurinovy řady elementární funkcí
ex
= 1 +
x
1!
+
x2
2!
+ · · · +
xn
n!
+ · · · =
∞
n=0
xn
n!
, r = ∞
sin x = x −
x3
3!
+ · · · + (−1)n x2n+1
(2n + 1)!
+ · · · =
∞
n=0
(−1)n x2n+1
(2n + 1)!
, r = ∞
cos x = 1 −
x2
2!
+ · · · + (−1)n x2n
(2n)!
+ · · · =
∞
n=0
(−1)n x2n
(2n)!
, r = ∞
ln(1 + x) = x −
x2
2
+ · · · + (−1)n+1 xn
n
+ · · · =
∞
n=1
(−1)n+1 xn
n
, r = 1
Petr Liška (Masarykova univerzita) Řady funkcí 13.05.2022 4 / 4