Nekonečné řady Jak poznat, že konvergují? Petr Liška Masarykova univerzita 22.04.2022 Petr Liška (Masarykova univerzita) Nekonečné řady 22.04.2022 1 / 8 Posloupnosti Definice Posloupnost je funkce definovaná na množině M ⊆ N. Posloupnost označujeme {an} nebo {an}∞ n=1, n-tý prvek označujeme nejčastěji an. Definice Řekneme, že posloupnost {an} má limitu L, jestliže ke každému ε > 0 existuje n0 ∈ N takové, že pro každé n > n0 platí |an − L| < ε. Definice Řekneme, že posloupnost {an} má limitu ∞, jestliže ke každému M ∈ R existuje n0 ∈ N takové, že pro každé n > n0 platí an > M. Pokud takováto limita existuje, říkáme, že posloupnost konverguje. Má-li posloupnost limitu ∞ nebo −∞, říkáme, že diverguje. Jestliže posloupnost nekonverguje ani nediverguje, řekneme, že osciluje. Petr Liška (Masarykova univerzita) Nekonečné řady 22.04.2022 2 / 8 Číselná řada Definice Nechť {an}∞ n=1 je posloupnost reálných čísel. Symbol ∞ n=1 an nebo a1 + a2 + a3 + · · · + an + · · · nazýváme nekonečnou číselnou řadou. Posloupnost {sn}∞ n=1, kde s1 = a1, s2 = a1 + a2, . . . sn = a1 + a2 + · · · + an, . . . , nazýváme posloupnost částečných součtů této řady. Existuje-li vlastní limita lim n→∞ sn = s, řekneme, že řada ∞ n=1 an konverguje a má součet s. Neexistuje-li vlastní limita lim n→∞ sn, řekneme, že řada ∞ n=1 an diverguje. Petr Liška (Masarykova univerzita) Nekonečné řady 22.04.2022 3 / 8 Pravidla pro počítání s nekonečnými řadami Věta Nechť ∞ n=1 an a ∞ n=1 bn jsou konvergentní řady a nechť ∞ n=1 an = u a ∞ n=1 bn = v. Pak je konvergentní i řada ∞ n=1 (an + bn) a platí ∞ n=1 (an + bn) = u + v. Věta Jestliže řada ∞ n=1 an konverguje, pak pro libovolné k ∈ R konverguje též řada ∞ n=1 k · an a platí ∞ n=1 k · an = k ∞ n=1 an. Naopak konverguje-li řada ∞ n=1 k · an, kde k ∈ R, k = 0, konverguje i řada ∞ n=1 an. Petr Liška (Masarykova univerzita) Nekonečné řady 22.04.2022 4 / 8 Asociativní zákon Věta Nechť ∞ n=1 an je konvergentní řada a nechť {nk} je rostoucí posloupnost přirozených čísel. Položme n0 = 0 a pro k ∈ N označme bk = ank−1+1 + ank−1+2 + · · · + ank . Pak řada ∞ k=1 bk konverguje a platí ∞ k=1 bk = ∞ n=1 an. Petr Liška (Masarykova univerzita) Nekonečné řady 22.04.2022 5 / 8 Kritéria konvergence Věta (Nutná podmínka konvergence) Nechť ∞ n=1 an konverguje. Pak lim n→∞ an = 0. Věta (Integrální kritérium) Nechť funkce f je kladná a klesající na intervalu [1, ∞). Nechť an = f(n). Pak ∞ n=1 an konverguje právě tehdy, když konverguje integrál ∞ 1 f(x) dx. Petr Liška (Masarykova univerzita) Nekonečné řady 22.04.2022 6 / 8 Věta (Srovnávací kritérium) Nechť ∞ n=1 an a ∞ n=1 bn jsou řady s nezápornými členy a nechť an ≤ bn pro skoro všechna n ∈ N. Potom platí: konverguje-li řada ∞ n=1 bn, konverguje i řada ∞ n=1 an; diverguje-li řada ∞ n=1 an, diverguje i ∞ n=1 bn. Věta (Limitní srovnávací kritérium) Nechť ∞ n=1 an a ∞ n=1 bn jsou řady s nezápornými členy a nechť existuje lim n→∞ an bn = L . Je-li L < ∞ a konverguje-li řada ∞ n=1 bn, pak konverguje i řada ∞ n=1 an. Je-li L > 0 a diverguje-li řada ∞ n=1 bn, pak diverguje i řada ∞ n=1 an . Petr Liška (Masarykova univerzita) Nekonečné řady 22.04.2022 7 / 8 Věta (Limitní podílové kritérium) Nechť ∞ n=1 an je řada s kladnými členy a nechť existuje lim n→∞ an+1 an = q. Je-li q < 1, pak ∞ n=1 an konverguje, je-li q > 1, pak ∞ n=1 an diverguje. Věta (Limitní odmocninové kritérium) Nechť ∞ n=1 an je řada s nezápornými členy a nechť existuje lim n→∞ n √ an = q, kde q ∈ R . Je-li q < 1, pak ∞ n=1 an konverguje a je-li q > 1, pak ∞ n=1 an diverguje. Petr Liška (Masarykova univerzita) Nekonečné řady 22.04.2022 8 / 8