Riemannův integrál
Integrální počet počtvrté
Petr Liška
Masarykova univerzita
11.03.2022
Petr Liška (Masarykova univerzita) Riemannův integrál 11.03.2022 1 / 18
Dělení intervalu
Definice
Nechť a, b ∈ R, a < b. Dělením intervalu [a, b] rozumíme každou konečnou
množinu D ⊆ [a, b] navzájem různých bodů takovou, že a, b ∈ D.
• D = {x0, x1, . . . , xn}, a = x0 < x1 < · · · < xn = b
• xk – dělící body
• [xk−1, xk] – dělící intervaly
• ν(D) = max {xk − xk−1 : k = 1, . . . , n} – norma dělení
• D([a, b]) – množina všech dělení intervalu
Petr Liška (Masarykova univerzita) Riemannův integrál 11.03.2022 2 / 18
Dolní/horní součet
Definice
Nechť funkce f je ohraničená na intervalu [a, b] a uvažujme dělení D =
{x0, x1, . . . , xn} ∈ D([a, b]). Označme
mk = inf {f(x): x ∈ [xk−1, xk]} , Mk = sup {f(x): x ∈ [xk−1, xk]}
pro k = 1, . . . , n. Položme
s(D, f) =
n
k=1
mk(xk − xk−1), S(D, f) =
n
k=1
Mk(xk − xk−1).
Číslo s(D, f) nazýváme dolní součet a číslo S(D, f) nazýváme horní
součet funkce f při dělení D.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Riemannův integrál 11.03.2022 3 / 18
Věta
Nechť f je ohraničená funkce na intervalu [a, b] a nechť c, d ∈ R,
c ≤ f(x) ≤ d pro každé x ∈ [a, b]. Pak pro libovolná dělení D1,
D2 ∈ D([a, b]) platí
c(b − a) ≤ s(D1, f) ≤ S(D2, f) ≤ d(b − a).
Petr Liška (Masarykova univerzita) Riemannův integrál 11.03.2022 4 / 18
Dolní/horní integrál
Definice
Nechť f je ohraničená funkce na intervalu [a, b]. Pak klademe
b
a
f(x) dx = sup {s(D, f): D ∈ D([a, b])} ,
b
a
f(x) dx = inf {S(D, f): D ∈ D([a, b])} .
Číslo
b
a
f(x) dx nazýváme dolním integrálem, číslo
b
a
f(x) dx horním
integrálem funkce f přes interval [a, b].
Petr Liška (Masarykova univerzita) Riemannův integrál 11.03.2022 5 / 18
Riemannův integrál
Definice
Nechť f je ohraničená funkce na intervalu [a, b]. Jestliže platí rovnost
b
a
f(x) dx =
b
a
f(x) dx ,
řekneme, že funkce f je integrovatelná na intervalu [a, b]. V tomto případě
definujeme její Riemannův integrál přes interval [a, b] vztahem
b
a
f(x) dx =
b
a
f(x) dx =
b
a
f(x) dx .
Platí-li
b
a
f(x) dx <
b
a
f(x) dx, říkáme, že funkce f není integrovatelná
na [a, b].
Petr Liška (Masarykova univerzita) Riemannův integrál 11.03.2022 6 / 18
Alternativní (Riemannův) přístup
Definice
Posloupnost dělení {Dn} intervalu [a, b] nazveme nulovou posloupnost
dělení, jestliže platí limn→∞ ν(Dn) = 0.
Definice
Nechť D = {x0, x1, . . . , xn} je dělení intervalu [a, b] a nechť ck ∈
[xk−1, xk] je libovolné číslo pro k = 1, . . . , n. Množinu V = {c1, . . . , cn}
nazveme výběrem reprezentantů dělení D.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Riemannův integrál 11.03.2022 7 / 18
Definice
Nechť f je ohraničená funkce na intervalu [a, b], zvolme dělení D =
{x0, x1, . . . , xn} ∈ D([a, b]) a výběr reprezentantů V = {c1, . . . , cn}
tohoto dělení. Číslo
i(D, f, V ) =
n
k=1
f(ck)(xk − xk−1)
nazýváme integrálním součtem funkce f při dělení D a výběru V .
Lemma
Nechť f je ohraničená funkce na intervalu [a, b]. Pak pro každé dělení
D ∈ D([a, b]) a každý výběr V při dělení D platí
s(D, f) ≤ i(D, f, V ) ≤ S(D, f) .
Petr Liška (Masarykova univerzita) Riemannův integrál 11.03.2022 8 / 18
Definice
Nechť f je ohraničená funkce. Řekneme, že f je na intervalu [a, b] integrovatelná,
jestliže existuje číslo I takové, že
lim
ν(D)→0
i(D, f, V ) = I
a hodnota této limity nezávisí na výběru reprezentantů V dělení D, tj.
ke každému ε > 0 existuje δ > 0 takové, že pro libovolné dělení D s
normou ν(D) < δ a libovolný výběr reprezentantů dělení D platí
|i(D, f, V ) − I| < ε.
Pak definujeme
b
a
f(x) dx = I.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Riemannův integrál 11.03.2022 9 / 18
Kdy je funkce integrovatelná?
Lemma
Nechť f je ohraničená funkce na intervalu [a, b]. Pak je f integrovatelná
na [a, b] právě tehdy, když ke každému ε > 0 existuje dělení
D ∈ D([a, b]) tak, že platí
S(D, f) − s(D, f) < ε.
Věta
Nechť funkce f je monotónní na intervalu [a, b]. Pak je f na intervalu
[a, b] integrovatelná.
Věta
Nechť funkce f je spojitá na intervalu [a, b]. Pak je f na intervalu [a, b]
integrovatelná.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Riemannův integrál 11.03.2022 10 / 18
Věta
Nechť f je ohraničená na intervalu [a, b] a má na tomto intervalu konečný
počet bodů nespojitosti, pak je f na intervalu [a, b] integrovatelná.
Věta
Nechť funkce f, g jsou ohraničené na intervalu [a, b] a liší se na tomto
intervalu pouze v konečném počtu bodů. Pak je f integrovatelná na
[a, b], právě když je zde integrovatelná funkce g a platí
b
a
f(x) dx =
b
a
g(x) dx .
Petr Liška (Masarykova univerzita) Riemannův integrál 11.03.2022 11 / 18
Základní vlastnosti Riemannova integrálu
Věta
Nechť f je integrovatelná na [a, b].
• Nechť c, d ∈ R a c ≤ f(x) ≤ d pro ∀x ∈ [a, b]. Pak platí
c(b − a) ≤
b
a
f(x) dx ≤ d(b − a).
• Je-li f(x) ≥ 0 pro x ∈ [a, b], pak
b
a
f(x) dx ≥ 0.
• Funkce |f| je integrovatelná na [a, b] a platí
b
a
f(x) dx ≤
b
a
|f(x)| dx.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Riemannův integrál 11.03.2022 12 / 18
Věta
Nechť funkce f a g jsou integrovatelné na [a, b] a α, β ∈ R. Pak také
funkce αf + βg je integrovatelná na [a, b] a platí
b
a
[αf(x) + βg(x)] dx = α
b
a
f(x) dx + β
b
a
g(x) dx .
Věta
Nechť f, g jsou integrovatelné na [a, b] a platí f(x) ≤ g(x) pro x ∈
[a, b]. Pak je
b
a
f(x) dx ≤
b
a
g(x) dx .
Petr Liška (Masarykova univerzita) Riemannův integrál 11.03.2022 13 / 18
Věta
Nechť funkce f je integrovatelná na [a, b] a nechť [c, d] ⊆ [a, b]. Pak je f
integrovatelná i na intervalu [c, d].
Věta
Nechť a, b, c ∈ R, a < c < b a f je integrovatelná na každém z intervalů
[a, c] a [c, b]. Pak je f integrovatelná na [a, b] a platí
b
a
f(x) dx =
c
a
f(x) dx +
b
c
f(x) dx .
Petr Liška (Masarykova univerzita) Riemannův integrál 11.03.2022 14 / 18
Střední hodnota funkce
Věta
Nechť f je integrovatelná na [a, b]. Pak existuje c ∈ R takové, že
inf {f(x): x ∈ [a, b]} ≤ c ≤ sup {f(x): x ∈ [a, b]}
a platí
b
a
f(x) dx = c(b − a) .
Je-li f navíc spojitá na [a, b], pak existuje x0 ∈ [a, b] tak, že c = f(x0).
Číslo
c =
1
b − a
b
a
f(x) dx
se nazývá střední hodnota funkce f na intervalu [a, b].
Petr Liška (Masarykova univerzita) Riemannův integrál 11.03.2022 15 / 18
Integrál jako funkce horní meze
Nechť funkce f je integrovatelná na [a, b], pak je integrovatelná na
intervalu [a, x], kde a < x ≤ b. Můžeme tedy definovat funkci F na
intervalu (a, b] předpisem
F(x) =
x
a
f(t) dt. ( )
Tuto definici můžeme rozšířit i na bod a tak, že položíme F(a) = 0
kdykoliv, kdy je funkce f v bodě a definovaná.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Riemannův integrál 11.03.2022 16 / 18
Věta
Nechť funkce f je integrovatelná na intervalu [a, b]. Pak je funkce F
definovaná předpisem ( ) spojitá na intervalu [a, b].
Věta
Nechť funkce f je spojitá na intervalu [a, b]. Pak funkce F definovaná
vztahem ( ) má derivaci na intervalu [a, b] a platí F = f(x) pro každé
x ∈ [a, b], přičemž v krajních bodech tohoto intervalu se zde rozumí
existence příslušných derivací.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Riemannův integrál 11.03.2022 17 / 18
Konečně!
Věta (Newtonova-Leibnizova formule)
Nechť f je integrovatelná na intervalu [a, b] a nechť F je funkce, která
je na [a, b] spojitá a na (a, b) primitivní k funkci f. Pak platí
b
a
f(x) dx = [F(x)]b
a = F(b) − F(a).
Petr Liška (Masarykova univerzita) Riemannův integrál 11.03.2022 18 / 18