Dvojný a trojný integrál
Zuzana Došlá, Petr Liška
11. května 2022
1 Dvojný integrál
1.1 Riemannův určitý integrál - opakování
Při zavedení určitého integrálu funkce jedné proměnné vycházíme z geometrického významu: integrál
je číslo vyjadřující obsah rovinného obrazce, který je ohraničený danou funkcí na intervalu [a, b].
Nechť f je ohraničená funkce na intervalu [a, b]. Určitý (Riemannův) integrál funkce jedné proměnné
lze zavést pomocí tzv. Riemannových součtů:
b
a
f(x) dx = lim
n→∞
n
i=1
f(xi ) ∆x, kde ∆x =
b − a
n
a bx⋆
i
∆x
f(x⋆
i )
x
y
Daný integrál existuje, existuje-li limita na pravé straně. V tom případě říkáme, že funkce je integrovatelná
na intervalu [a, b].
Je-li funkce spojitá na intervalu [a, b], pak je integrovatelná. Příkladem funkce, která není integrovatelná,
je Dirichletova funkce (její hodnota je v racionálních bodech 1 a v iracionálních 0).
Pro výpočet Riemannova integrálu platí Newton-Leibnizův vztah
b
a
f(x) dx = F(b) − F(a),
kde F(x) je primitivní funkce k funkci f(x) na [a, b].
1.2 Dvojný integrál na obdélníku
Předpokládejme, že funkce f(x, y) je definovaná a ohraničená obdélníku
R = [a, b] × [c, d] = (x, y) ∈ R2
| a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d .
Míra obdélníku je jeho velikost, tj.
m(R) = (b − a)(d − c) .
Dělení obdélníku
Rozdělíme oba intervaly
a = x0 < x1 < · · · < xm = b,
c = y0 < y1 < · · · < yn = d.
Dostaneme tak obdélníky R1, . . . , Rk, kde k = m · n. Dělení obdélníka R je pak množina
D = {R1, . . . , Rk} .
Norma dělení je číslo
ν(D) = max {d1, . . . , dk} ,
kde di je velikost úhlopříčky obdélníka Ri.
Nyní máme dvě možnosti, jak zavést dvojný integrál.
2
Zavedení dolních a horních součtů
Nechť D je pevně zvolené dělení obdélníka R. Označme
αi = inf
(x,y)∈Ri
f(x, y), βi = sup
(x,y)∈Ri
f(x, y),
kde i = 1, . . . , k. Poznamenejme, že taková αi a βi existují, protože funkce f je ohraničená.
Definujme dolní a horní součty funkce příslušné danému dělení D obdélníka R
s(f, D) =
k
i=1
αim(Ri), S(f, D) =
k
i=1
βim(Ri) .
Zřejmě platí
s(f, D) ≤ S(f, D) .
Zvolme nulovou posloupnost dělení {Dn}∞
n=1 obdélníku R, tj. takovou posloupnost, že platí
lim
n→∞
ν (Dn) = 0 .
Pro každé dělení Dn označme příslušný dolní součet sn(f, Dn) a horní součet Sn(f, Dn). Zřejme platí,
že posloupnost {sn(f, Dn)}∞
n=1 je neklesající a shora ohraničená, existuje tedy její limita
lim
n→∞
sn(f, Dn) =:
R
f(x, y) dx dy .
Podobně posloupnost {Sn(f, Dn)}∞
n=1 je nerostoucí a zdola ohraničená a její limita je
lim
n→∞
Sn(f, Dn) =:
R
f(x, y) dx dy .
Definice 1.1. Jestliže
R
f(x, y) dx dy =
R
f(x, y) dx dy
říkáme, že funkce f(x, y) je integrovatelná na obdélníku R. Dvojný integrál této funkce na obdélníku
R je
R
f(x, y) =:
R
f(x, y) dx dy =
R
f(x, y) dx dy .
Zavedení integrálních součtů
Je dáno dělení D = {R1, . . . , Rk} obdélníku R. V každém dělícím obdélníčku zvolme bod Ti = [ξi, ηi],
i = 1, . . . , k. Označme V = {T1, . . . , Tk} výběr reprezentantů příslušný dělení D .
Ri
(ξi, ηi)
x
y
a b∆x
c
d
∆y
3
x
y
z
(a)
x
y
z
(b)
K zavedení integrálních součtů
Integrální součet příslušný funkci f, dělení D a výběru reprezentantů V definujeme jako
ϕ(f, D, V ) =
k
i=1
f(ξi, ηi)m(Ri) .
Definice 1.2. Nechť f je definovaná a ohraničená na obdélníku R. Řekneme, že funkce f je integrovatelná
na R, jestliže existuje číslo I s následující vlastností: ∀ε > 0, ∃δ > 0 takové, že pro všechna
dělení D obdélníka R, jehož norma ν(D) < δ, a pro libovolný výběr reprezentantů V tohoto dělení
platí
|I − ϕ(f, D, V )| < ε.
Číslo I nazýváme dvojným integrálem funkce f na R a píšeme
R
f(x, y) dx dy = I .
Kdy dvojný integrál existuje?
Postačující podmínku pro integrovatelnost funkce uvádí následující věta.
Věta 1.3. Nechť funkce f(x, y) je spojitá na obdélníku R. Pak je na tomto obdélníku integrovatelná.
Poznámka 1.4. Aby dvojný integrál funkce f existoval, funkce f nemusí být nutně spojitá. Stačí,
aby byla na R ohraničená a nespojitá pouze na konečném počtu „hladkých křivek“.
Poznámka 1.5. Příkladem funkce, která není integrovatelná je obdoba Dirichletovy funkce: f(x, y) =
1 pro x a y racionální čísla, a f(x, y) = 0 v opačném případě (tj. x nebo y je iracionální číslo).
Jak dvojný integrál spočítat?
Věta 1.6 (Fubini). Nechť f(x, y) je funkce spojitá na obdélníku R = [a, b] × [c, d] potom
R
f(x, y) dx dy =
b
a
d
c
f(x, y) dy dx =
=
d
c
b
a
f(x, y) dx dy .
Poznámka 1.7. V případě, že se funkce f dá psát ve tvaru f(x, y) = g(x) · h(y), je možné výpočet
zjednodušit
R
f(x, y) dx dy =
b
a
g(x) dx ·
d
c
h(y) dy .
4
Příklad 1.8. Vypočtěte
M
x2
y dx dy,
kde množina M je obdélník s vrcholy A = [0, 1], B = [2, 1], C = [2, 2] a D = [0, 2].
Řešení: Vidíme, že platí 0 ≤ x ≤ 2 a 1 ≤ y ≤ 2. Podle Fubiniho věty pak dostáváme
M
x2
y dx dy =
2
0
2
1
x2
y dy dx =
2
0
x2 y2
2
2
1
dx =
=
2
0
2x2
−
1
2
x2
dx =
2
0
3
2
x2
dx =
x3
2
2
0
= 4.
Pokud zvolíme opačné pořadí integrace, bude výpočet vypadat takto:
M
x2
y dx dy =
2
1
2
0
x2
y dx dy =
2
1
x3
3
y
2
0
dy =
2
1
8
3
y dy =
=
4
3
y2
2
1
=
16
3
−
4
3
= 4.
Vzhledem k tomu, že integrační oblast je obdélník a integrovaná funkce je tvaru f(x, y) = g(x)h(y),
můžeme využít předchozí poznámky
M
x2
y dx dy =
2
0
x2
dx ·
2
1
y dy =
x3
3
2
0
·
y2
2
2
1
=
8
3
· 2 −
1
2
= 4.
Příklad 1.9. Vypočtěte objem tělesa, které leží pod plochou z = 4−x2
−y2
a nad čtvercem s vrcholy
[−1, −1], [−1, 1], [1, 1], [1, −1].
Řešení: Objem tělesa je dán integrálem
M
4 − x2
− y2
dx dy,
kde M je zadaný čtverec, tj. −1 ≤ x ≤ 1 a −1 ≤ y ≤ 1. Podle Fubiniho věty tak dostáváme
M
4 − x2
− y2
dx dy =
1
−1
1
−1
4 − x2
− y2
dy dx =
1
−1
4y − x2
y −
y3
3
1
−1
dx =
=
1
−1
26
3
− 2x2
dx =
26
3
x −
2
3
x3
1
−1
= 16
1.3 Dvojný integrál na měřitelné množině
Nyní rozšíříme definici dvojného integrálu funkce dvou proměnných na tzv. měřitelné množině. Jednoduše
řečeno, je to taková množina, které lze přiřadit velikost neboli míru.
Měřitelná množina
Obdélník má míru (velikost) rovnu součinu velikostí jeho stran a je nejjednodušším případem měřitelné
množiny. Pro libovolnou množinu nejprve definujeme charakteristickou funkci a její míru jako
integrál z této charakteristické funkce na obdélníku, v němž je daná množina obsažena.
Definice 1.10. Nechť M je ohraničená množina v rovině. Charakteristická funkce množiny M je
daná předpisem
χM (x, y) =
1 pro (x, y) ∈ M
0 pro (x, y) ∈ M.
(1)
5
Množina M je měřitelná, jestliže existuje obdélník R takový, že M ⊂ R a charakteristická funkce χM
množiny M je integrovatelná na tomto obdélníku. Její míru (obsah) definujeme
m(M) =
R
χM (x, y) dx dy .
Tato míra se nazývá Jordanova míra množiny M.
Definice míry je korektní. Dá se ukázat, že velikost míry nezáleží na volbě obdélníku R, který
danou množinu obsahuje.
Věta 1.11. Pro Jordanovu míru platí
a) m(∅) = 0,
b) m(M) ≥ 0 pro libovolnou měřitelnou množinu M,
c) Jestliže M1, M2 jsou měřitelné množiny, pak také M1 ∪M2, M1 ∩M2 a M1 \M2 jsou měřitelné.
d) Nechť y = g(x), x ∈ [a, b], je spojitá funkce. Pak graf této funkce je měřitelná množina a její
míra je nula.
Množina měřitelných množin tvoří okruh vzhledem k rozdílu a konečnému sjednocení a průniku
množin.
Věta 1.12. Jsou-li M1 a M2 měřitelné množiny, pak platí
m(M1 ∪ M2) = m(M1) + m(M2) − m(M1 ∩ M2).
Zejména, jsou-li M1 a M2 disjunktní, pak
m(M1 ∪ M2) = m(M1) + m(M2). (2)
Vlastnost (2) platí pro konečný počet množin a nazývá se aditivnost míry.
Věta 1.13. Je-li M měřitelná množina, pak její hranice h(M) je měřitelná a m (h(M)) = 0.
Příklad 1.14. Typickým příkladem měřitelné množiny je množina daná předpisem
M = {(x, y) ∈ R2
| a ≤ x ≤ b, ϕ(x) ≤ y ≤ ψ(x)},
kde ϕ(x), ψ(x) jsou funkce spojité na intervalu [a, b], viz obrázek (a).
Záměnou proměnných dostáváme množinu znázorněnou na obrázku (b).
M
ϕ(x)
ψ(x)
xa b
y
(a)
M
ϕ(y) ψ(y)
x
y
c
d
(b)
Těmto množinám říkáme elementární množiny.
6
Zavedení dvojného integrálu na měřitelné množině
Máme-li zavedenou míru v rovině, můžeme definovat dvojný integrál na měřitelné množině pomocí
dvojného integrálu jisté funkce na obdélníku, který danou množinu obsahuje.
Definice 1.15. Nechť f je funkce ohraničená na měřitelné množině M ⊂ R2
. Nechť R je obdélník,
který obsahuje množinu M, tj. M ⊂ R. Jestliže je funkce g určená předpisem
g(x, y) =
f(x, y) pro (x, y) ∈ M
0 pro (x, y) ∈ M
integrovatelná na obdélníku R, pak funkci f nazveme integrovatelnou na množině M. Dvojný integrál
funkce f na množině M definujeme vztahem
M
f(x, y) dx dy =
R
g(x, y) dx dy .
Podobně jako u definice míry lze ukázat, že definice dvojného integrálu je korektní, tj. integrál
nezávisí na volbě obdélníku R.
Podobně jako u dvojného integrálu na obdélníku platí, že funkce, která je spojitá na měřitelné
množině, je na této množině integrovatelná.
Jak dvojný integrál vypočteme?
Věta 1.16 (Fubini). Nechť ϕ(x), ψ(x) jsou funkce spojité na intervalu [a, b] a nechť f(x, y) je funkce
spojitá na množině
M = {(x, y) ∈ R2
| a ≤ x ≤ b, ϕ(x) ≤ y ≤ ψ(x)}.
Pak
M
f(x, y) dx dy =
b
a
ψ(x)
ϕ(x)
f(x, y) dy dx .
Analogicky, jsou-li ϕ(y), ψ(y) funkce spojité na intervalu [c, d] a f(x, y) je funkce spojitá na
množině
M = {(x, y) ∈ R2
| c ≤ y ≤ d, ϕ(y) ≤ x ≤ ψ(y)},
pak
M
f(x, y) dx dy =
d
c
ψ(y)
ϕ(y)
f(x, y) dx dy .
Vlastnosti dvojného integrálu
Věta 1.17. Nechť funkce f a g jsou integrovatelné na M a c ∈ R. Pak platí
a) funkce f + g je integrovatelná na M a
M
f(x, y) + g(x, y) dx dy =
M
f(x, y) dx dy +
M
g(x, y) dx dy,
b) funkce c · f je integrovatelná na M a
M
c · f(x, y) dx dy = c ·
M
f(x, y) dx dy.
c) Je-li navíc f(x, y) ≤ g(x, y) pro ∀(x, y) ∈ M, pak
M
f(x, y) dx dy ≤
M
g(x, y) dx dy .
7
Věta 1.18. Nechť M je měřitelná množina. Pak
M
dx dy = m(M) .
Věta 1.19. Je-li f ohraničená na množině M a m(M) = 0, pak f je integrovatelná na M a
M
f(x, y) dx dy = 0 .
Následující vlastnost nám umožňuje integrovat funkci f(x, y) i přes množinu, která není elementární
množinou, ale dá se na elementární množiny rozdělit.
Věta 1.20. Nechť f(x, y) je funkce integrovatelná na konečném počtu uzavřených elementárních
množin M1, M2, . . . , Mn, které mají společné nejvýše hraniční body a nechť M = M1 ∪M2 ∪· · ·∪Mn.
Pak platí
M
f(x, y) dx dy =
M1
f(x, y) dx dy +
M2
f(x, y) dx dy + · · · +
Mn
f(x, y) dx dy .
Příklad 1.21. Vypočtěte
M
(x + y) dx dy,
kde množina M je ohraničena křivkami y = x2
, y = x.
Řešení: U příkladů tohoto typu je dobré si nakreslit ilustrační obrázek, abychom mohli popsat
množinu přes kterou integrujeme pomocí nerovností a dostali tak meze našeho integrálu.
y
x
y = x2
y = x
1
Vidíme, že pro množinu M platí
0 ≤ x ≤ 1, x2
≤ y ≤ x .
Podle Fubiniho věty dostaneme
M
(x + y) dx dy =
1
0
x
x2
(x + y) dy dx =
1
0
xy +
y2
2
x
x2
dx =
=
1
0
3
2
x2
− x3
−
x4
4
dx =
x3
2
−
x4
4
−
x5
20
=
1
5
Příklad 1.22. Vypočtěte
M
x2
y2
dx dy,
kde množina M je ohraničená křivkami y = x, x = 2 a xy = 1.
8
y
x
y = x
y = 1
x
1 2
Řešení: Z obrázku vidíme, že platí 1 ≤ x ≤ 2 a 1
x
≤ y ≤ x, přičemž souřadnici x = 1 jsem dostali
z řešení rovnice 1
x
= x. Integrovaná funkce je na oblasti M spojitá. Podle Fubiniho věty dostáváme
M
x2
y2
dx dy =
2
1
x
1
x
x2
y2
dy dx =
2
1
−
x2
y
x
1
x
dx =
=
2
1
−x + x3
dx = −
x2
2
+
x4
4
2
1
=
9
4
.
1.4 Transformace dvojného integrálu
Při výpočtu dvojného integrálu často používáme transformaci integrálu do polárních souřadnic , ϕ.
Tuto metodu použijeme, jestliže množina M, přes kterou integrujeme, je ohraničená kružnicí (částí
kružnice, mezikružím).
Transformace množiny do polárních souřadnic
Nechť bod v rovině má kartézské souřadnice [x, y]. Pak polární souřadnice je vzdálenost bodu
od počátku a ϕ úhel, který svírá průvodič (tj. úsečka spojující bod s počátkem) s kladným směrem
osy x. Odtud plynou rovnice transformace pro převod kartézských souřadnic do polárních:
y
x
X
̺
ϕ
x = cos ϕ,
y = sin ϕ.
Například, kruh o poloměru r je v polárních souřadnicích popsán = r, 0 ≤ ϕ ≤ 2π. Podobně
polopřímka y = x pro x ≥ 0 je popsána ϕ = π
4
, ≥ 0.
Příklad 1.23. Znázorněte množinu, která je zapsaná v polárních souřadnicích:
2 ≤ ≤ 4,
π
4
≤ ϕ ≤
π
2
.
Řešení: Jde o mezikruží ohraničené kružnicemi se středem v počátku a poloměry r = 2, r = 4 a
omezené přímkami y = x a x = 0 (tj. osa y).
Při transformaci integrálu do polárních souřadnic hraje důležitou roli determinant
J (u, v) =
x y
xϕ yϕ
=
cos ϕ sin ϕ
− sin ϕ cos ϕ
= cos2
ϕ + sin2
ϕ = .
Tento determinant se nazývá jakobián zobrazení pro převod kartézských souřadnic do polárních.
9
Transformace integrálu do polárních souřadnic
Jestliže při výpočtu dvojného integrálu použijeme pro vyjádření množiny M polární souřadnice
, ϕ, pak daný integrál transformujeme do polárních souřadnic, kde se objeví jakobián, a po té
použijeme Fubiniovu větu. Tento postup můžeme popsat následujícím způsobem:
Věta 1.24. Nechť funkce f(x, y) je spojitá na množině M a nechť je tato množina určená v polárních
souřadnicích nerovnostmi
ϕ1 ≤ ϕ ≤ ϕ2, 1(ϕ) ≤ ≤ 2(ϕ).
Pak platí
M
f(x, y) dx dy =
ϕ2
ϕ1
2(ϕ)
1(ϕ)
f( cos ϕ, sin ϕ) d dϕ.
Příklad 1.25. Vypočtěte
M
(x − y) dx dy,
kde M je kruh x2
+ y2
≤ 9.
Řešení: Nejprve popíšeme množinu M v polárních souřadnicích. Rovnice x2
+ y2
= 9 určuje
kružnici se středem v počátku a poloměrem 3. V polárních souřadnicích tak dostáváme
0 ≤ ≤ 3, 0 ≤ ϕ ≤ 2π.
Nyní podle věty 1.24 dostaneme
M
(x − y) dx dy =
2π
0
3
0
2
(cos ϕ − sin ϕ) d dϕ =
2π
0
1
3
3
3
0
(cos ϕ − sin ϕ) dϕ =
= 9
2π
0
(cos ϕ − sin ϕ) dϕ = 9 [sin ϕ + cos ϕ]2π
0 = 0.
Příklad 1.26. Vypočtěte
M
1 − x2 − y2 dx dy,
kde oblast M je čtvrtinou kruhu x2
+ y2
≤ 1 ležící v prvním kvadrantu.
Řešení: Nejprve zapíšeme množinu M v polárních souřadnicích
0 ≤ ≤ 1, 0 ≤ ϕ ≤
π
2
.
Připomeňme, že platí
sin2
x + cos2
x = 1.
Podle věty 1.24 dostaneme
M
1 − x2 − y2 dx dy =
π
2
0
1
0
1 − 2(sin2
x + cos2 x) d dϕ =
=
π
2
0
1
0
1 − 2 d dϕ =
π
2
0
dϕ ·
1
0
1 − 2 d =
=
1 − 2
= t
−2 d = dt
1 0, 0 1
= ϕ
π
2
0
0
1
−1
2
√
tdt = −
π
4
2
3
√
t3
0
1
=
π
6
.
Příklad 1.27. Vypočtěte
M
x2
+ y2
dx dy,
kde pro oblast M platí 1 ≤ x2
+ y2
≤ 4, y ≥ |x|.
10
y
x
x2 + y2 = 4 x2 + y2 = 1
y = |x|
1
2
1 2
Řešení: Nejprve vyjádříme množinu M v polárních souřadnicích. Tato množina je část mezikruží,
která je ohraničená přímkami
y = x a y = −x.
Popsat mezikruží umíme, jak můžeme popsat dané přímky? Jedna z možností je přímo, z názorného
významu polárních souřadnic, tj. y = x je ϕ = π
4
a y = −x je ϕ = 3π
4
. Druhá možnost je pomocí
dosazení transformačních rovnic a řešení příslušné goniometrické rovnice. Například pro y = x,
dostáváme cos ϕ = sin ϕ a odtud ϕ = π
4
. V polárních souřadnicích tak můžeme množinu M popsat
nerovnostmi:
1 ≤ ≤ 2,
π
4
≤ ϕ ≤
3π
4
.
Pro daný integrál platí
M
x2
+ y2
dx dy =
3π
4
π
4
2
1
3
(cos2
ϕ + sin2
ϕ) d dϕ =
=
2
1
3
d ·
3π
4
π
4
(cos2
ϕ + sin2
ϕ) dϕ
=
4
4
2
1
· ϕ
3π
4
π
4
=
15
8
π.
Obecná transformace integrálu
Nyní podrobněji popíšeme transformaci dvojného integrálu. Tu lze provést nejen pro polární
souřadnice, ale pro libovolnou „pěknou“ transformaci. Příkladem je zobrazení, které transformuje
rovnoběžník na obdélník (takové zobrazení je lineární), nebo zobrazení které transformuje elipsu na
obdélník. Výběr transformace se provádí podle tvaru množiny, přes kterou integrujeme (nikoliv podle
funkce, kterou integrujeme, jako tomu je u jednoduchého integrálu).
Definice 1.28. Nechť je dáno zobrazení F : R2
→ R2
určené rovnicemi
x = k(u, v), y = l(u, v), (3)
kde funkce k a l mají spojité parciální derivace prvního řádu. Pak F se nazývá spojitě diferencovatelné
zobrazení a determinant
J (u, v) =
ku lu
kv lv
se nazývá jakobián zobrazení F. Jestliže J (u, v) = 0, pak se toto zobrazení nazývá regulární.
Například, lineární zobrazení x = au + bv, y = cu + dv má jakobián J = ad − bc. Toto zobrazení
je regulární, jestliže ad = bc. Toto zobrazení při vhodné volbě konstant transformuje rovnoběžník
v rovině xy na obdélník v rovině uv.
11
Věta 1.29. Nechť je dána spojitá funkce f proměnných x a y na množině M dané vztahem (3).
Nechť F : R2
→ R2
je prosté regulární zobrazení zadané rovnicemi (3) a nechť M = F(B). Pak platí
M
f(x, y) dx dy =
B
f[k(u, v), l(u, v)]|J (u, v)| du dv.
Příklad 1.30. Určete obsah rovnoběžníku M:
x ≤ y ≤ x + 1, 2x − 2 ≤ y ≤ 2x. (4)
Řešení: Označme nové proměnné
u = y − x, v = y − 2x. (5)
Pak z (4) dostaneme
0 ≤ u ≤ 1, −2 ≤ v ≤ 0,
což je obdélník o stranách 1 a 2 a má velikost m(B) = 2.
Z (5) dostaneme
x = u − v, y = 2u − v.
Jakobián tohoto zobrazení je
J =
1 2
−1 −1
= 1.
Podle věty 1.29 platí
m(M) =
M
dx dy =
B
dx dy = m(B) = 2.
1.5 Aplikace dvojného integrálu
Z definice dvojného integrálu plynou geometrické aplikace:
• obsah množiny M v rovině
M
dx dy
• objem tělesa omezeného obecnou válcovou plochou tvořenou hranicí M a funkcí f(x, y)
M
f(x, y) dx dy.
Příklad 1.31. Určete obsah kruhu o poloměru R.
Řešení: Pro určení daného obsahu musíme spočítat M
dx dy, kde množina M je tvořena daným
kruhem. Kvůli jednoduchosti umístíme kruh do počátku a množinu M popíšeme v polárních
souřadnicích, dostaneme tak 0 ≤ ≤ R, 0 ≤ ϕ ≤ 2π. Pro daný integrál tedy máme
m(M) =
M
dx dy =
2π
0
R
0
d dϕ =
2π
0
dϕ ·
R
0
d = [ϕ]2π
0 ·
2
2
R
0
= πR2
.
Příklad 1.32. Vypočtěte obsah obrazce ohraničeného kružnicí x2
+ y2
= 2x a přímkami y = x,
y = 0.
Řešení: Hledaný obsah bude určen integrálem M
dx dy, kde M je množina určená daným
obrazcem. Upravíme-li doplněním na úplný čtverec rovnici x2
+ y2
= 2x, dostaneme
(x − 1)2
+ y2
= 1,
12
y
x
y = x
x2 + y2 = 2x
1
−1
1 2
což je rovnice kružnice se středem v bodě [1, 0] a poloměrem 1. Dosadíme-li za x = cos ϕ a za y =
sin ϕ z transformačních rovnic, dostaneme pro danou kružnici rovnici 2
cos2
ϕ + 2
sin ϕ = 2 cos ϕ
a po úpravě = 2 cos ϕ. Dané přímky mají rovnice ϕ = 0 a ϕ = π
4
, máme tak popis množiny M
0 ≤ ≤ 2 cos ϕ, 0 ≤ ϕ ≤
π
4
.
Připomeňme, že platí
cos2
x =
1 + cos 2x
2
.
Podle věty 1.24 dostáváme
M
dx dy =
π
4
0
2 cos ϕ
0
d dϕ =
1
2
π
4
0
2 2 cos ϕ
0
dϕ = 2
π
4
0
cos2
ϕ dϕ =
=
π
4
0
(1 + cos 2ϕ) dϕ = ϕ +
1
2
sin 2ϕ
π
4
0
=
π
4
+
1
2
.
Další aplikace
Průměrné hodnoty funkcí:
• průměrná hodnota funkce f(x, y) na množině M o obsahu m(M) (znečištění ovzduší, hustota
populace atd.)
fave =
1
m(M) M
f(x, y) dx dy
Fyzikální aplikace:
• hmotnost desky o tvaru M a hustotě (x, y)
m =
M
(x, y) dx dy
• stacionární moment desky o tvaru M kolem osy x (Mx) a kolem osy y (My)
Mx =
M
y (x, y) dx dy My =
M
x (x, y) dx dy
• souřadnice [¯x, ¯y] těžiště desky o tvaru M, hmotnosti m a hustotě (x, y)
¯x =
1
m M
x (x, y) dx dy ¯y =
1
m M
y (x, y) dx dy
• moment setrvačnosti desky o tvaru M a hustotě (x, y) okolo osy x a okolo osy y
Ix =
M
y2
(x, y) dx dy Iy =
M
x2
(x, y) dx dy
13
• moment setrvačnost desky o tvaru M a hustotě (x, y) okolo počátku (polární moment)
I0 =
M
(x2
+ y2
) (x, y) dx dy
Další aplikace závisí na významu funkce f(x, y) a tedy na významu objemu, který vyjadřuje
dvojný integrál. Dvojný integrál se též dá využít k určení součtu řad nebo jednoduchých integrálů,
u kterých neznáme primitivní funkci.
2 Trojný integrál
Podobně jako jsme v předcházející kapitole integrovali funkci dvou proměnných na množině v rovině,
budeme se nyní zabývat integrací funkce tří proměnných na množině v prostoru – trojným integrálem.
Nejprve zavedeme trojný integrál na kvádru a pak tento integrál rozšíříme na libovolnou měřitelnou
množinu, přičemž se postupuje analogicky jako při zavedení dvojného integrálu. Ukážeme
si alespoň definici trojného integrálu na kvádru a formulaci Fubiniovy věty pro speciální případy
měřitelných množin.
2.1 Trojný integrál na kvádru
Uvažme funkci f(x, y, z) definovanou a ohraničenou na kvádru
V = {(x, y, z) | a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d, e ≤ z ≤ g} .
Míra kvádru je jeho objem, tj.
m(V ) = (g − e)(d − c)(b − a).
Tento kvádr rozdělíme na menší kvádříky tak, že interval [a, b] rozdělíme na l subintervalů, podobně
rozdělíme i další intervaly na m a n subintervalů.
Roviny rovnoběžné se souřadnicovými rovinami, které jdou koncovými body těchto subintervalů,
rozdělí kvádr na p = l · m · n kvádříků Vi, i = 0, . . . , p. Tímto dostaneme dělení daného kvádru, za
normu tohoto dělení nám poslouží největší tělesová úhlopříčka kvádru Vi.
Utvoříme sumu
ϕ(f, D, V ) =
p
i=1
f(xi , yi , zi )m(Vi)
kde (xi , yi , zi ) je libovolný bod z kvádříku Vi. Tato suma tvoří integrální součet příslušný funkci f,
danému dělení a výberu reprezentantů.
Definice 2.1. Nechť f je definovaná a ohraničená na obdélníku V . Řekneme, že funkce f je integrovatelná
na V , jestliže existuje číslo I s následující vlastností: ∀ε > 0, ∃δ > 0 takové, že pro všechna
dělení D kvádru V , jehož norma ν(D) < δ, a pro libovolný výběr reprezentantů V tohoto dělení platí
|I − ϕ(f, D, V )| < ε.
Číslo I nazýváme trojným integrálem funkce f na V a píšeme
V
f(x, y, z) dx dy dz = I .
Pro výpočet trojného integrál na kvádru máme opět Fubiniovu větu.
Věta 2.2 (Fubini). Nechť funkce f(x, y, z) je spojitá na kvádru (trojrozměrném intervalu) V =
[a, b] × [c, d] × [e, g]. Pak trojný integrál je
V
f(x, y, z) dx dy dz =
b
a
d
c
g
e
f(x, y, z) dz dy dx.
14
Poznámka 2.3. Když jsme počítali dvojný integrál přes obdélník, nezáleželo na pořadí v jakém
integrujeme. Podobně, integrujeme-li přes kvádr, nezáleží při integraci na pořadí v jakém integrujeme.
Příklad 2.4. Pomocí trojného integrálu odvoďte objem kvádru m(V ) o velikosti stran a, b a c.
Řešení: Podle definice je objem množiny roven trojnému integrálu přes tuto množinu, tj.
m(V ) =
V
dx dy dz,
kde množina V je kvádr, pro který platí 0 ≤ x ≤ a, 1 ≤ y ≤ b a 0 ≤ z ≤ c. Podle Fubiniovy věty je
trojný integrál roven trojnásobnému integrálu
V
dx dy dz =
a
0
b
0
c
0
dz dy dx =
a
0
b
0
c dy dx =
a
0
bc dx = abc.
Příklad 2.5. Vypočtěte trojný integrál
V
(x + y) dx dy dz,
kde množina V je krychle, pro kterou platí 0 ≤ x ≤ 1, 1 ≤ y ≤ 2 a 0 ≤ z ≤ 1.
Řešení: Opět použijeme Fubiniovu větu 2.2, přičemž meze trojnásobného integrálu jsou zřejmé
ze zadání.
V
(x + y) dx dy dz =
1
0
2
1
1
0
(x + y) dz dy dx =
1
0
2
1
(x + y) [z]1
0 dy dx =
=
1
0
2
1
(x + y) dy dx =
1
0
xy +
y2
2
2
1
dx =
=
1
0
2x + 2 − x −
1
2
dx =
1
0
x +
3
2
dx =
x2
2
+
3
2
x
1
0
= 2.
2.2 Fubiniova věta pro trojný integrál
Nyní budeme integrovat přes měřitelnou množinu v prostoru, neboli přes "deformovaný"kvádr.
Věta 2.6 (Fubini). Nechť je dána množina v rovině
M = {[x, y] ∈ R2
: a ≤ x ≤ b, ϕ(x) ≤ y ≤ ψ(x)},
kde ϕ(x), ψ(x) jsou spojité funkce na intervalu [a, b] a ϕ(x) ≤ ψ(x), a množina v prostoru
V = {[x, y, z] ∈ R3
: [x, y] ∈ M, Φ(x, y) ≤ z ≤ Ψ(x, y)},
kde Φ(x, y), Ψ(x, y) jsou spojité funkce na množině M a Φ(x, y) ≤ Ψ(x, y).
Je-li funkce f(x, y, z) spojitá na množině V v prostoru, pak platí
V
f(x, y, z) dx dy dz =
b
a
ψ(x)
ϕ(x)
Ψ(x,y)
Φ(x,y)
f(x, y, z) dz dy dx.
Jinými slovy, trojný integrál převedeme na trojnásobný integrál „od bodu k bodu“, „od funkce
k funkci“ a „od plochy k ploše“. Postupně integrujeme podle z, pak podle y a nakonec podle x.
Příklad 2.7. Vypočtěte trojný integrál
V
xz dx dy dz,
kde pro množinu V platí 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ x a 0 ≤ z ≤
√
x + y.
15
Řešení: Můžeme rovnou použít Fubiniovu větu 2.6 a daný integrál přepsat jako trojnásobný
V
xz dx dy dz =
2
0
x
0
√
x+y
0
xz dz dy dx =
1
2
2
0
x
0
xz2
√
x+y
0
dy dx =
=
1
2
2
0
x
0
(x2
+ xy) dy dx =
1
2
2
0
x2
y +
xy2
2
x
0
dx =
=
1
2
2
0
x3
+
x3
2
dx =
3
4
2
0
x3
dx =
3
4
x4
4
2
0
= 3.
Příklad 2.8. Vypočtěte
V
z dx dy dz,
kde množina V je ohraničena rovinami x + y + z = 1, z = 0, y = 0 a x = 0.
x
z
1
1
(a)
x
y
1
1
(b)
1
1
1
z
y
x
(c)
Řešení: Při výpočtu trojného integrálu, kdy daná množina není dána nerovnostmi, je výhodné si
nakreslit dva obrázky, jeden pro danou množinu V a jeden pro její projekci na některou ze souřadných
rovin (např. rovinu xy). V tomto případě můžeme vidět, že spodní hranicí našeho tělesa je rovina
z = 0 a horní hranicí je rovina x + y + z = 1, resp. z = 1 − x − y. Obě tyto roviny se protínají
v přímce x + y = 1 (y = 1 − x), které leží v rovině xy. Projekce do roviny xy je proto trojúhelník a
máme tak popis dané množiny
V = {(x, y, z): 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1 − x, 0 ≤ z ≤ 1 − x − y} ,
což nám umožní vypočítat daný integrál pomocí Fubiniovy věty
V
z dx dy dz =
1
0
1−x
0
1−x−y
0
z dz dy dx =
1
0
1−x
0
z2
2
1−x−y
0
dy dx
=
1
2
1
0
1−x
0
(1 − x − y)2
dy dx =
1
2
1
0
−
(1 − x − y)3
3
1−x
0
dx
=
1
6
1
0
(1 − x)3
dx =
1
6
−
(1 − x)4
4
1
0
=
1
24
.
Příklad 2.9. Pomocí trojného integrálu odvoďte objem koule o poloměru r.
Řešení: Objem koule můžeme spočítat pomocí jednoduchého integrálu jako rotaci polokružnice
kolem osy x.
Nyní si ukažme, jak postupovat pomocí trojného integrálu. Rovnice koule je
x2
+ y2
+ z2
≤ r2
.
16
Objem koule vyjádříme jako trojný integrál, který převedeme na dvojný integrál
m(V ) =
V
dx dy dz =
M
r2 − (x2 + y2) dx dy ,
kde množina M je kruh x2
+ y2
+ z2
≤ r2
. Vzhledem k symetrii stačí uvažovat množinu v prvním
oktantu (tj. množinu, která je ohraničená kulovou plochou z = r2 − (x2 + y2) a rovinou z = 0 na
čtvrtkružnici) a tento objem vynásobit osmi.
Pro dvojný integrál použijeme transformaci čtvrtkružnice do polárních souřadnic, tj. 0 ≤ ϕ ≤ π/4,
0 ≤ ≤ r. Objem koule je
m(V ) = 8
π/4
0
r
0
r2 − 2 d dϕ,
a použitím substituce t2
= r2
− 2
dostáváme
m(V ) = 8
π/4
0
r
0
t2
dt dϕ =
4
3
πr3
.
2.3 Transformace trojného integrálu do válcových souřadnic
Postupujeme podobně jako u dvojného integrálu: nejprve transformujeme těleso do válcových souřadnic
a po té trojný integrál.
Transformace tělesa do válcových souřadnic
Integrujeme-li přes válec V nebo jeho část, pak místo kartézských souřadnic x, y, z je výhodné
používat válcové souřadnice , ϕ a z.
Nechť bod v prostoru má kartézské souřadnice [x, y, z]. Pak válcové souřadnice jsou z (beze změny)
a místo kartézských souřadnic x, y jsou polární souřadnice průmětu tohoto bodu do roviny xy. Odtud
plynou rovnice transformace pro převod kartézských souřadnic do válcových:
z
y
x
̺ϕ
z
x = cos ϕ,
y = sin ϕ,
z = z.
Je vidět, že válcové souřadnice transformují válec na kvádr.
Příklad 2.10. Zapište ve válcových souřadnicích následující množiny:
(a) válec s osou v ose z, poloměrem r = 10 a výškou v = 100;
(b) část koule se středem v počátku, poloměrem r = 2 ležící v prvním oktantu (tj. x ≥ 0, y ≥ 0,
z ≥ 0).
(c) kužel o poloměru r a výšce v s osou v ose z.
Řešení:
(a) Průmětem válce do roviny xy je kruh o poloměru 10. Vzhledem k tomu, že popis v této rovině
provádíme pomocí polárních souřadnic a výška válce je 100, musí všechny body válce splňovat
nerovnosti
0 ≤ ϕ ≤ 2π, 0 ≤ ≤ 10, 0 ≤ z ≤ 100.
17
(b) Průmětem části koule do roviny xy je čtvrtkruh, který můžeme v polárních souřadnicích popsat
nerovnostmi
0 ≤ ϕ ≤
π
2
, 0 ≤ ≤ 2.
Rovnice koule o poloměru 2 a středu v počátku je v kartézských souřadnicích x2
+ y2
+ z2
= 4.
Rovnici ve válcových souřadnicích dostaneme tak, že za x a y dosadíme transformační rovnice,
tj.
x = cos ϕ, y = sin ϕ,
máme tak
z = 4 − 2.
Celkem tak dostáváme popis naší množiny ve tvaru
0 ≤ ϕ ≤
π
2
, 0 ≤ ≤ 2, 0 ≤ z ≤ 4 − 2.
(c) Jde o množinu popsanou v kartézských souřadnicích
x2
+ y2
≤ r2
, x2 + y2 ≤ z ≤ v.
Ve válcových souřadnicích
0 ≤ ϕ ≤ 2π, 0 ≤ ≤ r, ≤ z ≤ v.
Transformace trojného integrálu do válcových souřadnic
Pro transformaci integrálu opět potřebujeme určit jakobián zobrazení.
Jakobián zobrazení F pro převod kartézských souřadnic do válcových je determinant
J =
x y z
xϕ yϕ zϕ
xz yz zz
=
cos ϕ sin ϕ 0
− sin ϕ cos ϕ 0
0 0 1
= .
Vidíme, že tento jakobián je stejný jako pro polární souřadnice.
3 Transformace trojného integrálu
Protože válcové souřadnice jsou analogií polárních souřadnic v rovině, postupujeme při transformaci
trojného integrálu do válcových souřadnic podobně jako při transformaci dvojného integrálu.
Věta 3.1. Nechť funkce f(x, y, z) je spojitá na množině V ⊂ R3
a nechť je tato množina určená ve
válcových souřadnicích nerovnostmi
ϕ1 ≤ ϕ ≤ ϕ2, 1(ϕ) ≤ ≤ 2(ϕ), Φ( , ϕ) ≤ z ≤ Ψ( , ϕ),
kde funkce 1, 2, Φ( , ϕ), Ψ( , ϕ) jsou spojité. Pak platí
V
f(x, y, z) dx dy dz =
ϕ2
ϕ1
2(ϕ)
1(ϕ)
Ψ( ,ϕ)
Φ( ,ϕ)
f( cos ϕ, sin ϕ, z) dz d dϕ.
Příklad 3.2. Vypočtěte trojný integrál
V
x2
+ y2
dx dy dz,
kde pro množinu V platí x2
+ y2
≤ 2z a z ≤ 2.
18
x
z
2
2
(a) Průmět do roviny xz
x
y
2
2
(b) Průmět do roviny xy
x
y
2
2
(c) Graf funkce z = x2
+ y2
Obrázek 1: Množina V z příkladu 3.2
Řešení: Množina V představuje část rotačního paraboloidu z = x2+y2
2
, který je shora seříznut
rovinou z = 2, která je rovnoběžná s rovinou Oxy. Integrál transformujeme do válcových souřadnic.
Řez rovinou z = 2 získáme dosazením do rovnice paraboloidu, máme tak 4 = x2
+ y2
. Vidíme, že
řezem je kružnice se středem v počátku a poloměrem 2, do stejné kružnice v rovině xy se promítá i
dané těleso. Pro množinu V tak dostáváme ve válcových souřadnicích popis
0 ≤ ≤ 2, 0 ≤ ϕ ≤ 2π,
2
2
≤ z ≤ 2.
Pro daný integrál tak dostáváme
V
x2
+ y2
dxdydz =
2
0
2π
0
2
2
2
3
dz dϕ d =
2
0
2π
0
3
[z ]2
2
2
dϕ d =
=
2
0
2π
0
2 3
−
5
2
dϕ d =
2
0
2 3
−
5
2
ϕ
2π
0
d =
= 2π
2
0
2 3
−
5
2
d = 2π
4
2
−
6
12
2
0
=
16π
3
.
Příklad 3.3. Vypočtěte
V
x2 + y2 dx dy dz,
kde V je množina omezená nerovnostmi x2
+ y2
≤ 1, z ≤ 1 − y a z ≥ 0.
y
z
1−1
2
(a) Průmět do roviny yz
x
y
1
1
(b) Průmět do roviny xy
Obrázek 2: Popis množiny V z příkladu 3.3
Řešení: Množina V je válec, který je seříznut rovinami z = 0 a z = 1−y. Převodem do válcových
souřadnic dostaneme 0 ≤ ≤ 1, 0 ≤ ϕ ≤ 2π a dosazením transformačních rovnic do rovnice roviny
19
0 ≤ z ≤ 1 − sin ϕ. Máme tak
V
x2 + y2 dx dy dz =
2π
0
1
0
1− sin ϕ
0
2
dz d dϕ =
=
2π
0
1
0
2
[z]1− sin ϕ
0 d dϕ =
=
2π
0
1
0
2
(1 − sin ϕ) d dϕ =
=
2π
0
3
3
−
4
4
sin ϕ
1
0
dϕ =
2π
0
1
3
−
1
4
sin ϕ dϕ =
=
1
3
ϕ +
1
4
cos ϕ
2π
0
=
2π
3
.
Příklad 3.4. Vypočtěte
V
z dx dy dz,
kde pro množinu V platí x2
+ y2
≥ z, x2
+ y2
≤ 1, z ≥ 0.
x
z
1−1
1
(a) Průmět do roviny xz
x
y
1
1
(b) Průmět do roviny xy
x
y
z
(c) Obraz množiny V
Obrázek 3: Ilustrace množiny V z příkladu 3.4
Řešení: Množina V je válec, ze kterého je „vyříznut“ kousek rotačního paraboloidu. Opět pomocí
transformace do válcových souřadnic dostaneme ϕ ∈ [0, 2π], ∈ [0, 1] (celé těleso je uvnitř daného
válce), ve směru osy z je těleso omezené rovinou xy a daným paraboloidem, tedy z ∈ [0, x2
+ y2
]
neboli z ∈ [0, 2
] po dosazení válcových souřadnic. Dostáváme tak
V
z dx dy dz =
2π
0
1
0
2
0
z dz d dϕ =
1
2
2π
0
1
0
z2
2
0
d dϕ =
=
1
2
2π
0
1
0
5
d dϕ =
1
12
2π
0
6 1
0
dϕ =
1
12
2π
0
dϕ =
=
1
12
[ϕ]2π
0 =
π
6
.
Transformace do sférických souřadnic
Trojný integrál lze transformovat také do jiných souřadnic. Dalším typickým příkladem transformace
jsou sférické souřadnice , ϕ a θ, které jsou definovány takto: Nechť bod v prostoru má
kartézské souřadnice [x, y, z]. Pak souřadnice je vzdálenost bodu od počátku (průvodič), θ je úhel,
který svírá průvodič s kladným směrem osy z, a ϕ úhel, který svírá průmět průvodiče do roviny xy,
tj. hodnota sin θ, s kladným směrem osy x.
20
Znamená to, že v rovině xy máme místo kartézských souřadnic x, y polární souřadnice s průvodičem
sin θ a úhlem ϕ. Odtud plynou rovnice transformace pro převod kartézských souřadnic do
sférických:
z
y
x
P
̺
ϕ
θ
x = sin θ cos ϕ,
y = sin θ sin ϕ,
z = cos θ.
Jakobián tohoto zobrazení je J = − 2
sin θ.
Příklad 3.5. Zapište ve sférických souřadnicích kouli se středem v počátku a poloměrem r = 4.
Řešení: Výhodou sférických souřadnice je fakt, že koule se v nich dá popsat, podobně jako kvádr
v kartézských souřadnicích, pomocí nerovností s konstantními mezemi. V tomto případě budou tyto
nerovnosti tvaru
0 ≤ ≤ 4, 0 ≤ ϕ ≤ 2π, 0 ≤ θ ≤ π.
Poznámka 3.6. Podobně jako u dvojného integrálu bychom mohli formulovat větu o obecné transformaci
trojného integrálu, opět je nutné integrovanou funkci při přechodu k novým souřadnicím
násobit absolutní hodnotou jakobiánu této transformace.
Příklad 3.7. Vypočítejte míru množiny V , která je určená nerovnostmi
x2
+ y2
+ z2
− 2z ≤ 0, x2
+ y2
− z2
≤ 0.
Řešení: Pro určení míry množiny V , potřebujeme spočítat V
dx dy dz. První nerovnost můžeme
upravit do tvaru
x2
+ y2
+ (z − 1)2
≤ 1,
jedná se proto o kouli se středem v bodě [0, 0, 1] a poloměrem 1. Druhá nerovnost představuje část
kužele s vrcholem v počátku. Dosadíme-li do obou rovnic sférické souřadnice dostaneme
2
sin2
θ + 2
cos2
θ − 2 cos θ = 0 tj. = 2 cos θ
2
sin2
θ − 2
cos2
θ = 0 =⇒ cos 2θ = 0 tj. θ =
π
4
.
Dostáváme tak integrační meze
0 ≤ ϕ ≤ 2π, 0 ≤ θ ≤
π
4
, 0 ≤ ≤ 2 cos θ
a výpočet daného integrálu je podle předchozí poznámky
V
dx dy dz =
π
4
0
2π
0
2 cos θ
0
2
sin θ d dϕ dθ =
=
π
4
0
2π
0
1
3
3
2 cos θ
0
sin θ dϕ dθ =
8
3
π
4
0
2π
0
cos3
θ sin θ dϕ dθ =
=
16
3
π
π
4
0
cos3
θ sin θ dθ =
cos θ = t
sin θ dθ = −dt
0 1, π
4
√
2
2
=
=
16
3
π
1
√
2
2
t3
dt = π.
21
4 Aplikace trojného integrálu
Všechny aplikace dvojného integrálu můžeme přímo zobecnit i pro integrál trojný. Tedy například,
je-li ρ(x, y, z) funkce popisující hustotu tělesa, které vyplňuje množinu V , pak jeho hmotnost je
m =
V
ρ(x, y, z)dx dy dz
a jeho stacionární momenty okolo souřadnicových rovin jsou
Myz =
V
xρ(x, y, z)dx dy dz, Mxz =
V
yρ(x, y, z)dx dy dz, Mxy =
V
zρ(x, y, z)dx dy dz.
Souřadnice těžiště pak jsou
¯x =
Myz
m
, ¯y =
Mxz
m
, ¯z =
Mxy
m
.
Dále můžeme spočítat například momenty setrvačnosti kolem souřadných os
Ix =
V
y2
+ z2
ρ(x, y, z) dx dy dz, Iy =
V
x2
+ z2
ρ(x, y, z) dx dy dz,
Iz =
V
x2
+ y2
ρ(x, y, z) dx dy dz
nebo celkový elektrický náboj Q tělesa
Q =
V
σ(x, y, z) dx dy dz,
kde σ je hustota náboje.
22