1
Statistická analýza plošných jevů
1. porovnání prostorového uspořádání studovaného jevu
s uspořádáním teoretickým (shlukovým, pravidelným či
náhodným)
2. typologie prostorového uspořádání jevů (bez územní souvislosti)
3. regionalizace - seskupování jednotek (polygonů) do vyšších
územně souvisejících celků
4. interpolace a vyhlazování areálových dat
Studium prostorových vztahů může být zaměřeno na
následující typy úloh:
• Prostorová autokorelace je významným ukazatelem k hodnocení
dynamiky a časových změn v prostorovém uspořádání objektů a pro
predikce.
• Další význam prostorové autokorelace spočívá ve skutečnosti, že řada
statistických ukazatelů (např. regresní modely) požaduje splnění
předpokladu náhodnosti výběru objektů a jejich vzájemné nezávislosti.
Míry prostorové autokorelace tak mohou potvrdit či vyvrátit splnění
uvedených předpokladů.
Význam prostorové autokorelace
Míry prostorového uspořádání ploch
Prostorová autokorelace– hodnoty atributů ploch spolu korelují v závislosti na
jejich vzájemné poloze. To je v důsledku podobných přirozených (přírodních)
podmínek (např. produkce zemědělských podniků) či v důsledku přirozené
spojitosti jevů.
Příklad pozitivní prostorové autokorelace (shlukové uspořádání - vlevo) a
negativní prostorové autokorelace (disperzní uspořádání – vpravo)
Matice prostorových vah (Spatial weight matrices)
V případě vyšetřování prostorové autokorelace bodů je podobnost polohy
hodnocena pomocí jejich vzdálenosti.
V případě prostorové autokorelace plošných objektů je vhodné podobnost polohy
hodnotit jinými způsoby, například pomocí vztahů sousedství.
Nejprve musí být vztahy sousedství jistým způsobem kvantifikovány – k tomu se
využívá tzv. matic prostorových vah
Způsoby definování sousedství (Rook’s case – věž, Queen’s case – Dáma)
Vedle sousedství je další běžně užívanou mírou prostorové relace plošných
objektů vzdálenost jejich centroidů.
Binární matice konektivity
(BCM – binary connectivity matrix)
Analogicky jako v případě linií – binární, čtvercová symetrická matice C
s prvky cij, 1 – sousedí, 0 - ne)
Vlastnosti BCM:
• Prvky na hlavní diagonále mají hodnoty 0
• Matice je symetrická – redundance uložené informace
• Suma v řádku nese informaci o počtu sousedů dané jednotky
• Pro větší počet prostorových jednotek obsahuje velké množství nul a je tedy
paměťově náročná
2
Stochastická matice či matice se
standardizovanými řádkovými vahami (RSWM)
Nahrazuje jedničky vahou wij , vypočtenou jako poměr mezi hodnotu cij a sumou
v řádku – tj. počtem sousedů. Tedy má-li jednotka 4 sousedy, bude její váha rovna
0,25 – tak dostaneme z matice C matici W, označovanou jako matici se
standardizovanými řádkovými vahami. Stejně jako matice C má i W na hlavní
diagonále nuly, není však již symetrická.
Na místo vzdáleností centroidů jsou použity vzdálenosti dvou nejbližších
částí dvou polygonů.
Takto definované váhy jsou výhodné pro charakterizování prostorových
kontaktů či difuze.
U takto sestavené matice buňky s nulami mimo hlavní diagonálu
(sousedé) odpovídají buňkám s jedničkami v binární matici sousedství.
Matice nejbližších vzdáleností
Míry prostorové autokorelace areálů
Globální míry prostorové autokorelace:
• Data nominální - JCS - joint count statistics – Statistika charakteru
sousedství
• Data intervalová a poměrová - Moranův index I, Gearyho poměr C, G-
statistika
Prostorová autokorelace se může měnit v rámci studované oblasti
Lokální míry prostorové autokorelace
• Local Indicator of Spatial Association (LISA)
• Lokální verze G-statistiky (local G-statistics).
Ke grafickým prostředkům hodnotícím prostorovou autokorelaci patří
Moranův diagram (scatterplot, t.j. korelační pole)
Statistika charakteru sousedství - Joint count statistics (JCS)
Touto metodou lze zjistit, zda uspořádání ploch, které mohou nabývat binárních hodnot
vykazuje prvky náhodnosti. Tedy zda existuje pozitivní (clustered pattern) či negativní
(random pattern) prostorová autokorelace.
Podstata metody:
U – zástavba, R – volná krajina. Čtyři typy sousedství: UU, RR, UR, RU.
UR + RU < 50% pozitivní prostorová autokorelace.
UR + RU > 50%, negativní prostorová autokorelace
Náboženské vyznání vybraných obcí v okrese Jindřichův Hradec
méně než 30%
více než 30%
Podíl věřících
0 5 10 15 20 25 30 km
Spoje typu AA: 16
Spoje typu BB: 13
Spoje typu AB: 12
Očekávané spoje AA: 12.4025
Očekávané spoje BB: 8.3025
Očekávané spoje AB: 20.295
Rozptyl spojů AA: 31.7103
Rozptyl spojů BB: 22.0578
Rozptyl spojů AB: 41.5552
Testovací hodnota z spojů AA: 0.638852
Testovací hodnota z spojů BB: 1.0002
Testovací hodnota z spojů AB: -1.28678
Příklad analýzy metodou JSC
- pozitivní prostorová autokorelace
• Jsou využitelné pro intervalová a poměrová data
• Vhodnější vlastnosti vzhledem k rozdělení hodnot má
index I.
• Jsou založeny na porovnávání hodnot atributů
sousedních ploch.
• Mají-li tyto sousední plochy v celé studované oblasti
podobné hodnoty, potom obě statistiky budou svědčit o
silné pozitivní prostorové autokorelaci a naopak.
• Obě statistiky využívají odlišný přístup k porovnávání
hodnot sousedních ploch.
Moranův (I) a Gearyho (C) index jako míry
prostorové autokorelace plošných jevů
3
Moranův (I) index jako míra prostorové
autokorelace plošných jevů
∑
∑∑
−
−−
= 2
)(
))((
xxW
xxxxwn
I
i
jiij
kde xi je hodnota proměnné v ploše i
wij jsou váhy, W matice vah
Hodnota indexu kolísá od -1 pro negativní prostorovou
autokorelaci do +1 pro pozitivní prostorovou autokorelaci.
Očekávaná hodnota (případ nulové prostorové autokorelace)
)1(
1
−
−=
n
EI
Váhy - matice binární či stochastická.
Interpretace Moranova I
• Budou-li ve zpracovávané oblasti převažovat sousedé
s obdobnými hodnotami, Moranův index I bude kladný.
• Vypočteme hodnoty I a E(I) a následně musíme zjistit, zda rozdíl
mezi nimi je statisticky významný.
• Tento rozdíl je opět nutné vztáhnout k míře variability (např.
rozptylu) a pomocí ní odvodit standardizovanou hodnotu (z-skóre)
)(
)(
2
I
IEI
Zn
σ
−
=
• Odhady rozptylu se budou lišit podle způsobu, jakým mohou být
hodnoty vyšetřovaného atributu přiřazeny k jednotlivým plochám –
viz. předpoklad normality a předpoklad náhodnosti
• Pokud je hodnota Zn(I) menší (resp. větší) než -1,96 (resp. 1,96)
je hodnota indexu I statisticky významně negativní (resp. pozitivní)
na hladině významnosti α=0,05.
Příklad 1: Kartogram průměrného příjmu pro sedm států v Ohiu. Z hodnot
vypočtených indexů vyplývá, že hodnota Moranova indexu indikuje
negativní prostorovou autokorelaci (státy s vysokou hodnotou
studovaného atributu jsou blízko států s nízkými hodnotami). Tato
tendence však není statisticky významná na hladině 5 %.
Omezení globálních měr I, C
• rozsah studované oblasti
• počet objektů (ploch)
I = 0,76
Z = 9,5
Pouze řeší, zda:
Podobné blízko sebe – pozitivní prostorová autokorelace
Nepodobné blízko sebe – negativní prostorová autokorelace
Obecná G - statistika
(Getis-Ord statistics)
• Indexy I a C mají dobře definované statistické vlastnosti,
které popisují prostorovou autokorelaci globálně
• Nejsou však efektivní k identifikaci rozdílných shluků
prostorového uspořádání uvnitř oblasti.
• Identifikují oblasti s podobnými hodnotami atributů,
nerozlišují však, zda tyto podobné hodnoty nabývají
vysokých či nízkých hodnot.
• Shluky ploch (též. místa prostorové koncentrace - spatial
concentration) vysokých hodnot vyšetřovaného atributu ve
studované oblasti se označují jako „hot spots“, naopak místa
se shluky nízkých hodnot jako „cold spots“.
• Odlišit oby typy shluků lze pomocí tzv. obecné G-statistiky
(general G-statistics).
Obecná G - statistika
∑∑
∑∑=
ji
jiij
xx
xxdw
dG
)(
)(
• G-statistika je definována vzdáleností d mezi plochou i a
plochami sousedními.
• Váha wij(d) má hodnotu 1, jestliže se plocha j nachází ve
vzdálenosti menší či rovné d od plochy i, jinak je váha rovna 0.
• Matice vah je maticí binární a symetrickou, vztahy sousedství
jsou definovány vzdáleností d. Suma těchto vah matice se rovná:
ji ≠pro∑∑=
i j
ij dwW )(
ji ≠pro
4
Interpretace G - statistiky
• Vysoké hodnoty G(d) indikují prostorovou asociaci vysokých hodnot
(hot spots) zkoumaného atributu, nízké G(d) potom prostorovou asociaci
nízkých hodnot (cold spots).
• Před výpočtem G(d) je nutné určit vzdálenost d, která definuje plochy,
které budou považovány za sousedy plochy posuzované. Musí být vhodně
zvolena tak, aby posuzovaná plocha měla alespoň jednoho souseda.
• K interpretaci G(d) je nutné vyčíslit očekávanou hodnotu G(d), tedy E(G)
a následně standardizovanou hodnotu z-skóre a tedy i rozptyl hodnoty
G(d). Očekávaná hodnota G(d) bude:
)1(
)(
−
=
nn
W
GE
• Očekávaná hodnota odpovídá nulové prostorové asociaci. Např. je-li
vypočtená hodnota G(d) větší než očekávaná, můžeme říci, že
pozorované uspořádání vykazuje pozitivní prostorovou asociaci.
• Statistickou významnost tohoto tvrzení je opět nutné testovat
výpočtem hodnoty rozptylu a z-skóre. Hodnota z-skóre menší než 1,96
indikuje statisticky nevýznamný výsledek na hladině α=0,05.
Příklad 2: Jsou použita stejná vstupní data jako v případě I a C
indexů. Výchozí matice vzdáleností centroidů je převedena na matici
binární na základě zvolené vzdálenosti d (d=30 mil)
Výchozí matice vzdáleností centroidů
Matice sousedství vypočtená pro d=30
Vypočtená hodnota G(d) vykazuje mírnou úroveň prostorové asociace,
podle hodnoty z-skóre však výsledek není statisticky významný.
Jinými slovy – dané uspořádání průměrného příjmu v sedmi státech
Ohia je spíše výsledkem náhody než určitého systematického procesu.
Lokální statistiky prostorové autokorelace
• Výše uvedené indexy jsou příkladem indexů globálních.
• Hodnoty prostorové autokorelace se mohou v různých suboblastech
měnit. Navíc můžeme očekávat, že pozitivní
autokorelaci lze nalézt v jednom sub-regionu a negativní v jiném.
• LISA (Local Indicators of Spatial
Association) - lokální verze Moranova,
Gearyho indexu či G - statistiky
• Ke zjištění úrovně prostorové
autokorelace na lokální úrovni se vypočte
hodnota indexu pro každou plochu
zpracovávaného území.
Distribution (Quartiles) of the
NSDAP 1930 Vote in Percentages
Distribution of Local Indicators of Spatial
Association for the NSDAP 1930 Vote
http://www.colorado.edu/IBS/PEC/johno/pub/nazi_long/Pnazi_long.htm
Příklad použití lokálních měr prostorové autokorelace
Lokální Moranův index pro jednotku i :
∑=
i
jijii zwzI
kde zi a zj jsou odchylky od průměru nebo
σ
)( xx
z i
i
−
=
kde σ je směrodatná odchylka xi.
• Vysoké hodnoty znamenají kumulaci podobných hodnot
atributů (vysokých či nízkých) v sousedních plochách, nízké
hodnoty potom kumulaci odlišných hodnot atributů.
• Hodnoty wij mohou představovat po řadách standardizovanou
matici vah, lze použít i jiných matic vah.
Lokální verze Gearyho poměru:
∑ −=
j
jiiji zzwc 2
)(
Shlukování podobných hodnot atributů vede k nízkým
hodnotám tohoto indexu a naopak.
Lokální G-statistika
∑
∑=
j j
jij
i
x
xdw
dG
)(
)( ji ≠pro
I v případě lokálních měr je nutné interpretovat hodnoty
indexů pomocí očekávaných hodnot, hodnot rozptylu a
standardizovaných skóre
5
Příklad 3: Pro data z příkladu 1
byly vypočteny hodnoty lokálního
Moranova indexu I (pro každý
stát. Jako matice vah byla použita
matice stochastická. Výsledky
jsou prezentovány ve formě
kartogramu.
Interpretace: Vysoké hodnoty indexu I mají ty státy, jejichž sousedé mají
velmi podobné hodnoty studované charakteristiky. Podle z-skóre žádná
z hodnot není statisticky významná a dané uspořádání průměrných příjmů
v sedmi státech lze interpretovat jako náhodný proces.
Obdobným způsobem lze vizualizovat a hodnotit výsledky analýzy založené
na lokálním indexu C a lokální G-statistice.
G*i statistic for percentage over 25 years with a higher/professional
degree, 5 US midwestern states, 1990 census.
Zdroj:
http://www.math.uni-klu.ac.at/stat/users/agebhard/ERSA-98-D8-427/node23.html?language=en
Příklad mapování „cold spots“ a „hot spots“ s využitím
lokální G-statistiky
Moranovo korelační pole (Moran Scatterplot)
Lokální statistiky vystihují prostorovou heterogenitu v jednotlivých
částech studovaného území.
Lze jimi identifikovat oblasti s neobvyklými hodnotami měr
prostorové autokorelace, které lze označit jako oblasti s odlehlými
hodnotami (outliers).
Efektivním nástrojem pro takovouto diagnostiku území je
Moranovo korelační pole založené na regresním počtu.
Předpokládejme, že x značí vektor hodnot xi vyjádřený v
odchylkách od průměru )( xxi −
Dále W značí po řádcích standardizovanou matici vah.
Lze sestavit regresní závislost hodnot Wx na x. Směrnice této
regresní závislosti indikuje vzájemný vztah sousedních hodnot
atributů.
Moranovo korelační pole (Moran Scatterplot)
Sestavíme regresní závislost hodnot Wx na x. Směrnice této
regresní závislosti indikuje vzájemný vztah sousedních hodnot
atributů.
IWxax +=
kde parametr a značí absolutní člen (intercept).
• Hodnota I je regresní koeficient reprezentující směrnici a také
hodnotou Moranova globálního indexu I.
• Vynesení regresní závislosti Wx na x umožňuje identifikovat
odlehlé hodnoty. Pokud budou mít všechna pozorování podobné
hodnoty prostorové autokorelace, v korelačním poli budou body
tvořit regresní přímku.
• Pokud některá pozorování budou ukazovat lokálně výrazně
vysoké či nízké hodnoty prostorové autokorelace ve vztahu k jejich
sousedům, tato pozorování budou v grafu tvořit body výrazně nad
či pod regresní čarou.
Příklad 4: Hodnota Moranova indexu (viz. Příklad 1) indikuje slabou
negativní prostorovou autokorelaci (státy s vysokou hodnotou
studovaného atributu jsou blízko států s nízkými hodnotami).
Parametr b představuje hodnotu Moranova indexu I. Z grafu je patrné
že příjem (x) je nepřímo úměrný vážené hodnotě příjmu (Wx).
Množinou bodů lze proložit přímku. Body, které se výrazně odchylují od
přímky představují „outliers“ – představují oblasti s výrazně odlišnými
hodnotami prostorové autokorelace.
Příklad prostorového uspořádání atributu, který vykazuje silnou
pozitivní autokorelaci a příslušný Moranův diagram
Moranovo korelační pole - Interpretace
6
Z Moranova diagramu lze vybrat plochy vykazující stejné tendence v
hodnotách měr prostorové autokorelace – příklad pozitivní prostorové
autokorelace
GeoDa http://geodacenter.asu.edu/ Zdroj: http://www.academicjournals.org/ajar/fulltext/2011/
Příklad mapování s využitím LISA
Local Indicator of spatial
association for the degree of soil
degradation in Mexico.
Cluster map showing the associations
between different degrees of soil
degradation in the study area.
Příklad využití metody JCS