Gaussovo zobrazeni, zobrazení UTM
Matematická kartografie
1. Základní charakteristiky zobrazení
2. Zobrazovací rovnice
3. Inverzní funkce k zobrazovacím rovnicím
4. Meridiánová konvergence
5. Zákony zkreslení
6. Mezipásmové transformace
2
1
ZÁKLADNÍ CHARAKTERISTIKY
ZOBRAZENÍ
3
mm	
Základní charakteristiky žobre	ízení
• Dosud spíše teorie, i když některá uvedená zobrazení se reálně používají.
• Ta nejpoužívanější ale uvedena nebyla.
• Který z dříve zmíněných typů je Gaussovo zobrazení?
• Konformní zobrazení referenčního elipsoidu přímo do roviny.
• Nej kratší cesta -neznamená to ale, že je odvození jednodušší.
REFERENČNÍ PLOCHA
ZOBRAZOVACÍ ROVINA
ZEMEPISNE SOUŘADNICE NA REFERENČNÍ PLOŠE
ZEMEPISNE SOUŘADNICE NA REFERENČNÍ KOULI
KARTOGRAFICKÉ SOUŘADNICE NA REFERENČNÍ KOULI
POLÁRNI SOUŘADNICE
PRAVOÚHLE SOUŘADNICE
4
Základní charakteristiky zobrazení
• Někdy nazýváno též Gauss-Krúgerovo.
• Konformní zobrazení referenčního elipsoidu přímo do roviny.
• Bez použití referenční koule. U, V, R tedy ve vzorcích nenajdeme.
• Matematicky definováno.
• Přibližná geometrická představa: postupné zobrazování plochy elipsoidu na „soustavu válců" v rovníkové poloze.
válec
5
Základní charakteristiky zobrazení
• Používá se pro řadu státních mapových děl včetně vojenských.
• Může být použito s různými elipsoidy - Besselův, Krasovského...
• Může být použito s různými šířkami pásů - 6° (1:25000 a menší měřítka), 3° (pro větší měřítka). Čím užší pás, tím menší zkreslení.
• Na českých vojenských Topografických mapách (systém S-1942) nahrazeno od roku 2006 zobrazením UTM (systém WGS 84).
• UTM je mírně pozměněná varianta Gaussova zobrazení.
Základní charakteristiky zobrazení
Pokrytí Země šestistupňovými pásy Gaussova zobrazení. Každý pás je vlastně samostatným zobrazením.
180' 156°W 132°W 108°W 84°W 66°W 48°W 30°W 12°W 6°E 243E 42'E 60°E 78°E 96°E 1143E 138DE 162° E 180' J M i I I I I I I I I I I I I H I I I M M I \    I I I I I I I I I I I I I I I I 1 I I I I 1 I I I I I I I I I I L
Základní charakteristi
Gaussovo
4 XA
UTM
84°30'
Každý pás má samostatnou soustavu rovinných souřadnic.
Osa x nahoru, osa y doprava. UTM používá osy N a E.
Počátek se posouvá o 500 km na západ. K souřadnici Y se přičte 500000 metrů.
Když je potřeba zobrazit jižní polokouli, tak UTM posouvá počátek i na jih - o 10000 km.
U Gaussova zobrazení se zobrazuje i 90° z.š., v UTM ne.
8
Základní charakteristiky zobrazení
Pásy jsou číslovány arabskými číslicemi:
• od Greenwichského poledníku směrem na východ (Gaussovo)
• od poledníku 180° opět východním směrem (UTM).
Čísla pásů se používají jako součást jedné ze souřadnic (souřadnice Y vS-1942)
•  V S-1942 na území ČR souřadnice Y začínají buďto cifrou 3 nebo 4 - číslo poledníkového pásu počítáno od Greenwich.
- Př. Y = -123 700 m (západně od osového poledníku) ve 4. pásu.
- Přičte se 500 000 => 376 300
- Přidá se číslo pásu => 4 376 300 m
9
Základní charakteristi
Jak dlouhý je 1°z.d. na rovníku?     111,... km Minimální a maximální hodnoty souřadnic v jednom pásu
<p	xv Gaussově zobr. [km]	A/vUTM [km]	yv Gaussově zobr. [km]	yv Gaussově zobr. vč. konst. 500 km [km]	EvUTM [km]	Ev UTM vč. konst. 500 km [km]
0° (rovník)	0	0	0 až + 334 (šířka pásu je asi 667 km)	166 až 834	0 až + 333,8	166,2 až 833,8
50° (cca poloha ČR)	5541	5538,8	0 až ±215	285 až 715	0 až ±214,8	285,2 až 714,2
90° (sev. pól)	10002	9998	0	500	0	500
• 6° pás = přibližně 667 km.
• Max. souřadnice x a y u Gaussova se liší od max. souřadnic N a E u UTM.
•  Válec zobrazení UTM je jakoby „zmenšený"
10
Základní charakteristiky zobrazení
500 0 50010001500
-500  0   500 10001500
10000 9500
Osový poledník (střední poledník pásu) a rovník se zobrazují jako navzájem kolmé přímky. Ostatní poledníky a rovnoběžky jsou křivky k nim symetrické. Jejich zakřivení lze spočítat - vzorce ve skriptech.
-500 0  500 10001500
-500 0 50010001500
11
Universal Transverse Mercator je mírně pozměněná varianta Gaussova zobrazení s upraveným zkreslením.
Dříve se používalo i s jinými elipsoidy, dnes se používá elipsoid WGS84.
Používá se pro území od 84° severní zeměpisné šířky po 80° jižní zeměpisné šířky.
Neplést s jednoduchým konformním válcovým zobrazením nazývaným Mercatorovo zobrazení!
Pro polární oblasti se používá zobrazení UPS (Universal Polar Stereographic).
Je to konformní azimutální zobrazení - viz stereografická projekce. UPS je ale modifikováno pro použití z elipsoidu, ne z koule.
stereografická projekce
ZOBRAZOVACÍ ROVNICE
15
Zobrazovací rovnic
• Zobrazovací rovnice jsou platné pro libovolný poledníkový pás s libovolnou šířkou a pro libovolný elipsoid.
• Osový poledník bude mít hodnotu Xo = 0°, obecná zeměpisná délka bude vztahována k tomuto osovému poledníku.
z elipsoidu do roviny: zem. šířka nahrazena izometrickou:
x = /(M) x = f(q,Á) Jaký je to typ zobrazení?
y = f(<p,X) y = f(q,Á)
zobrazovací rovnice pro konformní zobrazení pomocí izometrických souřadnic:
x + iy = f(q + iX)     x-iy = f(q-iX)
rovnice se rozvine v Taylorovu řadu a odvodí se obecné zobrazovací rovnice:
x = f(q)-f(q)j + ŕ (q)~r +
y = f'm-fm(q)Y + f Mtl-"-
o 120
Zobrazovací rovnic
• Jde o konformní zobrazení.
• Navíc stanovena podmínka, že osový poledník zůstane nezkreslený.
Pro bod ležící na osovém poledníku (A = 0°) platí:
x0 —
/(<?)
0
SP - $ p
sp - délka oblouku osového poledníku od rovníku k měřenému bodu (na souřadnici xo) ve zobrazovací rovině Sp - délka oblouku osového poledníku od rovníku k měřenému bodu (na souřadnici xo) na referenčním elipsoidu
z toho plyne: f(q) = S
Po dosazení do obecné rovnice:
17
Zobrazovací rovnic
Pomocí dalšího odvození (viz skripta) vzniknou základní tvary zobrazovacích rovnic Gaussovo zobrazení:
x = Sp + N co$(pún(p — + N smcpcos3 (p(p-t2 +9r/2 +4r/4)— + Nsm<pcos5<p\pl  58ř2 +14 + 270r/2 330r/2t2)	
y = N cos <pA + TV cos3 <p\l-t2 +rj2)— 6 + Ncos>(5   18ř2 +ř4 +14/;2   58/72ř2) X v ;120	
f]=ercos<p t = tg 9a
Zobrazovací rovnice UTI
Zobrazení se liší od původního Gaussova zobrazení použitím konstantního zkreslení m0 = 0,9996 (měřítkového faktoru, scale factor) To znamená zkreslení -40 cm/km.
Z tečného válce se stane sečný a vzniknou tak dva nezkreslené poledníky v každém pásu.
N = Mr
Ä2 ( \
Sp + Nel cos (p sin <p — + Nel sin <p cos3 (p\5 - ŕ + 9tj2 + 4tj4 )
^4
+
Nel sin <pcos5 ^(ól-58ř2 +ř4 + 270/72 -33O77V)
Á6
720
E = mr
7Ve/ cos    + 7Ve/ cos3 p(l - ŕ2 + tj2 )—
6
+ 7Ve/ cos5 ^(5 - 18ŕ2 + ŕ + 14t;2 -58t;V)
Ä5
120
Central meridian
/; = e coscp
Nei - příčný poloměr krivosti elipsoidu
80=S
Imaginary secant cylinder
INVERZNÍ FUNKCE K ZOBRAZOVACÍM ROVNICÍM
Inverzní funkce k zobrazovacím rovnicím
Pro výpočet zeměpisných souřadnic z rovinných
q> = q>f
Gaussovo zobrazení
2MfNf f
fiy f
y—-ř/(61 + 91^ +45ř; +107^ -162/^ -45tfá)
120MfNf
Ä
y
Nfcos<pf 6Nfcos<pf
(l-t2f+?]})+
<p = <pf
2m2MfNelf
■tf +
24m40MfN3elf
120Nf cos(pf tf(l + 3t2f +5rj2f - 9t2frj2f)+
(5 + 28/' + 24řf + 6rj2f + 8j]2t2f)
---tf (61 + 9lň + 45/1 +10777; - 162/^ -45ň?]2)
720m60MfN5elf /V f       f f        f f       f fJ
á =
m0Nelf coscpf   6m30N3elf coscpf E5
{l-t2+T]2f) +
l20m50N5df
(5+ 28/'+24^+6^+8^/')
zobrazení UTM
poloměry křivosti elipsoidu:
M N a =
Proč se v případě UTM píše Neif místo Nf?
21
4
MERIDIÁNOVÁ KONVERGENCE
Meridiánová konver
Důsledek sbíhavosti poledníků.
Hrana mapového listu kopíruje poledníky a rovnoběžky. Nesměřuje kolmo vzhůru (jako osa x), úhel se liší o meridiánovou konvergenci.
• Úhel mezi rovnoběžkou s osou x (N) a obrazem zeměpisného poledníku.
• Může být záporná (západní část pásu) i kladná (východní část pásu).
• Potřebujeme pro převod mezi směrníkem a zeměpisným azimutem.
x k
<?= a-y
Co je směrník a co azimut?
směrník o - úhel mezi (např.) kladným směrem osy x a určitým směrem, azimut a - úhel mezi severním směrem a určitým směrem
23
• Úhel mezi určeným základním směrem a určitým směrem.
• Většinou se počítá od kladného směru osy x.
• V souřadnicovém systému S-JTSK tedy bude jinak než v systému UTM.
• Navíc se rozlišuje směrník Qab a Oba. Liší se o 180°. V označení je první ten bod, u kterého se měří.
24
Meridiánová konver
vysoká přesnost:
ze zeměpisných souřadnic:
zjednodušený vzorec:
Obě zobrazení   / - sin<^ + sin<^cos2<^(l + 3772 + 2tj4)— + sin (pcos4 (p{2 -12)—       Y - sin#?/l
15
z rovinných souřadnic:
Gaussovo zobrazení
N, 1 3N
f
f
f
zobrazení        E t__&
UTM Nfmo f 3N3fm0
tÁ + ň -r/2f-2r/4)+—E'   5tf{l + 5ň + 3tt)
15Nfin0
r = -^tg(p
N
Maximum meridiánové konvergence na okrajích pásů v naší zeměpisné šířce: 2°18\
Pozor. Ve skriptech je na str. 129 na obr. 10-9 přehozeno dy a dx.
25
Meridiánová konverge
7*52 000m E 53 54 55
ZÁKONY ZKRESLENI
Zákony zkreslení
V Gaussově zobrazení stačí vypočítat pouze délkové zkreslení m. Plošné zkreslení bude jeho kvadrátem a úhlové zkreslení je zde nulové. Odvozeno z obecných výrazů.
p M
\d(Pj
+
\d(Pj
M
m,
4g \
ydÁj
+
V dÁ j
N cos <p
N cos <p
Výpočet ze zeměpisných souřadnic:
vysoká přesnost:
Gaussovo zobrazení
1 + cos2 <p(i + rf)— + cos4 <p(5 - 4t2)—
2- 2'^"
m
zjednodušený vzorec:
m = l + cos 0 — 2
zobrazení UTM
m = m,
l + cos2 (p{i + V2)— + cos4 ^(5 - ^f2)^
A4
í
m - m,
2\
-1 2 &
1 + cos (p —
J
28
Zákony zkreslení
Výpočet z rovinných pravoúhlých souřadnic:
• elipsoid se nahradí koulí r = 4mň
• uvažuje se jednoduché válcové konformní zobrazení v příčné pol (Mercatorovo)
zobrazení UTM
Zákony zkreslení
Průběh zkreslení: Gaussovo zobrazení
Délkové zkreslení Gaussova zobrazení
0   10   20   30   40   50   60   70   80 84 <P°
Na území ČR max. 0,58 m/km.
zobrazení UTM
Délkové zkreslení zobrazení UTM
0,9998 0,9996
0   10   20   30   40   50   60   70   80 84
Osový poledník zkreslený (-0,40 m/km), o to menší zkreslení na okrajích (0,20 m/km).
Zákony zkreslení
MEZI PÁSMOVÉ TRANSFORMACE
Mezi pásmové transfor
• V Gaussově zobrazení (i v jeho variantě UTM) má každý pás má vlastní souřadnicovou soustavu.
• V praxi se poměrně často řeší transformace souřadnic bodů ze souřadnicové soustavy jednoho pásu do souřadnicové soustavy druhého pásu.
• Při transformaci do souřadnicového systému jiného pásu je ale nutné uvážit rychlý nárůst délkového zkreslení, což v důsledku může ovlivnit i přesnost výpočtů v rovinných souřadnicích.
33
Mezi pásmové transfor
• Možnosti:
• různé varianty rovinné transformace - byly zpracovány i výpočetní tabulky
• k rovinným transformacím lze počítat i grafickou transformaci použitou na vojenských topografických mapách (v tzv. překrytovém pásmu) - do mapy lze zakreslit síť ze sousedního pásu
• v současné době je nejběžnější univerzální metoda transformace podle schématu (s využitím inverzních rovnic k zobrazovacím rovnicím):
34
Mezi pásmové transfor
Můžeme si nakreslit síť ze sousedního pásu.
Mezi pásmové transfor