Matematická kartografie 1. Pojem zkreslení 2. Délkové zkreslení 3. Úhlové zkreslení 4. Plošné zkreslení 5. Zákony zkreslení při použití polárních souřadnic 6. Vizualizace zkreslení 2 POJEM ZKRESLENÍ Pojem zkreslení Terminologický slovník zeměměřictví a katastru nemovitostí: Kartografické zkreslení: • odchylka úhlů, délek a ploch na mapě od skutečnosti na zemském povrchu, způsobená jejich zobrazením na referenční ploše 4 Pojem zkreslení • rovinný obraz referenční plochy je vždy zkreslen • obecně jsou deformovány jak vzájemné polohy bodů, tak tvary (křivosti) čar • zkreslení (distortion) roste se zvětšujícím se rozsahem zobrazovaného území, pokud je zobrazováno do roviny jako celek • některé charakteristiky zkreslení jsou společné pro celou skupinu zobrazení • při odvozování jednotlivých zobrazení se uvažují požadavky na průběh zkreslení rovinného obrazu • základní odvození vždy pro pólovou polohu z referenčního elipsoidu • případ při použití koule se odvodí následně • v případě jiné než pólové polohy se dosazují kartografické souřadnice 5 DÉLKOVÉ ZKRESLENÍ Délkové zkreslení • základní posuzované zkreslení - z něj se odvozují ostatní • délkové zkreslení souvisí s měřítkem zobrazeného území na mapě • Co je měřítko mapy? Poměr délky na mapě a ve skutečnosti. • je uváděno jako konstantní pro celou mapu • jedná se však pouze o hlavní měřítko, které je vztaženo k určité poloze nebo k určitým směrům Přesněji (Terminologický slovník): • poměr zmenšení nezkreslené délky v mapě k odpovídající délce ve skutečnosti; • označuje se výrazem 1 : M, kde M je měřítkové číslo. Délkové zkreslení Délkové zkreslení • skutečné měřítko v určitém místě závisí na délkovém zkreslení m • hodnota m se většinou blíží k 1 • m > 1 - zobrazení prodlužuje délky • m < 1 - zobrazení zkracuje délky „Ekvidistantní zobrazení nezkresluje délky." Souhlas? Každé zobrazení zkresluje aspoň nějaké délky. Délkové zkreslení je poměr nekonečně malé délky v obraze a originále. Proto se při odvození používá element mezi „diferenciálně blízkými body P a Q". 9 délkový element v zobrazovací rovině / délkový element na referenční ploše zeměpisný (geodetický) azimut elementu je A (na ploše) nebo A' (v rovině) p | NcoscpdA, sin( 90° - A) = cos(90°-A) = Md

N2 cos2 q> poledník: A = 0° nebo 180° 4Ě mp = M ds - Mdcp m2 = ml cos2 A + rovnoběžka: A = 90° nebo 270° 4g m.. = F N cos cp sin 2A + m:sin A dsr = N cos cpdA MNcoscj) 12 Délkové zkreslení je tedy závislé na poloze bodu ( cot gA +--+-- d(p d A d(p dA N n dxdx dydy F =-+ dcpdA dcpdA dx dy dx dy H = dep d A dA dep tgA'= H E—cos cot gA + F N známe A', známe A, vypočítáme úhlové zkreslení oo 19 Úhlové zkreslení Zkreslení azimutu je možné vypočítat i z extrémních hodnot délkového zkreslení. Konformní zobrazení - kružnice zůstane kružnicí. zkreslení směrníku: A// = /u—/u zkreslení azimutu: AA = A—A = AjU + Aa —Aa Úhlové zkreslení je tedy funkcí azimutu. 20 známe A', známe A, vypočítáme úhlové zkreslení oo Uhlové zkreslení na koul Tvar Gaussova symbolu H= dc dý čk dý dUdV dVdU Výpočet azimutu ve zobrazovací rovině: ô EcoUCQ^ArF 21 Extrémní úhlové zkreslení • v elipse zkreslení existují symetrické směry, ve kterých úhlové zkreslení dosahuje extrému • označují se symbolem s • jejich směrníky v ortogonální soustavě hlavních paprsků zkreslení budou |lls a |u's a jim odpovídající azimuty As a A'e velikost extrémního zkreslení azimutu -AA = A'e - As B 2 velikost extrémního zkreslení směrníku - sin AjUg = sin mb+ma mb +ma Extrémní úhlové zkreslení na kouli? Vzorec se nemění, mění se jen dosazená extrémní délková zkreslení. 22 4 PLOŠNÉ ZKRESLENÍ 23 základní vztah: dp - diferenciální (= nekonečně dP malá) plocha na referenční ploše mpi = dP - odpovídající diferenciální plocha v zobrazovací rovině vzorec plochy kosodélníku: dp = MNcoscpdcpdÁ dP = m^MNcos cpdcpdÁsm Ár r mpl =mpmr sin A/ 24 dp - 7ľds2 dP - 7onadsmhds mpl = mamb ZÁKONY ZKRESLENÍ PŘI POUŽITÍ POLÁRNÍCH SOUŘADNIC 26 Zákony zkreslení souřadnic Doposud vše na základě rovnic: rních x = f( xv —> cp -> p -> (p -> X —> s —> (p -> X -> x —» s —> cp -> X f {cp A) f {cp A) x = xv - p cos s y = p sin s Změní se Gaussovy symboly, jinak zůstanou vzorce zkreslení stejné. ( E = V v d(p í + J ds p sin s--cos s V d(p dp d(p J dx. + dep {dep J dp Kdcpj F = í ds psin s--cos£ H = f dx dp ~ďx j dxv dp dp 2 ds ds —- + — — + p-- dep dep dX dep dX dp ds sin s--h pcoss— dX dX dx,. J 'd p d s d p d s dep \dX dep dep dXy g = + P 27 Zákony zkreslení př souřadnic na kou Změní se Gaussovy symboly, jinak zůstanou vzorce zkreslení stejné. (Phr V A [ÔUJ r—dU cUfclJ \dU) ŕ \cU) í5 \ í\ í5 í5 F=\ psine^-cosř^ ôVjdU oilôV ŕ WW g4& \dV) do? J Sev 3 \ 3*;, Yôpds_ôpôs Xn^cV+^°^cV)cU\cVcU dUÔV 28 6 VIZUALIZACE ZKRESLENÍ 29 • charakter průběhu zkreslení je možné vizualizovat pomocí čar stejných hodnot zkreslení, tzv. ekvideformát • ekvideformáty mohou být konstruovány pro průběh všech druhů zkreslení • vzhledem ke skutečnosti, že plošné a úhlové zkreslení je možné vyjádřit i pomocí délkového zkreslení m, jsou nejčastěji zobrazovány ekvideformáty délkových zkreslení 30 Vizualizace zkreslení • Zkreslení se nejvíce mění v kolmém směru na směr ekvideformát. • U jednoduchých zobrazení jsou ekvideformáty totožné s obrazem rovnoběžek - zeměpisných nebo kartografických. • U nepravých a obecných zobrazení je tvar ekvideformát složitější. vyjádření zkreslení číslem - poměrovou formou poměrová forma délkového zkreslení: v = m -1 m poměrová forma plošného zkreslení: Při m = 1 by tedy bylo vm = 0. Zkreslení není. Při mp| = 1 není zkreslení. v = 0% 32 Vizualizace zkreslení elipsy zkreslení (Tissotovy indikatrix) - zobrazené v uzlových bodech zeměpisné sítě: Lze zjistit: • délkové zkreslení, • orientace hlavních paprsků zkreslení vůči obrazu poledníků a rovnoběžek, • plošné zkreslení. 33