Matematická kartografie 1. Základní vztahy a vzorce 2. Ekvidistantní zobrazení 3. Ekvivalentní zobrazení 4. Konformní zobrazení 5. Šikmá poloha kuželového zobrazení 2 1 základní vztahy a vzorce 3 Základní vztahy a vzorce řeší se v rovinných polárních souřadnicích pas po zobrazení do roviny ještě transformace na pravoúhlé souřadnice x a y je to jednoduché zobrazení, stále platí, že poledníky a rovnoběžky jsou vzájemně kolmé Základní poledník Vo se stanoví v ose zobrazeného území: • ztotožňuje se s osou x • x směřuje nahoru a y doprava Základní rovnoběžka Uo přibližně prochází středem zobrazovaného území. v A X ///,' líí^ladní poledník Vo 4 Základní vztahy a vzorce jednoduché zobrazení ekvideformáty tvoří soustředné kružnice se středem v počátku polárního systému V je možné nalézt vždy jednu ekvideformátu s minimální hodnotou zkreslení obrazem pólu může být bod nebo část kružnice kuželová zobrazení mohou být řešena s jednou nebo dvěma nezkreslenými rovnoběžkami zobrazení jsou matematicky definovaná, přesto je možné si je geometricky představit jako tečný, resp. sečný kužel v 4 X /// mu //////ni iUyii%|adní poledník Vo 5 Základní vztahy a vzorce p = f (u) e = f (V) Dá se psát jako: p = p0+f(U-U0) Po =x PQ poloměr základní rovnoběžky xv vzdálenost počátku souřadnic polárních (vrcholu V) a počátku souřadnic pravoúhlých (bod 0) 6 Základní vztahy a vzorce Přírůstek úhlové vzdálenosti musí být konstantní s přírůstkem zem. délky: s = nV Konstanta n: - rozsah od 0 do 1 - pro n = 1 přechází v azimutální zobrazení V případě rovníkové nebo šikmé polohy se použijí kartografické souřadnice: p = f {š) £ = f (D) 7 Základní vztahy a vzorce Počátek polární souřadnicové soustavy je v bodě V (vrchol kužele). x = xv - pcoss y - púns x směřuje nahoru a y doprava! Potřebujeme znát xv. Základní vztahy a vzorce délkový element v zobrazovací rovině / délkový element na referenční ploše element poledníku v rovině / element poledníku na kouli U roste a p klesá - proto mínus. RcosUdV ds — ndV element rovnoběžky v rovině / element rovnoběžky na kouli n = ds ~ďv np RcosU U+dU ekvidistantní zobrazení 10 Ekvidistantní zobrazení Ekvidistantní může být pouze v polednících. Vzdálenosti obrazů rovnoběžek se nemění. podmínka: m =1 1. zobrazovací rovnice: 2. zobrazovací rovnice: -^■ = 1 \dp = -R\dU p = p0-R(U-U0) RdU J J s = nV Po mr = m j = np RcosU . Aa> np-RcosU sin-=- 2 np + RcosU potřebujeme n,p0,R,U0 u=o° 11 Ekvidistantní zobrazení s jednou nezkreslenou rovnoběžkou Podmínka: • na základní rovnoběžce U0 bude délkové zkreslení minimální • zároveň tato rovnoběžka bude délkově nezkreslena • Ptolemaiovo zobrazení - nejjednodušší ze všech kuželových zobrazení. potřebujeme n,p0,R,U0 d í m ) dmr KRcosU0 = 0 dU ' dU np0 RcosU, = 1 koule: n = únU0S2Ul (sin U1 — sin u0)-\----L n 30 ■v m 9* Ekvivalentní zobrazení s nezkreslenými rovnoběžkám Albersovo ekvivalentní kuželové zobrazení • na obrázku pro Us=60° a Uj=38° • mimo tuto oblast již zkreslení hodně narůstá Albersovo ekvivalentní kuželové zobrazení délková zkreslení 1,1 1,05 m 1 0,95 0,9 ■mp ■mr 30 35 40 45 50 55 60 65 70 U 31 Ekvivalentní zobrazení s nezkreslenými rovnoběžkám Nezkreslené rovnoběžky U1 = 20° a U2 = 40°. Interval rovnoběžek se zmenšuje směrem od základní rovnoběžky. 32 konformní zobrazeni 33 Konformní zobraze • Vzdálenosti obrazů rovnoběžek se zvětšují směrem od osové rovnoběžky. podmínky: F = 0 u jednoduchých zobrazení vždy splněno -dp np pcdp uc dU mp -m RdU RcosU 1. zobrazovací rovnice: tg ^ + 45° v J f tg U — + 45° v2 J P = Poe n(Qo-Q) Po = -n P j cosU 2. zobrazovací rovnice: s = nV při použití izometrické šířky a přirozeného logaritmu rovnice zkreslení: np m = RcosU mpl =m Aco = 0 potřebujeme n,p0,R,U0 34 Konformní zobrazení s jed nezkreslenou rovnoběžkoi • Zobrazení s jednou nezkreslenou základní rovnoběžkou. • Ta se však zpravidla dodatečně zkresluje. • Někdy se nazývá Lambert Conformal Conic (Single Parallel). p0=m07?cotgf/0 mo = délkové zkreslení základní rovnoběžky. Vždy menší než 1. • Tím vzniká zobrazení se dvěma nezkreslenými rovnoběžkami Ui a U2. Znáte nějaký příklad takového zobrazení? • Uvedený typ zobrazení je použit i při zobrazení Základních map České republiky (Křovákovo zobrazení). • Ale v šikmé poloze. 35 Konformní zobrazení s jed nezkreslenou rovnoběžkoi Výpočet Ui a U2: RcosUí RcosU^ = 1 = 1 Dosadí se obecná zobrazovací rovnice pro konformní zobrazení... P = Po tg ^ + 45° V J (u \ — + 45° tg a zjistí se Ui a U2. Výpočet n: n = sin U VýP0^ n jako u ekvidistantního kuželového 0 zobrazení s jednou nezkreslenou rovnoběžkou 36 Konformní zobrazení se dvěi nezkreslenými rovnoběžkám Podmínka: • dvě předem dané nezkreslené rovnoběžky U1 a U2 Lambertovo konformní kuželové zobrazení - Lambert Conformal Conic (LCC) konstanta n - z nezkreslených rovnoběžek: m — r. npl RcosUi = 1 m,, - np: RcosUr = 1 A = P 2 = RcosUl n RcosU2 n Po cosUl cos £7, tg ÍU } U_J f tg ^- + 45° 2 J Po í tg U, 2 ^ + 45° J ^ + 45° tg 2 J tg ^ + 45° v 2 J tg 2 + 45° J pl cost/j p2 cost/. n = In cos ť/i — In cos U2 lntg(^+45°) - lntg(^ + 45°) In cos Ul -lncos£/2 n = Q2-Q1 37 Konformní zobrazení se dvěma nezkreslenými rovnoběžkami konstanta po - ze zobrazovací rovnice Po RcosU1 n í tg + 45c v (U A tg ^ + 45° \2 RcosU, n tg ^ + 45° v J (U \ ^ + 45° l 2 tg nebo taky Po = _ RcosU^ {Qi_Qo) _ RcosU^ {Q2_Qo) n n e - přirozený logaritmus Základní rovnoběžka Uo se většinou volí uprostřed mezi nezkreslenými Ui a U2. 38 Konformní zobrazeni se nezkreslenými rovnoběžkám Lambertovo konformní kuželové zobrazení Letecké navigační mapy ICAO a NATO. V rámci směrnice INSPIRE využíváno pro publikaci dat -souřadnicový referenční systém (ETRS89-LCC). Lambertovo konformní kuželové zobrazení délkové zkreslení m 1,08 1,06 1,04 1,02 1 0,98 0,96 0,94 m 30 35 40 45 50 55 60 65 70 U U! =40°aU2=60° 39 Konformní zobrazení se dvěrr nezkreslenými rovnoběžkami Nezkreslené rovnoběžky U1 = 20° a U2 = 40°. Interval rovnoběžek se zvětšuje směrem od základní rovnoběžky. 40 šikmá poloha kuželového zobrazení 41 Šikmá poloha kuželové Území s protáhlým tvarem, ale ne ve směru rovnoběžky. Použijí se kartografické souřadnice. Ze zeměpisných souřadnic se vypočtou kartografické souřadnice. Kartografické souřadnice se přepočítají do roviny. p = f {š) £ = f (D) Viz později - Křovákovo zobrazení. 42 Porovnání zobraze Albers Ekvidistantní kuželové LCC (ekvivalentní) Lambert Conformal Conic