320
Uber die magnetischen Momente der Atomkerne.
Von E. Fermi in Rom.
(Eingegangen am 18. Dezember 1929.)
Die magnetischen Momentc der Natrium- und C~isium-Kcrnewerden aus den Hyper~
feinstrukturea dieser Elemente abgeleitet. w1. Einlcitung. w2. Problemstellung
und Ergebnisse. w3. Diskussion der Ergebnisse. w Ableitung der Formeln filr
die s-Terme. w5. Ableitung der Formeln fiir die p-Terme.
1. Die Hyperfeinstrukturen der Atomspektren rtihren bekanntlich in
den meisten FMlen yon der Kopplung(des Eigenmoments des Kernes mit
dem totalen Impulsmoment der Elektronen her. Durch einen u
der beobaehteten Hyperfeinstrukturen mit einer theoretlschen Berechnung
dieser Kopplung kann man also den Wert des magnetischen Moments des
Kernes ableiten. Fiir die meisten Atome bietet iedoch eine solche theoretische
Berechnung wegen der Anwesenheit yon vlelen Valenzelektronen
grol]e Schwierigkeiten. u einfachcr ist der Fall der Alkaliatome.
Die Hyper[einstruktnren der Alkalien wurden bisher fiir Cs und Na
untersueht. Jackson* hat die Hypeffelnstrukturen f[ir drei Dublette
der Hauptserie des Cs mit dem Ergebnis beobaehtet, dal] alle Linien aus
zwei Komponenten mit einem Abstand yon ungef~hr 0,3 Wellenzahlen
bestehen. It. Schiiler** hat die Hyperfeinstrukturen der D-Iqatrlumllnien
untersueht; seln Ergebnis ist, dab diese Linlen Dublette mit elnem Komponentenabstand
yon etwa 0,02/~, d.h. ungefihr 0,06 Wellenzahlen, sind.
Aus der Tatsaehe, dal] z. B. alle Linien der ttauptserie des Cs ungef~ihr
denselben Komponentenabstand aufweisen, dfirtte man annehmen, wie aueh
Jackson es rut, dab der grJ~]te Teil der Au~spaltung yon einer Hyperieinstruktur
des @rundterms 6 ~$112des Cs herr~ihrt. Die kleineren beobachteten
Untersehiede in den Aufspaltungen der versch~edenen Linien rUhren
dagegen wahrscheinlich yon unaufgeljsten Strukturen der p-Terme her.
Sei k (in Einheiten h/2~ gemessen) das meehanisehe Moment des
Kerns. Naeh den gewJhnliehen Regeln fiir die Kopplung der Quantenvektoren
hat man dann zu erwarten,-dal] der Grtmdterm der Alkalien
(mit tota[em elektronischen Impulsmoment ~) sich in zwei Terme mit
totalem Moment (Kernmoment + Elektronenmoment)
i nnd f~k 1
* D. A. Juckson, Proc. Roy. S0c. 1~1, 432, 1928.
** It. Schiller, l~aturw. 16, 512, 1928.
E. Fermi, Uber die magnetischen ~[omente der Atomkerne. 32l
aufspaltet. Dies ist in Einklang mit der beobachteten Dubletthyperfeinstruktur,
wenn man annimmt, dal] eine eventuelle kompliziertere Struktur
der 2-Terme nicht aufgeliist werden kann. Aus der einfachen Angabe
der GrSl]e der Hyperfeinstrukturaufspaltung sehelnt es nicht m(iglieh,
oder jedenfalls sehr gewagt, etwa auI den Wert yon k sehliefen zu wollen.
Einfaeher und sicherer fiir die Bestimmung yon k ist wahrseheinlich die
Beobaehtung des Intensitatsverhaltnisses der beiden Hypeffeinst~ukturkomponenten.
Nach den gewiihnlichen Intensit~tsregeln, welche sich auch
fiir den Fall der Hypeffeinstrukturen ohne Miihe quantenmechanisch
bestiitigen lassen, finder man namlich fiir die beiden Komponenten alas
Intensitatsverh~ltnis
2fx+l k-+-I
2 f~ + 1 -- k ' (1)
also dasVerh~ltnis 3, 2, '~ 3-~,. ., 1 fiir k ~ 1~, 1, oc. Jackson
gibt keine Angaben fiber das Intensitatsverh~ltnis der Cs-Feinstrukturen.
Sc]aiiler schatzt das IntensitatsverhMtnis flit den Fall des Natriums auf
2 bis 2,5. Ffir Na kann man also k ~ 1 als wahrscheinlichstes Kernmoment
annehmen; es ist jedoch wohl miiglich, daft das Moment etwa
1 oder s ist.
2. Unser Problem besteht ietzt in tier Berechnung der Feinstrukturen,
welehe man ftir ein Alkaliatom theoretiseh zu erwarten hat; aus einem
Vergleich mit den experimentell gehndenen Aufspaltungen werden wir
nachher Schliisse auf den Wert des magnetischen Kernmomentes ziehen
kiinnen. In einer ktirzlich erschienenen Arbeit hat Hargreaves* die
Hypcrfeinstrukturtheorie fiir Atome mit einem Elektron ausgcfiihrt. Er
1
nimmt ein Kernmoment k ~--- ~ an und wendet die Pauli-Darwinsche
Theorie des Elektrons an. In der Theorie yon Hargreaves wird die
magnetische Wechselwlrkungsenergie der magnetischen Eigenmomente des
Kerns und des Elektrons vernaehlassigt. Die yon dieser Wechselwirkung
herriihrenden Glieder sind aber, wle man leicht nachrechnet, yon derselben
GrS~enordnnng der Weehselwirkung zwischen Kernspin und Bahnimpuls
nnd miissen deshalb mitgerechnet werden.
Ftir die s-Terme habe ich die Diracsehe Theorie des Elektrons benutzt,
well die Paulische Theorie in diesem Falle zu keinem verniinftigen
Ergebnis fiihrt. Da tier Fall der s-Terme der wichtigste ist, well der
grii~te Tell der Aufspaltung, wie oben bemerkt, aus der Aufspaltung dieser
Terme herriihrt, habe ich fiir die s-Terme die Formeln fiir einen beliebigen
Wert des mechanischen Kernmomentes k aufgestellt. Fiir die ~o-Terme
* J. Hargreaves, Proc. Roy. Soc. 124, 568, 1929.
322 E. Fermi,
habe ieh die einfachere Paullsehe Theorie mit k ~ -~angewendet, indem
aber aueh die magnefisehe Wechselwirkung yon Kern- und Elektronspin
mit beriicksiehtigt wurde.
Fiir die p-Terme ist eine numerische Bereehnung der Elektroneneigenfunktion
nieht notwendig, weil die in den Formeln vorkommenden
Konstanten aus den bekannten Aufspaltungen der p-Terme durch die
Wirkung des elektronisehen Eigenmoments mif genfigender Annaherung
abgelei~et werden k~nnen. Dies Verfahren ist Iiir die s-Terme selbstverstandlich
unmSglich, und man ist in diesem Falle auf eine numerlsehe
Auswertung der Eigenfunktion angewiesen. Diese Auswertung babe ich
fiir die Grundterme des Na und des Cs mib Hilfe der statistisehen Betrachtung
der Elektronen im Atom* gemacht; eine grSflere Genaulgkeit
wfirde man vielleicht mit der Hartreeschen** Methode des ,self consistent
field" erhalten. Da aber die Rechnungen mit dieser Methode etwas umstandlicher
sind, babe ich mieh mit der Annaherung der statistisehen
Methode begniigt.
Am Ende dieser Arbeit werde ich die Beweise ffir die erhaltenen
Formeln kurz angeben. Ich mSchte hier die Resultate darstellen und die
Folgerungen diskutieren, welche sieh aus ihnen ableiten lassen.
Die Wirkung des Eigenmoments des Kernes auf die s-Terme besteht
in einer Au[spaltung in zwei Terme mit dem Energieuntersehied (vgl. w4)
8~ 2k-~l
d (s) ~ 3 k ~o ~'~ (o). (2)
Bier ist #o das Bohrsehe Magneton, # das magnetisehe Moment des
Kerns, ~ (0) der Wert der normierten Eigenfunktion des Elektrons am
0rte des Kerns.
Ffir die p-Terme habe ich die Reehnungen nut fiir den Fall k -- 1
ausgefiihrh In diesem Falle spaltet sieh ieder p-Term in zwei Terme.
Die Aufspaltung ist fiir die 2Pl/~-Terme (vgl. w5)
32
z/(~P~/~) ---- -~- ~o r-~, (3)
wo
den Mittelwert yon 1/r3 darstellt.
(4)
* Vgl. z.B. den Artikel desYerfassers in: Falkenhagen, Quantentheorie und
Chemie, Leipzi~ 1928.
** D. R. Hartree, Proe. 0arab. Phil. See. 24, 89, 1928.
~lber die magnetischen ~omente tier Atomkerne. 323
Die Aufspaltung der 2P812-Terme ist
64
A (~i%~) _-- ~ ~ ~o 7 (5)
Zur Auswertung der Aufspaltung (2) der s-Terme ist es notwendig,
wie oben bemerkt, die Eigenhmktion des Elektrons numerisch Zu berechnen.
Das babe ich fiir die Grundterme 6 S des Cs und 3 S des Na ausgefiihr~.
Es ergab sich
fiir Cs ~b~(0) = 2,7.102~,
ftir Na ~p2(0) = 2,45.10 ~.
Aus (2) erhalten wir ietzt, indem wir fiir das Bohrsche Magneton
seinen Wert einsetzen und die Aufspaltungen in Wellenzahlen ausdriicken:
fiir Cs A(6S) = 146 9 2k~-l-I
~0 k
1/ftir Na A(3S) = 13,4/~ 2k~- (6)
~o k
Zur Berechnung der Aufspaltungen (3) und (5) der p-Terme ist die
Kenntnis der Eigenfunktionen, wie bereits gesagt, nicht notwendig. Man
tinder namlich (vgl. w5), dab mit gentigender Annaherung
1 /~
-- . ~, (7)
ra 3 Z ~o
wo ~ den Energieunterschied zwischen den beiden Termen ~2112and 2Pal2
darstellt.
Setzen wit diesen Ausdruek in (3) und (5) ein, so finden wit die
folgenden ttyperfeinstrukturaufspaltungen fiir den ~P~/2-Term
32 _~ ~, (s)
J (22112) = "9 Z tto
ftlr den 2_P32-Term
~(~%~) __ 64 ~ ~. (9)
45 Z ~o
Der erste p-Term des Cs, 6t ), hat elne elektronische Aufspaltung
= 554 Wellenzahlen; aus (8) und (9) bekommen wir also, da Z ~-- 55,
z/(6~P~12) = 36--~ und A(6~P3/~) = 14 ~,
~o /~o
alles in Wellenzahlen ausgedriiekt. Die aus (6) in der Annahme k -- 1
ftir den Grundterm des Cs folgende Aufspaltung is~ 584~/#o. Diese
Aufspaltung ist also mehr als zehnmal gr(il]er als die Aufspaltungen der
p-Terme. Hierdurch wird das experimentelle Ergebnis gereehtfertigt,
dab man immer Dublette beobachtet, weil die viel kleineren, yon den
s herriihrenden Strukturen nicht aufgeliist werden kSnnen.
324 E. Fer~,
Aus den bekannten ttyperieinstrukturaufspaltungen (0,3 tiir Cs und
0,06 fiir Na) kann man mit Hil~e yon (6) das VerhMtnis 9o/9 des Bohrsehen
Magnetons zum magnetisehen ~[oment des Kernes berechnen, wenn
man den Wert yon k kennt. Die unter der Annahme yon verschiedenen
Werten yon k fiir dlesVerhMtnis sich ergebendenWerte sind in der folgenden
Tabelle zusammengestellt.
k = 112 1 3/2
Cs ......... 1950 1460 1300 980
Na ......... 890 670 600 450
Wie oben bemerkt, kann derWert yon k aus dem Intensiti~tsverha]tnis
der beiden Hyperfeinstrukturkomponenten gewonnen werden; der wahrscheinlichste
Wert fiir l~atrium ist k ~ 1. Wir sehen also als wahrscheinliehsten
Wert des magnetischen Moments des ~atriumkerns ~o/670 an.
Die in den s der Tabelle mSgliehen Fehler riihren teilweise
yon der Unsieherheit der kufspal~ungsmessungen, teilweise yon der statistischen
Auswertung der Eigenfunktionen her. Diese letztere Fehlerquelle
kiinnte einen Fehler yon 20 bis 30 % verursaehen. Die Genauigkeit
der Messungen ist wahrseheinlieh viel grii~er.
3. Es hat ein gewisses Interesse, diese Ergebnisse mit den Hypothesen
zu vergleichen, welche man fiber den Magnetismus der Kerne machen kaun.
In Analogie zum Verhalten des Elektrons kSnnte man annehmen, wie es
1 rut, dal] das magnetisehe Momentz.B. Jackson fiir den Fall k ~--~
eines Kernes dutch
Zeh
~ 2k4~mc
gegeben wird, wo m die Masse des Kernes dars~ellt. Das Verhaltnis des
Bohrschen Magnetons zum magnetischen Moment des Kernes wfirde dann
1840 2M -- 920
i
Zk Zk
9 t Mseln, wo M das Atomgewieht darstellt. Fiir den Fall des Cs IS ~- ~--- 2,41.
Es wfirde sich also ~o __ 2220 ergeben. Durch Vergleieh mit den Er-
k
gebnissen der vorigen Tabelle wiirde man Mr k einen Wert in der NiChe
yon 2 erhalten. Die Hypothese scheint aber tfir den Fall des Natriums
M
unhaltbar. Fiir dies Element ist namlich -- ~ 2,09; man wtirde also
Z
0ber die magnetischen MomenCeder Atomkerne. 325
/,o --_:- 1920
bekommen. Durch Vergleieh mit der Tabelle wfirde sich ffir k
t~ k
ein Wer~ yon 3 bis 4 ergeben. Ein so hoher Wert yon k seheint jedoch
nach den S ch fil er schen Angaben fiber das Intensltatsverhaltnis der Hyperfeinstrukturkomponenten
ausgeschlossen.
4. In diesem letzten Teile tier Arbeit wollen wir die Beweise tfir die
bisher benutzten Formeln (2), (3), (5) und (7) kurz angeben.
Zuerst wollen wir die Theorie der Aufspaltung der s-Terme entwlckeln.
Ffir diesen Zweck sehreiben wit die Diracsche relativistische Hamiltonfuaktion
in die Form
W = eV-- ca X (p --eU)-- (fl + l)mc ~, (10)
wo 1o den Impuls des Elektrons (also den Operator h/2~i grad) bedeute~;
fl und ~ sind bzw. ein q-Ska]ar und ein q-Vektor, welche als Operatoren
dureh die Matrizen
1 0 0 0
0 1 0 0;
0-1
0 0-
0 0 0-~
0 0 i
0-i 0 ~;
i 0 0
0
0
~X ~
~Z Z
0 0
0 0
0 l
1 0
!o0
0
-1
0 1
1 0
0 0
0 0
(11)
1 0
0-1
0 0
0 0
dargestellt werden. Das elektrisehe Potential V hangt fiir den Fall eines
Alkaliatoms nur vom Radiusvektor r ab. Um die Theorie vollst~ndig
konsequent durchzu~iihren, sollte man den Kern naeh einer der Diracschen
Theorie des Elektrons ahnlichen Methode behandeln; dies scheint aber
sehr schwierig zu seln. Wir k~nnen indessen eine gemisehte Methode
anwenden, und zwar das Elektron mlt der Diraeschen Theorie, den Kern
mit einer der Paullschen Theorie des Elektrons ahnliehen Methode behandeln.
Zur Reeht[ertigung dieses Verfahrens sei bemerkt, daft die
Unterschiede zwischen der Diraesehen und tier Paulischen Behandlungsweise
fiir den Fall des Kernes wegen seiner grol]en Masse und kleiner
Geschwindigkeit praktisch verschwinden dfirften.
Wir nehmen also an, dal] t~,/ty, tL~die Komponenten des magnetischen
Moments des Kernes darstellen, tt~,/tv, tG sind q-Zahlen mit den Eigenwerten
-~ ~ (k-2), ~ (7~-2),-~(k-1),-~. (12)
326 E. Fermi,
F~, g~t, Fz geniigen den Vertauschungsrelationen
(13)
und sind mit x, y, z, ~o~,~ov,/%, u~, ~v, a~, ~ vertauschbar.
Das vom magnetischen Moment des Kernes" herrtihrende Feld kann
vom Vektorpotential U- [F, r] abgeleltet werden; wir haben also
r 3
1 1 (xFz-- z ~);
(14)
1
Gehen wit mit diesem Ausdruck fiir U in (10) ein, so linden wir
W: eV--ca X p--(fl ~- 1)me ~
e
-~-~[o:x(zFy--yF~)+ay(xFz--zFx)-~-az(y~--xFy)]. (15)
Das letzte Glied stellt die yon der Wirkung des Kernmagnetismus
herriihrende Stlirung dar. Die Stiirungsenergie ist also
e
w = ~ [~(zFy -- yt~) + ~y(x~ -- z~x) + a~(yt~ -- xt~)]. (16)
Wenn wir yon der Wirktmg des Eigenmoments des Kerns absehent
besteht ~ede Eigenfunktlon aus vier Funktionen
~r ___~(~Pl, ~/~, Vs, V~)
der Ortkoordinaten x, y, z allein. Die beiden ersten dieser Funktionen,
~Pl und Ss, sind sehr klein in bezug auI ~P8 und ~P4; in erster Naherung
hat man namlieh*
ih 0
(17)
Vs -- § V3--~-V, 9
~a und ~a geniigen in erster Niiherung der gewiihnliehen nich~relafivistischen
SchrSdingergleichung. Sieht man yon der Wirkung des
Kernmoments ab, so sind die s-Terme zwelfach entartet. Die belden
* Vgl. z. B. C. G. Darwiv. Proc. Roy. Soe. 118, 654, 1928.
Uber die magnetischen ~fomente der Atomkerne. 327
Eigenfunktionen eines S-Terms sind bekanntlich in erster Niherung die
folgenden (vier Funktionen fi~r jede Eigenfunkfion)
(18)
ih[~h 'r ]~s = ~ncSinOe-i~ ( )' ~eosOr 0, ~p(r) ,
r, O und cp sind Polarkoordinaten; ~ ist eine Funktion yon r allein,
welehe in erster N.iherung mit der gewShnliehen SchrSdingerfunktion
des be~reffenden s-Terms iibereinstimmt.
Wenn man die yon den 2 k + 1- OrientierungsmSgliehkeiten des
Kerns herriihrende Entartung mit beriicksichtigt, wird der s-Term
2 (2 k + l)-faeh entarte~. Die Eigenfunktion wird ietzt auch yon elner
anderen, den Kernspin beschreibenden Koordinate (z. B. gtz) abhingen.
Da diese 2 k + 1 Eigenwerte hat, linden wir ]etzt fiir iede Eigenfunktion
4 (2 k + 1) Funktionen yon x, y, z allein. Diese kSnnen zweclonil~ig in
der Form
~21,k--1 ~2, k-- 1 ~3, k--1 V4, k--1
.................. (i9)
~l, -~+ i ~, -k+ x~Ps,-k+ i ~4, --k+ i
~,-k V~,-k #Ja,-k V4,-k
gesehrieben werden. ~, toy,tzz, ~ operieren dann auf die vier Spalten
dieses Schemas; /t~, gy, p~ operieren auf die 2 k + 1-Reihen.
Als Beispiel wollen wir den Fall k = 1 niher untersuchen. In
diesem Falle sind nach (12) die Eigenwerte yon g~, ~ty.,~tzdie tolgenden:
~t, 0, ~/x. Aus den Vertausehungsrelationen (13) finder man also, daft
man fiir ~t~, ~tu, /~z dis von den [olgenden Matrizen dargestellten Operatoren
nehmen kann:
1
o~o
V2 ~
1
; try = tt
o 1/~ o
V'~ o- ;~=~
i
o ~/~
1 0 0
o o o. (20)
00--1
328 E. Fermi,
/ix, ~tv, fez operieren, wie oben bemerkt, auf die Reihen des Ausdrucks (19),
so dal] z. B.
rex •1,1 'P2,1 ~V3,1 ~V~,l
~Pl,-1 *P2,-1 'Pa, -1 ~P4,-1
9 V~, o ~, o *Ps, o ~P~,o
-- ~ "~1,1 -]- "/~J1,--1 "/~, 1 "Jr-'~, --1 "~.53,1 + "/~fS,--1 '4,1 7!- 1]~4,--'1
Fiir ]eden s-Term linden wir 2.3 = 6 unabhangige , ungestiirte
Eigenfunktionen; der s-Term ist ngmtieh seehs[aeh entartet. Als ungest~irte
Eigenfunktionen kSnnen wir z. B. die folgenden nehmen
~/r1 0 , , ~r.r 0
0 ~g1 0 ~
wo der Kiirze limber die vier Funktionen einer Reihe mit einem einzigen
Symbol ~lr, ~tr oder 0 dargestellt wurden. Die Bedeutung yon
~F1 und ~/r ist yon (18) angegeben; 0 steht fiir die Reihe 0, 0, 0, 0.
Zur Bereehnung der Termaufspaltung miissen wir ietzt, naeh dem
gew(ihnlichen Verfahren der Stiirungstheorie entarteter Systeme, die die
Stiirungdunktion (16) darstellende sechsreihige Matrix bilden. Dies
bietet ietzg keine Sehwierigkeit mehr, da die Bedeutuag aller in (16)
vor]~ommenden Operatoren as, avi uz, /~, tt~, /zv, fez bereits angegeben
worden ist.
Mit Beaehtung yon (18) and yon den Formeln
I1 2~
-- ~sln ~O~o'dv = ~-~,~(0),
-- (1 + cos ~ O) ~O~p' d v --~ -~- ~/,~(0)
finder man durch eine etwas lange, aber einfache Rechnung die folgende
Stiirungsmatrlx:
1 0 0 0 0 0
0 0 0 - V2 o o
S~ 0 0 - 1 0 ~/2 0
-~- tt ~'o*-"(0) 0 - ~/2 0 - I 0 0 (21)
0 0 ~/~ 0 0 0
0 0 0 0 0 1
Uber die magnetischen Momente der Atomkerne. 329
Die Eigenwerte dieser Matrix geben die yon dem Kernmagnetlsmus
herriihrenden Termversehlebungen an. (21) hat die folgenden Eigenwerte
8~
wI ~ y/~ uo~p~(0) (vierfach)
und 16 zc
w~ -- 3 ~ ~o$~(0) (zweifach).
Der s-Term spaltet sich also in einen oberen, vierfach entarteten
und in einen unteren, zweifach entarteten Term. Die Aufspaltung ist
w1-- w2 ~ 8 ~/~/4 ~P~(0). (22)
Fiir einen beliebigen Wert yon k finder man in ahnlicher Weise
eine Aufspaltung des s-Terms in einen oberen, 2 k -[-2-fach entarteten und
in einen unteren, 2 k-fach entarteten Term. Die Aufspaltung ist durch
Formel (2) gegeben.
5. Es bleib~ nur noch die Theorie der Aufspaltungen der s
[Formeln (3) und (5)] anzudeuten. Wie gesag~, habe ich ftir die/o-Terme
die Paulische Theorie an Stelle der Diracschen benutzt*. Ieh habe die
1 durchgefiihrt. Als ttamilton-Rechnungen eingehend ftir den Fall k ~
[unktlon erster Naherung nehmen wlr die folgende:
Po 1 dV
W~ ~ 2ml pg.+eV__2mc------il (Wo_eV)2+2mc -r dr (a' y/)" (23)
Die beiden ersten Glieder sind die gewShnliche niehtrelativistische
Hamiltonfunk~ion ohne Berticksichtigung des elektronischen Eigenmoments.
Das drltte Glied stell~ die StSrung durch die Relatlvitat dar; das vierte
G]ied gibt die Wirkung der Kopplung zwlschen BahnlmpulsmomentM und
Elektronspin 6 an. Da 6 bekanntlich durch die zweireihigen Ma~rizen
IO 1 / I~--1] I1 ~t
6~ -~- 1 0 ' av ~ 0 ' 6~ ~ 0
dargestellt werden kann, spal~et sich iede Eigenfunktionj wenn man die
Wirkung des Kernspins vernachliissigt, ~n zwei Funktionen yon x, y, z
allein. Als ungestSrte Eigenfunktionen linden wit, wle in der gew~hnlichen
Paulischen Theorie, fiir den zweifach entarteten :2~h-Term
1 1
f r Po] (24)
wo
V V5s176~ ~sinOei% Po ~ cosO, P-1 ---- sinOe--iq~
* Fiir die ~Pz/ -Terme habe ich die Rechnungen auch naeh der Diracschen
~fethode ausgefiihrt. Das Ergebnis ist mit dem der Paulischen ~[ethode identiseh.
330 E. Fermi,
die drei Kugelfunktlonen erster Ordnung darstellen. Ftir den vierfach
entarteten sP3/2-Term finden wir die vier Eigentunktionen
[f(r)P1, 0]; [--~f(r)P o, ~f(r)~l];
[~f(r)P_l, VTf(r)Po]; [O,f(r) P_l]. (25)
Die durch die Wirkung des magnetischen Moments des Kernes hinzukommende
StSrung besteht in der Wechselwirkung des Kernmoments mit
dem Bahnimpuls M und mit dem Elektronspin. Die erste Wechselwirkungsenergie
ist:
e
m crSl~ "M
lind die zweite, welche in der Arbeit yon Hargreaves vernachlRssigt
wurde,
~ 3#0
--r ~ "9-[-7(r'6)(r'~)"
Als gesamte Stiirung linden wir also
e ~o 3~o
w = m c r3~" M-- ~ 6. ~ -~ 7 (r. 6) (r. ~). (26)
Wie im vorigen Falle, ist ~ ein q-Vektor, dessen Komponenten den
Bedingungen (12) and (13) gentigen miissen. In dem yon uns betrach-
1 spaltet sich iede Eigen[unktion in vier Funktionenteten Falle k ~yon
x, y, z allein. Diese vier Funktionen schreiben wir in tolgender
Anordnung :
V~,~V~,~ .
~1,~ ~2,2
Die den Elektronspin dars~ellenden Operatoren operieren dann auf
die Spalten dieses Schemas. Die das Kernmoment darste]lenden Ope-
ratoren
o 1~ o
operieren dagegen auf die Reihen. Es ist z. B.
Der urspriinglieh zweifach entartete s/)l/s-Term wird ietzt durch
Betraehtung der be~den Orientierungsm~igliehkelten des Kernspins vier-
Uber die magnetischen 5fomente tier Atomkerne. 331
fach entartet. Als ungest~rte Eigenfunktionen k~nnen wir z. B. die
folgenden vler nehmen:
1/ 0 ,
l/yr.>, o,O, 0 1
0 0 ,
t- l!3
1/~-fp_ 1' _}1~1_f.p~
Um die yon der St~rungsfunktion (26) herriihrende Spaltung des
'~P1/2-Terms zu berechnen, miissen wit die die StSrunffsenergie darstellende
vierreihige Matrix bilden. Dies geschieht jetzt ohne Schwierigkeit. Man
beaehte die Formeln:
hf:2(e_l--PO; M~2o = i (P~+e-O; M.P~ = O,
MxP-~
-- h[2po; Mv-P-~ = -- i Po; M..P_~ __ h P-~.
4a: 2~r
Man ~indet dann ~iir den ~2P~/~-Term die folgende S~Srungsmatrix
yl o o o o
8 ~1 --2 0
3 ~/x~ r 2 --2 -- 1 0
0 0 1
mit den Eigenwerten:
8 1 1 (einfaeh).~t~to~ (dreifaeh) und ~ 8 g ~to
Fiir den ~P3/2-Term finder man in iihnlicher Weise die StOrungsmatrix:
1 0 0 0 0 0 0 0
' o o 2/t;~ o o o0
1 0 0 4 0 00 0 ~
0 0 0 -- 1 0 0 2/~/38 0
0 2/y3" 0 0 -- 1 0 0 0
0 0 ~ 0 0 a 0 08 3
1 0o o o 2/1/-~ o o
0 0 0 0 0 0 0 1
332 E. Fermi,
mit den Eigenwerten:
8 T 8 i
~ ~o ~ (fiinffach) und -- ~" ~ ~o~ (drelfach).
Es ergibt sich also, daI] der ~/D~/2-Termsich in einen oberen, dreifach
entarteten und in einen unteren einIachen Term spaltet; die Au[spaltung
ist durch Formel (3) gegeben. Der ~i%/2-Term sloaltet sich in einen
oberen, [tinf[ach entarteten und in einen unteren, 4rei~ach entarteten Term;
die Au[spaltung ist (5).
Es bleibt nur Formel (7) zu beweisen. Fiir diesen Zweek bemerken
wir, da~ der Energieuntersehied zwischen den beidea Termen :Pa/~ und
~P~]2 durch die Wirkung des elektronischen Eigenmoments, bekanntlieh
39oh 1 dV
4~mc r dr
ist. Wir linden also
1 dV 4~rmc
-- & (28)
r dr 3/~oh
In der N~he des Kernes hat man aber V = Z e]r, also
I dV 1
Ze--.
r dr r 8
Da nun die ffir die Bildung des Mittelwerts (28) wiohtigen Glieder
yon der n~chsten Nfihe des Kerns herriihren, finden wir mit geniigender
Ann~herung
-1 1 1 dV" 47rmc
r ~ Ze r dr 3yoZeh
T
d, h.
diese Formel ist mit (7) identiseh. Ffir den Fall des ersten p-Terms
des Cs ist der aus (7) sich ergebende Wert nut etwa 4% kleiner als der
genaue Werh
Zusatz bei der Korrektur.
1. Inzwisehen babe ich auch fiir die 9Pa/,-Terme Formel (5) mit der
Diraeschen Theorie des Elektrons bestatigen kSunen.
Auch fiir die /0-Terme kann ich ietzt die Hyperfeinstruk~uraufspaltungen
fiir einen beliebigen Werg des Eigenmoments k des Kernes
angeben.
Uber die magnetischen Momente der Atomkerne. 333
Fiir die 2_Pl/2-Terme finder man eine Aufspaltung in einem oberen
2k + 2-faeh und in einem unteren 2k-fach entarteten Term; die Aufspaltung
ist:
z/(~/~1/2) -- 2 k + 1 8 1
Ftir die s23[2-Terme bekommt man eine Aufspaltung in zwei, drei
oder vier Terme, je nachdem k : 1/2, k : ! oder k~ 1. In diesem
letzteren Falle sind die Abstitnde der vier Terme yore ungestiirten Term
die folgenden :
--, -- ~-~o ,--5- v" v'~ r~ ~
1
Die statistisehen Gewiehte dieser vier Terme sind
2k+4, 2k+2, 2k, 2k--2.
Fiir k = 1 fehlt der letztere und ftir k = { fehlen die beiden letzteren
dieser vier Terme. Alle diese Ergebnisse sind mit den gewiihnlichen
Regeln fiir die Kopplung der Quantenvektoren in Einklang.
2. In einer kiirzlich ersehienenen Notiz geben Filippow und Groos
(Naturw. 17, 121, 1929) die Hyperfeinstrukturen des Rubidiums an. Auch
ftir Rb besteht die Hyperfeinstruktur der Hauptserienllnien in einer
Aufspaltung in zwei Komponenten. Der Komponentenabstand betragt
0,114Wellenzahlen. Durch Daten, welche mir ~reundlicherweise yon
9Prof. Dr. Hartree brieflieh mitgeteilt wurden, habe ich fiir den Grundterm
des Rb ~2(0)= 8,8.102~ bereehnen kiinnen. Man finder dann
2k+ 1 ~ __ 0,0024.
k ~o
Wir bekommen also fiir Rb:
_~2 = 1700, 1300, 1100,..., 840,
ftir
= 1/2~ 1, 8/2,... , ~).
Zeitschrfft fiir Physik. Bd. 60. 23