Taylor
E 3011
Jan Böhm
RECETOX
March 14, 2023
Jan Böhm (RECETOX) Cvičení V March 14, 2023 1 / 11
Co nás dnes čeká
1 e
2 π
3 Goniometrické funkce
4 Logaritmus funkce
5
Jan Böhm (RECETOX) Cvičení V March 14, 2023 2 / 11
Přibližně e
e
Vytvořte funkci e(tol = 0.001), která vrací hodnotu e s přesností danou
parametrem tol.
Pro výpočet přibližné hodnoty e využijte formuli
e =
∞
k=0
1
k!
,
která je odvozena z Taylorova rozvoje funkce ex .
Sumu nepočítejte do nekonečna ale jen do té doby, kdy je přírůstek nového
člene větší, než tol, symbolicky
etol =
k∈K
1
k!
K = {κ ∈ N0 takových, že
1
κ!
≥ tol}
Jan Böhm (RECETOX) Cvičení V March 14, 2023 3 / 11
Co nás dnes čeká
1 e
2 π
3 Goniometrické funkce
4 Logaritmus funkce
5
🍕
Jan Böhm (RECETOX) Cvičení V March 14, 2023 4 / 11
Přibližně π
π
Vytvořte funkci pi(tol = 0.001), která vrací hodnotu π s přesností
danou parametrem tol.
Pro výpočet přibližné hodnoty e využijte Leibnizovu formuli
π = 4
∞
k=0
(−1)k
2k + 1
,
která je odvozena z Taylorova rozvoje funkce arctan.
Sumu nepočítejte do nekonečna ale jen do té doby, kdy je přírůstek nového
člene větší, než tol.
Jan Böhm (RECETOX) Cvičení V March 14, 2023 5 / 11
Co nás dnes čeká
1 e
2 π
3 Goniometrické funkce
4 Logaritmus funkce
5
🍕
Jan Böhm (RECETOX) Cvičení V March 14, 2023 6 / 11
Přibližně sin
sin(x)
Vytvořte funkci sin(x, tol = 0.001), která vrací hodnotu sin(x) s
přesností danou parametrem tol.
Pro výpočet přibližné hodnoty sin(x) využijte Taylorův rozvoj této funkce
v okolí nuly:
sin(x) =
∞
k=0
(−1)k
(2k + 1)!
x(2k+1)
.
Tato aproximace je vhodná pro x ∈ −π; π . Pro hodnoty mimo tento
interval využijte identity sin(x) = sin(x mod 2π).
Sumu nepočítejte do nekonečna ale jen do té doby, kdy je přírůstek nového
člene větší, než tol.
Jan Böhm (RECETOX) Cvičení V March 14, 2023 7 / 11
Co nás dnes čeká
1 e
2 π
3 Goniometrické funkce
4 Logaritmus funkce
5
🍕
Jan Böhm (RECETOX) Cvičení V March 14, 2023 8 / 11
Přibližně ln
ln(x)
Vytvořte funkci ln(x, tol = 0.001), která vrací hodnotu ln(x) s
přesností danou parametrem tol.
Pro výpočet přibližné hodnoty ln(x) využijte Taylorův rozvoj této funkce v
okolí 1:
ln(x) =
∞
k=1
(−1)k+1
k
(x − 1)k
.
Pozor, tato aproximace konverguje jen pro x ∈ (0, 2 . Proto budete pro
x > 2 potřebovat identitu ln(x) = − ln(1
x ).
Sumu nepočítejte do nekonečna ale jen do té doby, kdy je přírůstek nového
člene větší, než tol.
Nakonec vytvořte funkci log(x, base = 2, tol = 10**-6), která
počítá logaritmus čísla x ve zvolené bázi base. Stačí využít identity
logb(x) =
loga(x)
loga(b)
.
Jan Böhm (RECETOX) Cvičení V March 14, 2023 9 / 11
Co nás dnes čeká
1 e
2 π
3 Goniometrické funkce
4 Logaritmus funkce
5
🍕
Jan Böhm (RECETOX) Cvičení V March 14, 2023 10 / 11
Takeaways
Po tomto cvičení byste měli mít připravené funkce
e(tol = 0.001) a pi(tol = 0.001), které vrací uvedené konstanty
sin(x, tol = 0.001), ln(x, tol = 0.001 a log(x, base = 2,
tol = 0.001, které počítají funkční hodnoty sinu, přirozeného
logaritmu resp. logaritmu se zvolenou bází
Tyto funkce si přidejte do své ”knihovny” functions.py.
Po tomto cvičení byste měli umět:
Vyrobit další funkce postavené na (Taylorovu) polynomu, např.
zbytek goniometrických funkcí, exponenciální funkci nebo např.
hyperbolické funkce.
Zjistit, kolik iterací uvnitř funkce proběhlo, než došlo k požadovanému
výsledku (např. porovnejte počet iterací e(tol = 10**-6) a pi(tol
= 10**-6).
Rozumět limitům a problémům funkcí, které jste nachystali. Jak jsou
přesné, rychlé, kdy selžou?
Jan Böhm (RECETOX) Cvičení V March 14, 2023 11 / 11