Posloupnosti a vektory
E 3011
Jan Böhm
RECETOX
April 5, 2023
Jan Böhm (RECETOX) Cvičení VII April 5, 2023 1 / 10
Co nás dnes čeká
1 Rozcvička
2 Posloupnosti a řady
3 Vektorová algebra
4
Jan Böhm (RECETOX) Cvičení VII April 5, 2023 2 / 10
Posloupnosti
Fibonacci
Fibonacciho posloupnost je definovaná:
F(n) =



0 pro n = 0
1 pro n = 1
F(n − 1) + F(n − 2) jinak.
Posloupnost tedy začíná [0,1,1,2,3,5,8,13,21,. . . ]. Vaším úkolem je
napsat funkci Fibonacci(n), která vrátí prvních n členů této
posloupnosti.
Hint: poslední a předposlední člen posloupnosti F získáme pomocí
záporného indexu – F[-1] a F[-2]. Přidávání hodnoty x na konec
poslounosti F zase zvládne příkaz F.append(x).
Jan Böhm (RECETOX) Cvičení VII April 5, 2023 3 / 10
Co nás dnes čeká
1 Rozcvička
2 Posloupnosti a řady
3 Vektorová algebra
4
🍕
Jan Böhm (RECETOX) Cvičení VII April 5, 2023 4 / 10
Modely růstu populace
Na začátku roku 2023 žilo na zemi 8 miliard lidí. Odhaduje se, že každým
rokem se tato populace zvětší o 1.08 %.
Jan Böhm (RECETOX) Cvičení VII April 5, 2023 5 / 10
Modely růstu populace
Na začátku roku 2023 žilo na zemi 8 miliard lidí. Odhaduje se, že každým
rokem se tato populace zvětší o 1.08 %.
V kterém roce můžeme očekávat, že populace na světě přesáhne 10
miliard?
Jan Böhm (RECETOX) Cvičení VII April 5, 2023 5 / 10
Modely růstu populace
Na začátku roku 2023 žilo na zemi 8 miliard lidí. Odhaduje se, že každým
rokem se tato populace zvětší o 1.08 %.
V kterém roce můžeme očekávat, že populace na světě přesáhne 10
miliard?
Malthusovský růst
Jeden z nejstarších modelů růstu populace. Říká, že velikost populace x v
následujícím časovém bodě (roce) je přímo úměrná velikosti této populace
s koeficientem r – kde r je rozdíl porodnosti a úmrtnosti.
Napište funkci malthus(x0, r, n) ve které jsou předvídané velikosti
populace v následujících n letech a v současnosti je velikost populace x0.
Jan Böhm (RECETOX) Cvičení VII April 5, 2023 5 / 10
Modely růstu populace
Na začátku roku 2023 žilo na zemi 8 miliard lidí. Kapacita naší planety se
odhaduje na 12 miliard lidí. Míra, s jakou populace narůstá, klesá lineárně
s velikostí populace - v případě naplněné kapacity prostředí je 0, naopak
při prázdném prostředí se odhaduje na 1.62.
Jan Böhm (RECETOX) Cvičení VII April 5, 2023 6 / 10
Modely růstu populace
Na začátku roku 2023 žilo na zemi 8 miliard lidí. Kapacita naší planety se
odhaduje na 12 miliard lidí. Míra, s jakou populace narůstá, klesá lineárně
s velikostí populace - v případě naplněné kapacity prostředí je 0, naopak
při prázdném prostředí se odhaduje na 1.62.
V kterém roce můžeme očekávat, že populace na světě přesáhne 10
miliard?
Jan Böhm (RECETOX) Cvičení VII April 5, 2023 6 / 10
Modely růstu populace
Na začátku roku 2023 žilo na zemi 8 miliard lidí. Kapacita naší planety se
odhaduje na 12 miliard lidí. Míra, s jakou populace narůstá, klesá lineárně
s velikostí populace - v případě naplněné kapacity prostředí je 0, naopak
při prázdném prostředí se odhaduje na 1.62.
V kterém roce můžeme očekávat, že populace na světě přesáhne 10
miliard?
Verhulstův model růstu
Tento model říká, že velikost populace x v následujícím časovém bodě
(roce) je přímo úměrná velikosti této populace s koeficientem r – kde r je
rozdíl porodnosti a úmrtnosti v ideálních podmínkách. Tato porodnost je
multiplikativně penalizovaná vyčerpanou kapacitou prostředí - koeficientem
z intervalu 0; 1 .
Napište funkci verhulst(x0, r, K, n) ve které jsou předvídané velikosti
populace v následujících n letech a v současnosti je velikost populace x0.
Jan Böhm (RECETOX) Cvičení VII April 5, 2023 6 / 10
Co nás dnes čeká
1 Rozcvička
2 Posloupnosti a řady
3 Vektorová algebra
4
🍕
Jan Böhm (RECETOX) Cvičení VII April 5, 2023 7 / 10
Vektorová algebra
Podívejte se na slajdy o operacích s vektory v přednášce k tomuto týdnu.
Měli byste být schopni spočítat všechny operace, které tam jsou
zadefinované. Není nutné na všechny tvořit funkce, ale doporučuji si
naimplementovat:
Norma vektoru norm(u).
Násobení vektoru skalárem SVP(c, u) (scalar-vector product)
Sčítání vektorů addVectors(u,v) a zamyslet se, jak vyřešit rozdíl
vektorů.
Skalární součin dotProduct(u, v)
Vektorový součin crossProduct(u, v) v trojrozměrném prostoru.
Smíšený součin tripleProduct(u, v, w) v trojrozměrném prostoru.
Odchylku vektorů angle(u,v).
Jan Böhm (RECETOX) Cvičení VII April 5, 2023 8 / 10
Co nás dnes čeká
1 Rozcvička
2 Posloupnosti a řady
3 Vektorová algebra
4
🍕
Jan Böhm (RECETOX) Cvičení VII April 5, 2023 9 / 10
Takeaways
Po dnešním cvičení byste měli umět:
1 Pracovat s poli. Vytvořit pole, přidávat a odebírat z něj prvky, najít
jeho minimum, maximum, součet. Seřadit pole. Zjistit, zda nějaký
prvek v něm leží.
2 Vytvořit funkci, která na základě nějakého rekurentního vztahu
x(t + 1) = f (x(t), x(t − 1), . . . ) generuje členy této posloupnosti.
3 Mít implementovány základní funkce pro vektorové počítání.
Jan Böhm (RECETOX) Cvičení VII April 5, 2023 10 / 10