Limitní rozdělení aritmetického průměru $\bar{x}$ náhodných proměnných $x_1,x_2,...,x_N$, které mají stejnou střední hodnotu $\mu$ a (konečný) rozptyl $\sigma^2$, pro $N \to \infty$ je normální (Gaussovo) $N(\mu,\sigma^2/N)$.
Transformujeme na nové proměnné $u_i=(x_i-\mu)/(\sigma \sqrt{N})$: charakteristická fce nové proměnné $\phi_{u_i}(t)=E(\exp(iut))=\phi_{x_i-\mu} (t/(\sigma \sqrt{N}))$; proměnná $u_i$ má střední hodnotu 0 a disperzi 1/N.
pro velká $N$ rozvoj do 1. řádu v $1/N$: $\phi_{u_i}(t) =E(exp(i t u_i))= E(1+i t u_i- t^2/2 u_i^2 +\ldots)=1+i t E(u_i)- t^2/2 E(u_i^2) +\ldots= 1-t^2/2N+\ldots$
$$\phi_u(t)=\phi_{\sum_i^N u_i}(t)={\phi_{u_i}(t)}^N=\left(1-\frac{t^2}{2N}+\ldots\right)^N=exp(-{t^2}/2)$$ pro $N \to \infty$, tedy $u$ má normální rozdělení $N(0,1)$. Pak $\bar{x}=(u/N) \sigma^2 N +\mu$ má očekávané rozdělení $N(\mu,\sigma^2/N)$.