Vlastnosti náhodných proměnných

charakteristiky

oèekávaná hodnota funkce $g$ náhodné promìnné $\xi$ $$E(g)= \int_{\Omega} { g(X)\ f_\xi(X) dX }$$ ($X$ je reálný vektor konkrétní hodnoty $\xi$)

støední hodnota (matem. oèekávání = expektance) $E(\xi)$

event. pracujeme s oèekávanou hodnotou z funkce NP - napø. (jednorozmìrný pøípad)

$$D(\xi)=E\{[\xi-E(\xi)]^2\}=\int_{-\infty}^\infty \left[x-\int_{-\infty}^{\infty} x f(x) d x\right]^2 f(x) d x$$

disperze - $\sigma^2$ - jeden z centrálních momentù

• algebraické $\nu_k=E(\xi^k)$
• centrální $\mu_k=E((\xi-\nu_1)^k)$

asymetrie ("skewness", 3. øád) - $\gamma_1 = \frac{\mu_3}{\sqrt{\mu_2^3}}$
exces (a.k.a. "špièatost", "kurtosis", 4. øád) - $\gamma_2 = \frac{\mu_4}{\mu_2^2} - 3$

korekce zavedena, aby pro "normální" (TBD) rozdìlení $\gamma_1 = \gamma_2 = 0$

momenty funkcí více proměnných

analogická definice støední hodnoty (èi støední hodnoty funkce)

dostáváme nyní i smíšené momenty:

• smíšený druhý centrální moment (kovariace, korelaèní moment)

$$D(\xi_1,\xi_2) = E ( [\xi_1-E(\xi_1)] [\xi_2-E(\xi_2)] ) = E(\xi_1\xi_2) - E(\xi_1) E(\xi_2)$$

odtud korelaèní koeficient

$$\rho(\xi_1,\xi_2) = D(\xi_1,\xi_2) / \sqrt{D(\xi_1) D(\xi_2)}$$

pro nezávislé vektory nulový, max. 1 pro plnì korelované ("úmìrné")

• !! existují závislé NP, které mají nulový korel. koeficient: nekorelovanost je slabší vlastnost než nezávislost

korelaèní moment lze zavést u n-rozmìrného náh. vektoru pro lib. dvojici komponent z marginálního rozdìlení (odintegrováním zbylých složek)

$D_{ij}=D(\xi_i,\xi_j)$ - matice (kovarianèní, disperzní) je symetrická, na diagonále disperze komponent

Matice je singulární, pokud existuje lineární kombinace složek, která je nulová (jedna komponenta je lineární kombinací jiných). Jinak lze zavést inv. matici $D^{-1}$, a kromì

korelaèní matice $\rho_{ij}=\rho(\xi_i,\xi_j)=D_{ij}/\sqrt{D_{ii} D_{jj}}$

spoèítat i globální korelaèní koeficient pro danou komponentu, urèující její maximální míru korelace s libovolnou lin. kombinací zbylých složek: platí

$$\rho_i=\sqrt{1-1/(D_{ii} {D^{-1}}_{ii})}$$

Charakteristická funkce

$$X(t)=E(e^{i \xi t})=\int{e^{i xt} f_\xi(x) dx}$$

pøiètení konstanty $A$ znamená vynásobení $exp(iAt)$, faktor a zmìní výsledek $X_{a\xi}(t)=X_\xi(at)$

$$X_{\xi + \theta}(t)=X_\xi(t) X_\theta(t)$$ pro normální rozdìlení $X(t)=\int{e^{i xt} e^{(x-m)^2/2\sigma^2} dx}=e^{imt-t^2\sigma^2/2}$

Generující funkce

$$M(t)=E(e^{\xi t})=\int{e^{xt} f_\xi(x) dx}$$

rozvojem exponenciály získáme souvislost s momenty (necentrálními)

$$M(t)=E \left[ 1+\xi t +\frac{1}{2!} {\xi t} + \dots \right]=\sum_{n=0} \frac{1}{n} {\mu'}_n t^n$$

odkud lze vyjádøit

$${\mu'}_{n} = \frac{\partial^n M(t)}{\partial t^n}$$ v bodì $t=0$

lineární kombinace NP

$\Theta = \sum_i {a_i \xi_i}$ +A

• støední hodnota $E(\Theta)=\sum_i {a_i E(\xi_i)} + A$ (dùkaz)

• disperze

$$D(\Theta)=E(\sum_i \sum_j{a_i a_j [\xi_i-E(\xi_i)] [\xi_j-E(\xi_j)]} = \sum_i {a_i^2 D(\xi_i)} + \sum_i \sum_{j\neq i} {a_i a_j D(\xi_i, \xi_j)} $$

pro nekorelované promìnné druhý èlen odpadá

• rozdìlení

hustota pravdìp. h(y) nové NP:

1. vynásobení konstantou $a$: $h(y)=f(y/a)/|a|$
2. souèet $Y=X_1 + X_2$

dle distribuèní funkce

$$F(y) = \int_{x_1+x_2\lt y} {f(x_1,x_2) dx_1 dx_2 } = \int_{-\infty}^\infty dx_2 \int_{-\infty}^{y-x_2} {f(x_1,x_2)} dx_1 $$

pro nezávislé promìnné: $f(x_1,x_2)=f_1(x_1) f_2(x_2)$ pøi zavedení promìnné $t$ se substitucí $x_1=t-x_2$

$$F(y)=\int_{-\infty}^y dt \int_{-\infty}^\infty {f_2(x_2) f_1(t-x_2) dx_2 } = \int_{-\infty}^y f(t) dt ,$$

kde $f(t)=\int f_1(t-x) f_2(x) dx$ je (Fourierova) konvoluce hustot; analogicky pro souèin nezávislých promìnných $y=x_1 * x_2$ dostáváme hustotu pravdìpodobnosti jako (Mellinovu) konvoluci

$$ f(t)=\int f_1(t/x) f_2(x) dx/|x|$$