F8370 Moderní metody modelování ve fyzice jaro 2021 D. Hemzal, F. Münz hemzal@ph.ys i es .muni . cz Metoda konečných prvků (Finite Elements Method) metoda konečných diferencí: - průběh funkce je přesný - vyjádření derivace je přibližné metoda konečných prvků: - průběh funkce je přibližný - vyjádření derivace je přesné výhody MKP: dobře popisuje složité oblasti nevýhody MKP: těžko se získávají testovací 'analytická' řešení Zkoumaná oblast je rozdělena na elementy TJ; v rámci každého z elementů se fyzikální parametry úlohy zpravidla předpokládají konstantní (na (společné) hranici dvou elementů tedy často mají skok). Hledaná veličina ^(x), se diskretizuje jako ip[i] v uzlech v místech vrcholů elementů TJ. Uzly, které jsou prvky hranice dil nazýváme hraniční, ostatní uzly označujeme jako vnitřní X Xe Xö X4 x3 Xs Xi- 26 27 21 t 16 \ 11 i G i 7 22 17 12 7 2 28 _29 .30 25 23 18 13 8 24 19 14 20 15 10 Í>i Í>2 f 3 f 4 f 5 F8370 Moderní metody modelování ve fyzice jaro 2021 D. Hemzal, F. Miinz hemzal@physics.muni.cz Aproximace se provádí s pomocí tvarových funkcí N [i] (lineárních, kvadratických ... obecně řádu k) vztahujících uzel i s přilehlými elementy T všeobecně platí, že se snažíme používat nejnižší řád aproximace, který ještě umožní najít netriviální řešení zvolené diferenciální rovnice; například pro rovnice druhého řádu stačí k = 1. lepší aproximace dosáhneme překročením nej nižšího řádu, v praxi často znamená možnost hrubšího dělení íž; jednotlivé elementy vš; získávají větší počet parametrů a tak výpočetní úspora nemusí b velká. řádům k > 3 se vyhýbáme kvůli jejich tendenci oscilovat. a následně vytvořených aproximačních funkcí N [i] jako sjednocení %--všech NT[i] zkonstruovaných z tvarových funkcí, které zasahují do elementů T obsahujících uzel i. u zjevně tedy N[i] a N[j] mají nenulovou společnou podporu pouze pokud uzly i a j náleží stejnému elementu. F8370 Moderní metody modelování ve fyzice D. Hemzal, F. Miinz jaro 2021 hemzal@physics.muni.cz Metoda konečných prvků v ID V případě ID úlohy vznikají elementy T prostým (byt nehomogenním) dělením intervalu G R na subintervaly. I wi wj ní i U všech typů elementů je třeba dbát, aby byly nedegenerované, tj. aby JT díl ^ 0, v ID se podmínka redukuje na vyloučení subinter-valů nulové délky. o Lineární tvarové funkce N~[i], resp. N+\i] spojují uzel i s ne-jbližším sousedem vlevo a vpravo a mají formu úseček nabývajících hodnoty 1 v uzlu i a hodnoty 0 v uzlu i — 1, resp. i + 1: N~[i\ :y= X~X][l~ \ xe (x[i-l],x[i\) x[i\ — x [i — 1J :y= X^x][\+\ xe{x[í[,x[i + l]) x[i\ — X[l + 1J Aproximační funkce N [i] je potom sjednocením N [i] = N~[i] |J N+[i]. U vyšších řádů tvarových funkcí se pro každý element přidávají vnitřní parametry, ovlivňující chování složitějších křivek na každém z intervalů (počet přidaných parametrů je dán balancováním stupňů volnosti). F8370 Moderní metody modelování ve fyzice jaro 2021 D. Hemzal, F. Miinz hemzal@physics.muni.cz Jádro metody vzniká spojením dvou fundamentálních kroků: 1) uvědoměním, že hledanou funkci ty můžeme (ve spojité oblasti) vyjádřit jako ty(x) = ^2^[i]N[i] pouze s využitím hodnot ty [i] v diskretizovaných uzlech. zároveň, díky volbě aproximačních funkcí nezasahujících za nej bližších k sousedů, se na příspěvku v daném intevalu (x[i], x[i + 1]) podílí jen k tvarových funkcí (resp. k jejich aproximačních větví) přitom ty [i] jsou z hlediska diferenciálního operátoru konstantami. Skutečně, pro k = 1 mezi dvěma body platí Tímto způsobem je do formulace vnesena nespojitost (v prvních derivacích pro k = 1, atd.), ale metoda jako celek je na to připravena druhým krokem, 2) reformulovaním tzv. slabé variační úlohy pro řešenou soustavu rovnic ty(x) ty [i] - ty[i + l] x[i + 1] — x[i] X + ty[i]x[i + 1] - ty [i + l]x[i] x[i + 1] — x[i] F8370 Moderní metody modelování ve fyzice jaro 2021 D. Hemzal, F. Miinz hemzalOphysics.muni.cz Slabá formulace variační úlohy Budeme se zabývat řešením Cauchyova problému pro lineární diferenciální operátor L (obsahující derivace) fc-tého řádu. Uvažujme tedy oblast s hranicí díl a na ní rovnici Lu = 0, včetně příslušných okrajových podmínek /(w, Vit,... Aplikovat metodu konečných prvků jako Lu = 0 prostřednictvím u = w[ž]7V[i] formálně nelze kvůli nespojitosti tvarových funkcí. Mohli bychom ovšem uvažovat slabší podmínku [ L(u)dn = 0. Jelikož se jedná o integraci v Riemannově smyslu, jsou povoleny nespoj itosti na množině míry nula. Řešení původní rovnice splní i slabší intergrální podmínku, opačně to ale neplatí. Z důvodu aproximace MKP slabší řešení navíc původní formulaci vyhovět ani nemůže a musíme obecně očekávat R = L(u) Ý 0. F8370 Moderní metody modelování ve fyzice jaro 2021 D. Hemzal, F. Miinz hemzal@physics.muni.cz Máme pochopitelně zájem o co nejlepší splnění výchozí rovnice, a v tomto ohledu exituje několik postupů, které je možné aplikovat: metoda nejmenších čtverců. Požadujeme mm, 'o a aplikací standardního aparátu metody nejmenších čtverců dostaneme dR j ■ 2 JnRdu[j díl = 0. metoda vážených reziduí. Reziduum se minimalizuje vzhledem ke vhodným váhovým funkcím podmínkami j ■ 'n WjRdtt = 0 metoda nejmenších čtverců: Wj = ^_r ou[j metoda kolokační: Wj = (5(|x — x[j]|) - fixujeme přesné splnění rovnice v uzlových bodech metoda Galerkinova: Wj = N\j] - nejlepší aproximace na (pod)prostoru span(7V[j