F8370 Moderní metody modelování ve fyzice jaro 2023
Příklad - Helmholtzova rovnice
D. Hemzal, F. Miinz hemzal@physics.muni.cz
Uvažujme stacionární formu skalární homogenní vlnové rovnice
AU-^—Y = 0.
c2 dť
Stacionarita předpokládá časově ustálený stav, o kterém u vlnové rovnice víme, že je realizován harmonickým řešením U(x,t) = u(x) ex.p(iujt). Dosazením tohoto ansatzu vskutku odstraníme z rovnice časovou závislost a dostáváme Helmholtzovu rovnici
.       u2 n Au H—;ru = 0.
cz
Protože je vlnová rovnice lineární, lze se na Helmholtzovu rovnici dívat také jako na rovnici pro jednu frekvenční kopmonentu časově proměnného pole, nebot obecně
U(x,t) =      Uqj(x) exp(ia;t)
Obecné časově proměnné pole pak můžeme získat tak, že provedeme větší množství stacionárních simulací pro různé frekvence a ty potom v prostoru složíme s váhami, které získáme jako komponenty Fourierova rozvoje budícího pulzu.
F8370 Moderní metody modelování ve fyzice jaro 2023
D. Hemzal, F. Miinz hemzal@physics.muni.cz
Sestavme nyní slabou formulaci úlohy s Helmholtzovou rovnicí:
J (ku+^u ) díí = 0.
.2 I JI
Dosazením operátoru L{u) = Au + {uj /c )u do funkcionálu MKP, přičemž u(x) = ^u[i]N[i], dostáváme
j : Vu[Í\ /   N[j]VN\z]dW-T4
oj
VN\z]VN[j] - -^N[j]N[i
dn = o.
První integrál opět představuje příspěvek od okrajových podmínek a druhý od samotného operátoru Helmholtzovy rovnice.
K diagonální členům Ku budou přispívat všechny elementy, obsahující uzel i.
K nediagonálním členům Kíj přispějí vždy pouze dva elementy, které oba uzly i, j obsahují.
F8370 Moderní metody modelování ve fyzice jaro 2023
D. Hemzal, F. Miinz hemzal@physics.muni.cz
Sestavení rovnic ve 2D
Pro diagonální integrál Ku platí
pricemz
Ku =   y,   / (VArw • VArw - t^IW]) d<^
TkeSUPpN[i\ rp
J (^VNTk[i] ■ VNTk[i
^NTk[i]NTk[i] ) áS =
i - yr)2I(2, 0) + (xr - xi)2I(0, 2) + 2(2/1 - yr)(xr - xi)I(l, 1)+
+ 2(yi - yr)(xiyr - xryi)I(l, 0) + 2(xr - x{)(xiyr - xryi)I(0,1)+ + [(xiyr ~ xryif - ^[(yi - yrf + (xr - xi)2]]l(0,0) j,
kde uzly /, r jsou v tomto případě zbývající dva uzly vyhodnocovaného elementu, platí Xfc(i, /, r).
F8370 Moderní metody modelování ve fyzice jaro 2023
D. Hemzal, F. Miinz hemzal@physics.muni.cz
Obdobně, pro nediagonální členy platí
Kíj= / +
Odtud,
^■nPnP \dn = il + ir
c
2    * 3
L j Rj
L, =
2 f ?
oj
2SV
— <\(Vv- Uj)(yi - ž/u)/(2, 0) + (xj - xv)(xv - ící)7(0,2) +
c
+ [(Uv - Uj)(xv - x i) + (yi - yv)(xj - xv)]l(l, 1)+
+ [{yv ~ yj)(xiVv - xvyi) + (yi - yv)(xvyj - Xjyv)]l(l, 0) +
+ [(xj - xv)(xiyv - xvyi) + (xv - Xi)(xvyj - Xjyv)]l(0,1) +
c
+ l(xvyj - Xjyv)(xiyv - xvy{)--~[(yv ~ Vj)(yi ~ Uv) + (xj - xv){xl
x
uj
;)]]í(0,0)
kde příspěvek pro levý a pravý trojúhelník získáme jako I\ = lv=\ a Ir = Iv=r.
F8370 Moderní metody modelování ve fyzice jaro 2023
D. Hemzal, F. Miinz hemzal@physics.muni.cz
Helmholtzova rovnice - okrajové podmínky
Na závěr prozkoumejme možné okrajové podmínky pro Helmholtzovu rovnici. Dirichletova podmínka předepisuje amplitudu vybrané frekvenční komponenty v daném místě hranice. Homogenní Neumannova podmínka představuje plně odrazivou hranici. Poslední podmínka, kterou je vhodné připravit, je pak hranice volně vlnění propouštějící. Tuto podmínku lze však realizovat pouze přibližně, a to například takto: uvažujme rovinnou vlnu
u = uo exp(ifc • x).
Má-li taková vlna volně projít hranicí, musí být její gradient
Vit = u0ik exp(ifc • x) = iku
rovnoběžný s normálou k této hranici. Přenásobíme-li obě strany rovnice normálou n,
Vit • n = un = ik • nu
vede požadavek rovnobežnosti obou vyskytujících se vektorů na podmínku k ■ n = \k\\n\ a tedy
no 27ri
A
což je podmínka smíšeného typu. Protože tato podmínka zajištuje, že vlnění bude procházet kolmo každou příslušnou částí okraje úlohy, je velmi důležité konstruovat tvar hranice pro numerickou simulaci v souladu s předpokládaným průběhem analytického řešení úlohy.
Jinou možností je k hranici, kterou má vlna simulovaný objem opouštět, přidat několik vrstev prostředí, ve kterém gradientně budeme zvyšovat útlum prostředí. Při vhodném nastavení se téměř žádná energie nevrátí zpět do simulovaného objemu a vlna efektivně prostředí volně opustí (nezávisle na směru letu vůči hranici).