1
M2010 Matematika II 12. března 2009
Parciální derivace
Jak si ji představit?
c Silvie Kuráňová, Jan Vondra (PřF MU)
Zpět Dok Dok
2
Parciální derivace – výpočet
Nechť je zadána funkce dvou proměnných z = f(x, y) a naším úkolem je spočítat její parciální
derivace.
• Parciální derivace podle x . . . ∂f(x,y)
∂x
Proměnnou y považujeme za konstantu tj. y = konst → ∂f(x, y)
∂x → počítáme obyčejnou
derivaci funkce jedné proměnné podle x.
obdobně
• Parciální derivace podle y . . . ∂f(x,y)
∂y
Proměnnou x považujeme za konstantu tj. x = konst → ∂f(x, y)
∂y → počítáme obyčejnou
derivaci funkce jedné proměnné podle y .
Ukažme si vše na konkrétních příkladech. U každého příkladu najdete vždy komentované
řešení a interaktivní 3D obrázek.
Doporučujeme především přepínač pro zobrazení „stromu“ modelu – můžete tak postupně
zobrazovat či schovávat jednotlivé objekty prostorového obrázku.
Zpět Dok Dok
3
Parciální derivace – příklad 1
Příklad 1. Vypočtěte parciální derivace 1. řádu funkce z = x2
v bodě [1, 0].
3
Parciální derivace – příklad 1
Příklad 1. Vypočtěte parciální derivace 1. řádu funkce z = x2
v bodě [1, 0].
Řešení
• Parciální derivace podle x v bodě [1, 0]
∂f(x,y)
∂x → y = konst → ∂f(x, y)
∂x → derivujeme jako obyčejnou derivaci podle x
3
Parciální derivace – příklad 1
Příklad 1. Vypočtěte parciální derivace 1. řádu funkce z = x2
v bodě [1, 0].
Řešení
• Parciální derivace podle x v bodě [1, 0]
∂f(x,y)
∂x → y = konst → ∂f(x, y)
∂x → derivujeme jako obyčejnou derivaci podle x
zx =
∂x2
∂x
= 2x
3
Parciální derivace – příklad 1
Příklad 1. Vypočtěte parciální derivace 1. řádu funkce z = x2
v bodě [1, 0].
Řešení
• Parciální derivace podle x v bodě [1, 0]
∂f(x,y)
∂x → y = konst → ∂f(x, y)
∂x → derivujeme jako obyčejnou derivaci podle x
zx =
∂x2
∂x
= 2x
a dosadíme souřadnice bodu [1, 0]
zx(1, 0) = 2 · 1 = 2.
3
Parciální derivace – příklad 1
Příklad 1. Vypočtěte parciální derivace 1. řádu funkce z = x2
v bodě [1, 0].
Řešení
• Parciální derivace podle x v bodě [1, 0]
∂f(x,y)
∂x → y = konst → ∂f(x, y)
∂x → derivujeme jako obyčejnou derivaci podle x
zx =
∂x2
∂x
= 2x
a dosadíme souřadnice bodu [1, 0]
zx(1, 0) = 2 · 1 = 2.
• Parciální derivace podle y v bodě [1, 0]
∂f(x,y)
∂y → x = konst → ∂f(x, y)
∂y derivujeme jako obyčejnou derivaci podle y
3
Parciální derivace – příklad 1
Příklad 1. Vypočtěte parciální derivace 1. řádu funkce z = x2
v bodě [1, 0].
Řešení
• Parciální derivace podle x v bodě [1, 0]
∂f(x,y)
∂x → y = konst → ∂f(x, y)
∂x → derivujeme jako obyčejnou derivaci podle x
zx =
∂x2
∂x
= 2x
a dosadíme souřadnice bodu [1, 0]
zx(1, 0) = 2 · 1 = 2.
• Parciální derivace podle y v bodě [1, 0]
∂f(x,y)
∂y → x = konst → ∂f(x, y)
∂y derivujeme jako obyčejnou derivaci podle y
zy =
∂x2
∂y
= 0,
3
Parciální derivace – příklad 1
Příklad 1. Vypočtěte parciální derivace 1. řádu funkce z = x2
v bodě [1, 0].
Řešení
• Parciální derivace podle x v bodě [1, 0]
∂f(x,y)
∂x → y = konst → ∂f(x, y)
∂x → derivujeme jako obyčejnou derivaci podle x
zx =
∂x2
∂x
= 2x
a dosadíme souřadnice bodu [1, 0]
zx(1, 0) = 2 · 1 = 2.
• Parciální derivace podle y v bodě [1, 0]
∂f(x,y)
∂y → x = konst → ∂f(x, y)
∂y derivujeme jako obyčejnou derivaci podle y
zy =
∂x2
∂y
= 0,
zy(1, 0) = 0.
Zpět Dok Dok
4
Geometrický význam výpočtu, popis k obrázku 1
Parciální derivace podle x v bodě [1, 0]
• y = konst → šedá rovina „fx: rovina“ procházející modře vyznačeným bodem [1, 0]
• „fx: rovina“ protíná graf funkce → žlutá křivka „ fx: řez “
• V tuto chvíli počítáme obyčejnou derivaci podle x:
∂f(x, y)
∂x → směrnice tečny ke žluté křivce „ fx: řez “ v bodě [1, 0]
Směrnice tečny = tangens úhlu, který svírá tečna s rovinou xy → tangens úhlu
mezi přímkami „fx: tečna“ a „fx: průmět tečny“ . . . zx(1, 0) = 2.
4
Geometrický význam výpočtu, popis k obrázku 1
Parciální derivace podle x v bodě [1, 0]
• y = konst → šedá rovina „fx: rovina“ procházející modře vyznačeným bodem [1, 0]
• „fx: rovina“ protíná graf funkce → žlutá křivka „ fx: řez “
• V tuto chvíli počítáme obyčejnou derivaci podle x:
∂f(x, y)
∂x → směrnice tečny ke žluté křivce „ fx: řez “ v bodě [1, 0]
Směrnice tečny = tangens úhlu, který svírá tečna s rovinou xy → tangens úhlu
mezi přímkami „fx: tečna“ a „fx: průmět tečny“ . . . zx(1, 0) = 2.
Parciální derivace podle y v bodě [1, 0]
• x = konst → šedá rovina „fy: rovina“ procházející modře vyznačeným bodem [1, 0]
• „fy: rovina“ protíná graf funkce → žlutá přímka, která je již přímo tečnou, proto
označení „ fy: řez = tečna “
• Výpočet obyčejné derivace podle y:
∂f(x), y
∂y → směrnice tečny ke žluté křivce „ fy: řez = tečna “ v bodě [1, 0]
Směrnice tečny = tangens úhlu, který svírá tečna s rovinou xy → tangens úhlu
mezi přímkami „ fy: řez = tečna “ a „fy: průmět tečny“. Tyto přímky jsou rovnoběžky,
tedy zy(1, 0) = 0.
Zpět Dok Dok
5
Parciální derivace – geometrický význam, příklad 1
Obrázek 1: Funkce z = x2
a její parciální derivace 1. řádu v bodě [1, 0].
Zpět Dok Dok
6
Parciální derivace – příklad 2
Příklad 2. Vypočtěte parciální derivace 1. řádu funkce z = x2 + y2 v bodě [1, 1].
6
Parciální derivace – příklad 2
Příklad 2. Vypočtěte parciální derivace 1. řádu funkce z = x2 + y2 v bodě [1, 1].
Řešení
• Parciální derivace podle x v bodě [1, 1]
∂f(x,y)
∂x → y = konst → ∂f(x, y)
∂x → derivujeme jako obyčejnou derivaci podle x
6
Parciální derivace – příklad 2
Příklad 2. Vypočtěte parciální derivace 1. řádu funkce z = x2 + y2 v bodě [1, 1].
Řešení
• Parciální derivace podle x v bodě [1, 1]
∂f(x,y)
∂x → y = konst → ∂f(x, y)
∂x → derivujeme jako obyčejnou derivaci podle x
zx =
∂ x2 + y2
∂x
=
1
2
·
1
x2 + y2
· 2x =
x
x2 + y2
6
Parciální derivace – příklad 2
Příklad 2. Vypočtěte parciální derivace 1. řádu funkce z = x2 + y2 v bodě [1, 1].
Řešení
• Parciální derivace podle x v bodě [1, 1]
∂f(x,y)
∂x → y = konst → ∂f(x, y)
∂x → derivujeme jako obyčejnou derivaci podle x
zx =
∂ x2 + y2
∂x
=
1
2
·
1
x2 + y2
· 2x =
x
x2 + y2
a dosadíme souřadnice bodu [1, 1]
zx(1, 1) =
1
√
12 + 12
=
1
√
2
.
6
Parciální derivace – příklad 2
Příklad 2. Vypočtěte parciální derivace 1. řádu funkce z = x2 + y2 v bodě [1, 1].
Řešení
• Parciální derivace podle x v bodě [1, 1]
∂f(x,y)
∂x → y = konst → ∂f(x, y)
∂x → derivujeme jako obyčejnou derivaci podle x
zx =
∂ x2 + y2
∂x
=
1
2
·
1
x2 + y2
· 2x =
x
x2 + y2
a dosadíme souřadnice bodu [1, 1]
zx(1, 1) =
1
√
12 + 12
=
1
√
2
.
• Parciální derivace podle y v bodě [1, 1]
∂f(x,y)
∂y → x = konst → ∂f(x, y)
∂y derivujeme jako obyčejnou derivaci podle y
6
Parciální derivace – příklad 2
Příklad 2. Vypočtěte parciální derivace 1. řádu funkce z = x2 + y2 v bodě [1, 1].
Řešení
• Parciální derivace podle x v bodě [1, 1]
∂f(x,y)
∂x → y = konst → ∂f(x, y)
∂x → derivujeme jako obyčejnou derivaci podle x
zx =
∂ x2 + y2
∂x
=
1
2
·
1
x2 + y2
· 2x =
x
x2 + y2
a dosadíme souřadnice bodu [1, 1]
zx(1, 1) =
1
√
12 + 12
=
1
√
2
.
• Parciální derivace podle y v bodě [1, 1]
∂f(x,y)
∂y → x = konst → ∂f(x, y)
∂y derivujeme jako obyčejnou derivaci podle y
zy =
∂ x2 + y2
∂y
=
1
2
·
1
x2 + y2
· 2y =
y
x2 + y2
6
Parciální derivace – příklad 2
Příklad 2. Vypočtěte parciální derivace 1. řádu funkce z = x2 + y2 v bodě [1, 1].
Řešení
• Parciální derivace podle x v bodě [1, 1]
∂f(x,y)
∂x → y = konst → ∂f(x, y)
∂x → derivujeme jako obyčejnou derivaci podle x
zx =
∂ x2 + y2
∂x
=
1
2
·
1
x2 + y2
· 2x =
x
x2 + y2
a dosadíme souřadnice bodu [1, 1]
zx(1, 1) =
1
√
12 + 12
=
1
√
2
.
• Parciální derivace podle y v bodě [1, 1]
∂f(x,y)
∂y → x = konst → ∂f(x, y)
∂y derivujeme jako obyčejnou derivaci podle y
zy =
∂ x2 + y2
∂y
=
1
2
·
1
x2 + y2
· 2y =
y
x2 + y2
a dosadíme souřadnice bodu [1, 1]
zy(1, 1) =
1
√
12 + 12
=
1
√
2
.
6
Parciální derivace – příklad 2
Příklad 2. Vypočtěte parciální derivace 1. řádu funkce z = x2 + y2 v bodě [1, 1].
Řešení
• Parciální derivace podle x v bodě [1, 1]
∂f(x,y)
∂x → y = konst → ∂f(x, y)
∂x → derivujeme jako obyčejnou derivaci podle x
zx =
∂ x2 + y2
∂x
=
1
2
·
1
x2 + y2
· 2x =
x
x2 + y2
a dosadíme souřadnice bodu [1, 1]
zx(1, 1) =
1
√
12 + 12
=
1
√
2
.
• Parciální derivace podle y v bodě [1, 1]
∂f(x,y)
∂y → x = konst → ∂f(x, y)
∂y derivujeme jako obyčejnou derivaci podle y
zy =
∂ x2 + y2
∂y
=
1
2
·
1
x2 + y2
· 2y =
y
x2 + y2
a dosadíme souřadnice bodu [1, 1]
zy(1, 1) =
1
√
12 + 12
=
1
√
2
.
Zpět Dok Dok
7
Parciální derivace – geometrický význam, příklad 2
Na obrázku 2 je zobrazena tečná rovina y = konst (šedá rovina) a její průnik s grafem
funkce (žlutá křivka). V modře vyznačeném bodě počítáme parciální derivaci podle x, což
je tangens úhlu, který svírá tečná rovina s rovinou xy (úhel mezi černými přímkami).
Obrázek 2: Graf funkce z = x2 + y2 a její parciální
derivace 1. řádu podle x v bodě [1, 1].
Zpět Dok Dok
8
Parciální derivace – příklad 3
Příklad 3. Vypočtěte parciální derivaci 1. řádu funkce z = ln x2 + y2 podle x.
8
Parciální derivace – příklad 3
Příklad 3. Vypočtěte parciální derivaci 1. řádu funkce z = ln x2 + y2 podle x.
Řešení
Parciální derivace podle x
∂f(x,y)
∂x → y = konst → ∂f(x, y)
∂x → derivujeme jako obyčejnou derivaci podle x (využijeme
výsledku z příkladu 2)
8
Parciální derivace – příklad 3
Příklad 3. Vypočtěte parciální derivaci 1. řádu funkce z = ln x2 + y2 podle x.
Řešení
Parciální derivace podle x
∂f(x,y)
∂x → y = konst → ∂f(x, y)
∂x → derivujeme jako obyčejnou derivaci podle x (využijeme
výsledku z příkladu 2)
zx =
∂ ln x2 + y2
∂x
=
1
x2 + y2
·
x
x2 + y2
=
x
x2 + y2
.
8
Parciální derivace – příklad 3
Příklad 3. Vypočtěte parciální derivaci 1. řádu funkce z = ln x2 + y2 podle x.
Řešení
Parciální derivace podle x
∂f(x,y)
∂x → y = konst → ∂f(x, y)
∂x → derivujeme jako obyčejnou derivaci podle x (využijeme
výsledku z příkladu 2)
zx =
∂ ln x2 + y2
∂x
=
1
x2 + y2
·
x
x2 + y2
=
x
x2 + y2
.
Parciální derivace – geometrický význam, příklad 3
Obdobná situace jako u příkladu 2, nyní ovšem počítáme parciální derivace podle x v obecném
bodě. Tento obecný bod je na obrázku 3 reprezentován jedním konkrétním (modrým)
bodem.
Zpět Dok Dok
9
Obrázek 3: Geometrický význam parciální derivace 1. řádu podle x
v bodě, graf funkce z = ln x2 + y2.
Zpět Dok Dok