Metoda nejmenších čtverců
Příklady ze skript
Příklad 1.
Užijte metody nejmenších čtverců k nalezení nejlepší lineární aproximace pro hodnoty
xi -1 1 3 5 7
fi 1 3 4 5 6
Příklad 2.
Pro hodnoty
xi 0,00 0,25 0,5 0,75 1,00
fi 1,0000 1,2840 1,6487 2,1170 2,7183
nalezněte nejlepší aproximaci polynomem 1. a 2: stupně.
(Řešení: P1(x) = l, 7078x + 0, 8997, P2(x) = 0.8435x2
+ 0.8643x + 1.0051)
Příklad 3.
Pro hodnoty v předchozím příkladě:
1. Užijte tříbodové formule a vypočtěte derivace v bodech 0,25; 0,5; 0,75. V každém případě položte
střed formule do toho bodu, v němž počítáte derivaci.
2. Užijte aproximace získané metodou nejmenších čtverců v předchozím příkladě a vypočtěte derivace
P2 v uvedených bodech.
3. Porovnejte výsledky s hodnotami derivace přesné funkce f(x) = ex
.
Další příklady
Příklad 1.
Užijte metody nejmenších čtverců k nalezení aproximace hodnot
xi 0 2 4 6 8 10 12
fi 1 2 1 -2 4 6 11
lomenou čarou (spojitá po částech lineární funkce), která má zlom v bodě 6.
Úkoly v Matlabu
Příklad 1.
Na předchozích příkladech ověřte, že řešení normálního systému AT
Ac = AT
f lze v Matlabu kromě
příkazu c=inv(A’*A)*A’*f spočítat také pomocí maticového dělení c=A\f.
Příklad 2.
Znázorněte graficky aproximační funkce pro předchozí příklady.
Příklad 3.
V souboru vyska divek.txt jsou hodnoty věku a výšek 100 dívek od 5 do 18 let. Předpokládáme, že
výška roste lineárně s věkem přibližně do 12 let, pak zůstává konstantní. Pomocí metody nejmenších
čtverců odhadněte přesnou závislost výšky na věku a pak určete průměrnou výšku ve věku 5 a 12 let.
Můžete využít program vyska.m, který načítá a zobrazuje data.
1
Příklad 4.
Obrázek 1 ukazuje data uložená v souboru ”data1.txt”(viz též program data1).
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
Obrázek 1: Data
Určete množinu funkcí, jejichž lineární kombinace dává nejlepší aproximaci dat (minimalizuje
reziduální součet čtverců) pomocí metody nejmenších čtverců.
a) {1, x, log x}
b) {1, x,
√
x}
c) {1, x, sin x}
d) {1, x, cos x}
e) {1, x, x2
}
Příklad 5.
V souboru lom cara.txt jsou uložena data, která leží kolem po částech lineární spojité funkce (lomené
čáry) se zlomem v bodě c = 2 (viz též obrázek 2 a program lom cara.m).
0 1 2 3 4 5
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Obrázek 2: Data kolem lomené čáry
Odhadněte rovnici funkce pomocí metody nejmenších čtverců.
2