Newtonova metoda
Příklady ze skript
Příklad 1.
Užitím Newtonovy metody vypočtěte
√
13. Zvolte vhodnou funkci a počáteční aproximaci.
Příklad 2.
Newtonovou metodou nalezněte řešení rovnice x = cos x.
Příklad 3.
Užitím Newtonovy metody s počáteční aproximací x0 = 10 vypočtěte
√
91.
Příklad 4.
Na parabole y = x2
najděte užitím Newtonovy metody bod nejbližší bodu (1, 3).
Návod:
1. Určete druhou mocninu vzdálenosti d2
(x) bodu X = (x, x2
) ležícího na parabole a bodu (1, 3).
2. Řešte rovnici (d2
(x))′
= f(x) = 0. Za počáteční aproximaci zvolte x0 = 1, 0.
Příklad 5.
Užijte Newtonovu metodu k nalezení kořenů funkcí
• x3
− 2x2
− 5 = 0, ξ ∈ [1, 4],
• x − 0,8 − 0,2 sin x = 0, ξ ∈ [0, π
2
],
• 3x2
− ex
= 0, ξ ∈ [0, 2].
Příklad 6.
Je dána rovnice 4x−7
x−2
= 0. Je x0 = 3 vhodná počáteční aproximace pro použití Newtonovy metody?
Příklad 7.
Je dána funkce f(x) = cos x. Newtonovou metodou chceme najít kořen ξ = 3π
2
. Můžeme použít
počáteční aproximaci x0
= 3? Proč?
Můžeme použít počáteční aproximaci x0 = 5? Proč?
Příklad 8.
Je dána funkce f(x) = (x − 3). Můžeme užít Newtonovu metodu pro nalezení kořene s počáteční
aproximací x0 = 4? Proč?
Jaká je vhodná počáteční aproximace?
Další příklady
Příklad 1.
Je dána rovnice 3x2
= ex
. Pokuste se najít všechna řešení s pomocí Newtonovy metody.
Příklad 2.
Funkce f(x) = x sin x má kořen v 0 a f′
(0) = 0. Ukažte, že Newtonova metoda přesto konverguje k 0
pro x0 = 1.
Dokažte, že řád konvergence je roven 1.
Příklad 3.
Funkce f(x) = 2−
√
x je klesající a konvexní (viz Fourierovy podmínky) na intervalu [0, 5]. Je x0 = 0
vhodná počáteční iterace?
1
Příklad 4.
Funkce f(x) = ex2+x3
− 2 má jediný kladný kořen. Nalezněte interval, v němž kořen leží a na kterém
jsou splněny Fourierovy podmínky pro konvergenci Newtonovy metody. Tyto podmínky ověřte. Pak
zvolte vhodně počáteční iteraci (a spočtěte další tři iterace pomocí Newtonovy metody).
Příklad 5.
Uvažujme Newtonovu metodu pro funkci f(x) = xe− 1
|x| . Ukažte, že pro x0 = 1 platí xn = 1
n+1
.
Příklad 6.
Vyzkoušejte Newtonovu metodu na funkci f(x) = |x|.
Úkoly v Matlabu
Příklad 1.
Dokončete program newton dodelat a otestujte jej na různých příkladech.
Příklad 2.
Vyzkoušejte dokončený program newton na funkci f(x) = 2 −
√
x s počáteční iterací x0 = 0 (viz
příklad 3 v předchozí části). Vysvětlete chování programu.
Příklad 3.
S použitím programu RNR vyzkoušejte grafickou demonstraci Newtonovy metody na různých příkla-
dech.
2