Polynomiální interpolace
Příklady ze skript
Příklad 1.
Najděte Lagrangeův interpolační polynom, je-li dáno
xi 0 1 2 5
fi 2 3 12 147
.
Vyzkoušejte přímý výpočet Lagrangeových fundamentálních polynomů i výpočet s využitím funkce
ωn+1 a Hornerova schematu. (P3(x) = x3
+ x2
− x + 2.)
Příklad 2.
S jakou přesností lze vypočítat
√
115 pomocí Lagrangeova interpolačního polynomu pro funkci y =√
x, když vybereme za uzly interpolace x0 = 100, x1 = 121, x2 = 144?
(|E(115)| ≤ 1,6.10−3
.)
Příklad 3.
Nechť li, i = 0, 1, . . . , n jsou Lagrangeovy fundamentální polynomy pro uzly x0,. . . ,xn. Dokažte:
1. Je-li li(0) = ci, i = 0, 1, . . . , n, pak
n
i=0
cixj
i =



1 pro j = 0
0 pro j = 1, 2, . . . , n
(−1)n
x0x1 . . . xn pro j = n + 1
(Návod: Využijte jednoznačnosti interpolačního polynomu. Pro poslední rovnost využijte první příklad
z následující části.)
Příklad 4.
Najděte Newtonův interpolační polynom, je-li dáno
xi 0 2 3 5
fi 1 3 2 5
(P3(x) = 3
10
x3
− 13
6
x2
+ 62
15
x + 1.)
Další příklady
Příklad 1.
Polynom Q(x) = xn+1
můžeme pro uzly x0,. . . ,xn vyjádřit jako Q(x) = ωn+1(x) + P(x), kde stupeň
polynomu P je nejvýše roven n. Ukažte, že P je interpolační polynom funkce Q na uzlech x0,. . . ,xn.
Příklad 2.
Pro přibližný výpočet sin 1 použije interpolační polynom a uzly
a) π
6
, π
3
b) π
6
, π
3
, π
2
c) 0, π
6
, π
3
, π
2
Jaká je maximální chyba v jednotlivých případech?
Úkoly v Matlabu
Příklad 1.
Dokončete program LIP dodelat a otestujte jej na předchozích příkladech.
1
Příklad 2.
Pro různé funkce na stejných uzlech využijte matici Lagrangeových fundamentálních polynomů, kterou
jako druhý výstupní argument vrací program LIP.
Příklad 3.
Vyzkoušejte interpolaci v situacích, kdy nedává dobré výsledky (např. funkce f(x) = |x|, polynom
vysokého stupně apod).
Příklad 4.
Bonusový úkol:
Pokuste se vytvořit v Matlabu program pro Newtonův interpolační polynom s použitím pouze jediného
cyklu.
2