Systémy nelineárních rovnic
Příklady ze skript
Příklad 1.
Uvažujme systém nelineárních rovnic
x1 =
2x1 − x2
1 + x2
2
(parabola),
x2 =
2x1 − x2
1 + 8
9
+
4x2 − x2
2
4
(elipsa).
Zvolte x0
= (1,4; 2,0)T
a vypočtěte 2 iterace
1. iterační metodou xk
= G(xk−1
),
2. Seidelovou metodou.
Výsledky porovnejte s přesným řešením ξ
.
= (1,4076401; 1,9814506)T
.
Příklad 2.
Je dána soustava nelineárních rovnic
x1 =
7x3
1 − x2 − 1
10
≡ g1(x1, x2)
x2 =
8x3
2 + x1 − 1
11
≡ g2(x1, x2)
Tato soustava má 9 pevných bodů.
Ověřte, že v okolí bodu (0,0) splňuje tato soustava podmínku pro konvergenci iteračního procesu
xk+1
1 = g1(xk
1, xk
2)
xk+1
2 = g2(xk
1, xk
2)
.
Bude tato podmínka splněna v okolí bodu (1,1)?
Příklad 3.
Je dán systém nelineárních rovnic
x2
1 − x2 − 0,2 = 0,
x2
2 − x1 − 0,3 = 0.
Užitím Newtonovy metody nalezněte kořen ležící v 1. kvadrantu. Počáteční aproximaci určete graficky.
(x0
= (1,2; 1,2)T
)
Další příklady
Příklad 1.
Střelec vystřelí projektil směrem na pohybující se terč, který je v okamžiku výstřelu 50 m daleko
a 80 m vysoko a pohybuje se směrem od střelce ve vodorovném směru. Jeho počáteční rychlost je
v1 = 2 m/s a má zrychlení a = 1 m/s2
. Projektil má počáteční rychlost v2 = 100 m/s, gravitační
zrychlení je g = 10 m/s2
, odpor vzduchu zanedbáme. Pod jakým úhlem θ musí střelec vystřelit
směrem k terči, aby ho zasáhl? Použijte Newtonovu metodu pro nalezení obou řešení a určete také
čas do zásahu pro jednotlivé případy.
Pohybové rovnice (s – vodorovná vzdálenost, h – výška)
terč: s1 = v1t + 1
2
at2
, h1 = 80
projektil: s2 = v2t cos θ, h2 = v2t sin θ − 1
2
gt2
.
Zásah nastane pro s2 = s1 + 50, h2 = h1.
1
Příklad 2.
Použijte Newtonovu metodou na první dva příklady z předchozí části.
Příklad 3.
Problém zkřížených žebříků
Dva žebříky o délkách 2 a 3 metry jsou opřeny v uličce mezi dvěma zdmi a to tak, že každý z nich
stojí u jedné zdi a opírá se o druhou. Žebříky se kříží ve výšce 1 metr. Jaká je šířka uličky?
Návod: Pokud označíme x šířku uličky, y a z výšky, ve kterých se žebříky opírají, získáme z podobnosti
trojúhelníků a z Pythagorovy věty systém tři rovnic pro x, y a z, který můžeme vyřešit Newtonovou
metodou.
Úkoly v Matlabu
Příklad 1.
S pomocí funkce contour zobrazte křivky v předchozích příkladech pro systémy dvou rovnic a na
základě obrázků najděte vhodné počáteční iterace pro jednotlivá řešení.
Příklad 2.
Zjistěte, jak funguje funkce jacobian pro symbolické výpočty v Matlabu a s její pomocí dokončete
program newton sys2 dodelat. Pak jej otestujte jej na výše uvedených příkladech pro systémy dvou
rovnic.
2