Numerické integrování
Příklady ze skript
Příklad 1.
Určete koeficienty A0, A1, A2 tak, aby přesnost kvadraturní formule
1
−1
f(x) dx ≈ A0f −1
2
+ A1f(0) + A2f 1
2
byla alespoň 2.
(A0 = 4
3
, A1 = −2
3
, A2 = 4
3
.)
Příklad 2.
Určete koeficienty A0, A1 a uzel x0 pro formuli
1
0
√
xf(x) dx ≈ A0f(x0) + A1f(1).
(A0 = 7
15
, A1 = 1
5
, x0 = 3
7
.)
Příklad 3.
Určete algebraicky neznámé uzly x0, x1 a koeficienty A0, A1 pro formuli
π
0
sin xf(x) dx ≈ A0f(x0) + A1f(x1)
tak, aby bylo dosaženo maximálního stupně přesnosti.
(A0 = A1 = 1, x0,1 =
π
2
±
π2
4
− 2. )
Příklad 4.
Odvoďte Newtonovu-Cotesovu formuli otevřeného typu pro interval [−2, 3] s krokem h = 1.
(
3
−2
f(x) dx ≈ 5
24
(11f(−1) + f(0) + f(1) + 11f(2)))
Příklad 5.
Odvoďte Newtonovu-Cotesovu formuli uzavřeného typu pro interval [a, b] a n = 3 (tzv. pravidlo 3/8).
b
a
f(x) dx ≈
b − a
8
f(a) + 3f a +
b − a
3
+ 3f a +
b − a
3
+ f(b)
Příklad 6.
Aproximujte integrál π
4
0
sin x dx = 1 −
√
2
2
a) obdélníkovým, b) lichoběžníkovým, c) Simpsonovým pravidlem.
( a) 0,30055887, b) 0,27768018, c) 0,29293264. )
Příklad 7.
Následující integrály vypočtěte a) lichoběžníkovým, b) Simpsonovým pravidlem. Výsledky porovnejte
s přesnými hodnotami
1.
2
1
ln x dx, 2.
0,1
0
x
1
3 dx, 3.
π
3
0
(sin x)2
dx.
( a) 1. 0,34657, 2. 0,023208, 3. 0,39270,
b) 1. 0,38583, 2. 0,032296, 3. 0,30543. )
1
Příklad 8.
Užijte a) složeného lichoběžníkového, b) složeného Simpsonova pravidla pro výpočet integrálů:
1.
3
0
x
√
1 + x2 dx, M = 6,
2.
1
0
sin πx dx, M = 6,
3.
2π
0
x sin x dx, M = 8,
4.
1
0
x2
ex
dx, M = 8.
Porovnejte získané aproximace s přesnými hodnotami.
( a) 1. 10,3122, 2. 0,62201, 3. −5,9568, 4. 0,72889,
b) 1. 10,20751, 2. 0,6366357, 3. −6,284027, 4. 0,7182830. )
Úkoly v Matlabu
Příklad 1.
Dokončete program SLP dodelat pro numerické integrování pomocí složeného lichoběžníkového pravidla
a otestujte jej na vhodných příkladech.
Příklad 2.
Dokončete program SSP dodelat pro numerické integrování pomocí složeného Simpsonova pravidla
a otestujte jej na vhodných příkladech.
Příklad 3.
Použijte program SLP na přibližný výpočet
π/2
0
sin2
xdx pro různý počet subintervalů. Měla by vždy
vyjít přesná hodnota π
4
. Vysvětlete.
Příklad 4.
Použijte na přibližný výpočet
π/2
0
sin2
xdx složené obdélníkové pravidlo pro různý počet subintervalů.
Bude opět vycházet přesná hodnota π
4
?
2