Numerická optimalizace
Příklady
Příklad 1.
Je možné použít metodu půlení intervalu a metodu zlatého řezu pro numerické hledání minima
klesající funkce? Pokud ano, co pak můžeme říci o posloupnostech generovaných metodami?
Příklad 2.
Použijte metodu půlení intervalu na nalezení minima funkce ex
sin x na intervalu [4, 6), spočtěte aspoň
3 iterace.
Příklad 3.
Použijte metodu zlatého řezu na nalezení minima funkce ex
sin x na intervalu [4, 6), spočtěte aspoň 3
iterace.
Příklad 4.
Použijte metodu kvadratické interpolace na nalezení minima funkce ex
sin x na intervalu [4, 6), spočtěte
aspoň 3 iterace.
Příklad 5.
Použijte Newtonovu metodu na nalezení minima funkce ex
sin x na intervalu [4, 6), spočtěte aspoň 3
iterace. Je x0 = 4 vhodná počáteční iterace? K čemu konverguje metoda v tomto případě?
Příklad 6.
Jak bude fungovat Newtonova metoda pro nalezení minima funkce pro polynom 2. stupně?
Úkoly v Matlabu
Příklad 1.
Dokončete program bisekmin dodelat pro numerickou minimalizaci pomocí metody půlení intervalu
a otestujte jej na vhodných příkladech.
Příklad 2.
Vyzkoušejte program GRmin pro numerickou minimalizaci pomocí metody zlatého řezu pro hledání
minima funkce cos x na intervalu [2, 4] (minimum je v bodě π). Použijte postupně přesnost výpočtu
10−3
, 10−6
a 10−9
. Zkuste zjistit, proč metoda selhává pro poslední hodnotu a opravit program.
Příklad 3.
Použijte metodu kvadratické minimalizace na hledání minima funkce | sin x| na intervalu [2, 4] (minimum
je v bodě π). Čím jsou způsobeny problémy při použití této metody?
1
Příklad 4.
V souboru lom cara.txt jsou uložena data, která leží kolem po částech lineární spojité funkce (lomené
čáry) se zlomem v neznámém bodě c ∈ [2, 3] (viz též obrázek 1 a program lom cara.m).
0 1 2 3 4 5
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Obrázek 1: Data kolem lomené čáry
Odhadněte bod zlomu i rovnici funkce pomocí metody nejmenších čtverců.
Návod: Určete rovnici lomené čáry (viz též cvičení k metodě nejmenších čtverců), která nelineárně
závisí na bodu zlomu c a určete reziduální součet čtverců jakožto funkci c. Pak numericky najděte
minimum této funce.
2