Prostá iterační metoda (metoda pevného bodu)
Příklady ze skript
Příklad 1.
Funkce f(x) = x3
+ 4x2
− 10 má jediný kořen v intervalu [1; 1,5]. Uvažujte tyto iterační funkce pro
nalezení kořene (ξ ≈ 1,365230013):
g1(x) = x − x3
− 4x2
+ 10 g4(x) =
10
4 + x
1
2
g2(x) =
10
x
− 4x
1
2
g5(x) = x −
x3
+ 4x2
− 10
3x2 + 8x
g3(x) =
1
2
(10 − x3
)
1
2
Nechť počáteční aproximace x0 = 1,5. Ukažte, že funkce g3, g4, g5 jsou vhodné iterační funkce (tj.
posloupnost iterací konverguje ke kořenu ξ). Dále ukažte, že volba funkce g1 vede na divergentní
posloupnost a posloupnost {xk}, xk = g2(xk−1), x0 = 1,5, není definována (v oboru reálných čísel).
Příklad 2.
Ukažte, že funkce g(x) = 2−x
má jediný pevný bod v intervalu [1
3
; 1]. Najděte tento pevný bod
s chybou menší než 10−4
. Kolik iterací je třeba k dosažení této přesnosti?
(Řešení: Pro x0 = 1 je třeba 15 iterací.)
Příklad 3.
Je dána rovnice 3x2
− ex
= 0. Určete interval, ve kterém leží záporný kořen této rovnice. Najděte
vhodnou iterační funkci g, pro kterou iterační metoda xk+1 = g(xk) bude konvergovat k tomuto
kořenu.
Doplňující otázka: Kolik je kladných kořenů a jaké budou vhodné iterační funkce pro konvergenci
k nim?
Příklad 4.
Je dána rovnice 3x3
− x − 1 = 0. Určete interval, ve kterém leží kladný kořen této rovnice. Najděte
vhodnou iterační funkci g, pro kterou iterační metoda xk+1 = g(xk) bude konvergovat k tomuto
kladnému kořenu.
Příklad 5.
Je dána iterační funkce g(x) = (6 + x)1/2
. Pevný bod je ξ = 3. Znázorněte geometricky příslušný
iterační proces xk+1 = g(xk), x0 = 7. Bude tento iterační proces konvergovat?
Příklad 6.
Ukažte, že iterační funkce
g(x) =
1
2
x +
2
x
splňuje podmínky pro výpočet
√
2. Jaký tvar má funkce g pro výpočet
√
a, a > 0?
Příklad 7.
Je možné použít prostou iterační metodu v případě, že funkce g zobrazuje interval I = [a, b] do sebe
a platí |g′
(x)| ≤ 1, přičemž rovnost nastává pouze v některém z krajních bodů intervalu I? Proč?
1
Další příklady
Příklad 1.
Je dána iterační funkce g(x) = 1
6
(7 − x3
) − 1
2
(x − x2
).
(i) Ukažte, že x = 1 je pevný bod funkce g.
(ii) Ukažte, že funkce g je kontrakce na intervalu [0, 2].
(iii) Určete řád konvergence metody pevného bodu dané vztahem xk+1 = g(xk) na intervalu [0, 2].
Příklad 2.
Ukažte, že iterační funkce
g(x) =
A
2(x + 1) − A
, A > 0
má jediný kladný pevný bod ξ = A
2
. Určete, pro jaké hodnoty parametru A je funkce g kotrakce.
Úkoly v Matlabu
Příklad 1.
Vyzkoušejte programy fix p a demo fix p na různých iteračních funkcích (cos x, 2−x
, . . . ).
Příklad 2.
Pro iterační funkci g(x) = 3x(1 − x) a počáteční iteraci 0.5 zjistěte s použitím programu fix p, kolik
iterací je potřeba pro dosažení přesnosti 0.001.
Příklad 3.
Použijte iterační funkci g(x) = x − x2−11
K
pro numerické hledání
√
11. Iterační proces demonstrujte
pomocí programu demo fix p pro různé hodnoty konstanty K. Pokuste se určit takovou hodnotu,
pro niž je konvergence nejrychlejší.
Příklad 4.
S použitím programu RNR vyzkoušejte grafickou demonstraci prosté iterační metody na různých
příkladech.
2