Príklad 1. Odhadnite funkčné hodnoty distribučnej funkcie štandardizovaného normálneho
rozdelenia
f(x) =
1
√
2π
x
−∞
e−1
2
t2
dt.
Vzhľadom k tomu, že platí
f (x) =
1
√
2π
e−1
2
x2
, f (x) =
1
√
2π
e−1
2
x2
· (−x),
je funkcia f(x) riešením lineárnej diferenciálnej rovnice druhého rádu
f (x) + xf (x) = 0.
Funkčné hodnoty odhadneme na intervale [0, 5]. Nech x0 = 0, x1, . . . , xn−1, xn = 5 je n+1 ekvidištantných
uzlov na tomto intervale. Prvú a druhú deriváciu funkcie f vo vnútorných uzloch
x1, . . . , xn−1 aproximujeme pomocou jej funkčných hodnôt f0, . . . , fn a pomocou nasledujúcich
formúl:
f (xi) ≈
fi+1 − fi−1
2h
, f (xi) ≈
fi−1 − 2fi + fi+1
h2
, i ∈ {1, . . . , n − 1}.
To nás privedie k n−1 lineárnym rovniciam pre n+1 neznámych funkčných hodnôt f0, . . . , fn:
f (xi) + xif (xi) = 0,
fi−1 − 2fi + fi+1
h2
+ xi
fi+1 − fi−1
2h
= 0,
(2 − hxi)fi−1 − 4fi + (2 + hxi)fi+1 = 0, i ∈ {1, . . . , n − 1}.
Zvyšné dve rovnice dostaneme z okrajových podmienok: f0 = 1/2 a vzhľadom k tomu, že
limx→∞ f(x) = 1, môžeme použiť fn = 1. Stačí už len zvoliť n a príslušný systém rovníc
vyriešiť.
function[x]= int_exp_dif(n,a)
h=a/n;
A=-4*eye(n+1) +2* diag ([ ones(1,n-1) 0],-1)-h*diag ([h:h:(a-h) 0],-1)
+2* diag ([0 ones(1,n-1)],1)+h*diag ([0 h:h:(a-h)],1);
A(1,1) =1;
A(n+1,n+1) =1;
b=zeros(n+1,1);
b(1,1) =1/2;
b(n+1,1) =1;
x=linsolve(A,b);
end
x=int_exp_dif (5,5);
t=linspace (0,5,6);
plot(t,x,'r-','LineWidth ' ,1.5)
1
hold on
x=int_exp_dif (10 ,5);
t=linspace (0,5,11);
plot(t,x,'-','Color ','[0.929 0.694 0.125] ','LineWidth ' ,1.5)
x=int_exp_dif (20 ,5);
t=linspace (0,5,21);
plot(t,x,'g-','LineWidth ' ,1.5)
legend('n=5','n=10','n=20','Location ','southeast ')
t=linspace (0 ,5 ,100);
plot(t,erf(t/sqrt (2))/2+1/2 ,'b-','DisplayName ','Phi(x)','
LineWidth ' ,1.5);
0 1 2 3 4 5
0.5
0.55
0.6
0.65
0.7
0.75
0.8
0.85
0.9
0.95
1
n=5
n=10
n=20
Phi(x)
v
Príklad 2. Odhadnite funkčné hodnoty Fresnelových integrálov
x(t) =
t
0
cos(s2
) ds, y(t) =
t
0
sin(s2
) ds.
Vzhľadom k tomu, že platí
x (t) = cos(t2
), x (t) = −2t sin(t2
),
y (t) = sin(t2
), y (t) = 2t cos(t2
),
2
sú funkcie x(t) a y(t) riešením systému dvoch lineárnych diferenciálnych rovníc druhého rádu
x (t) + 2ty (t) = 0,
y (t) − 2tx (t) = 0.
Funkčné hodnoty odhadneme na intervale [−7, 7]. Nech t−n, . . . , tn je 2n + 1 ekvidištantných
uzlov na tomto intervale. Prvú a druhú deriváciu funkcií x a y vo vnútorných uzloch aproximujeme
rovnako ako v predošlom príklade. To nás privedie k nasledujúcemu systému 4n − 2
lineárnych rovníc pre 4n + 2 neznámych funkčných hodnôt x−n, . . . , xn a y−n, . . . , yn:
xi−1 − 2xi + xi+1
h2
+ 2ti
yi+1 − yi−1
2h
= 0, i ∈ {−n + 1, . . . , n − 1}
yi−1 − 2yi + yi+1
h2
− 2ti
xi+1 − xi−1
2h
= 0, i ∈ {−n + 1, . . . , n − 1},
ktorý má po úprave tvar
xi−1 − 2xi + xi+1 + hti(yi+1 − yi−1) = 0, i ∈ {−n + 1, . . . , n − 1}
yi−1 − 2yi + yi+1 − hti(xi+1 − xi−1) = 0, i ∈ {−n + 1, . . . , n − 1},
Vďaka limitným vzťahom
lim
t→±∞
x(t) = ±
π
8
, lim
t→±∞
y(t) = ±
π
8
môžeme dodefinovať zvyšné štyri rovnice nasledujúcim spôsobom:
x−n = −
π
8
, xn =
π
8
, y−n = −
π
8
, yn =
π
8
.
function[x]= fresnel_num_dif(n,a)
h=a/n;
A11=( diag ([ ones (1,2*n-1) 0],-1)+diag ([1 -2*ones (1,2*n-1) 1])+diag
([0 ones (1,2*n-1)],1));
A12=-h*diag ([((-a+h):h:(a-h)) 0],-1)+h*diag ([0 ((-a+h):h:(a-h))
],1);
A=[A11 A12;-A12 A11];
b=zeros (4*n+2,1);
b(1,1)=-sqrt(pi/8);
b(2*n+1,1)=sqrt(pi/8);
b(2*n+2,1)=-sqrt(pi/8);
b(4*n+2,1)=sqrt(pi/8);
x=linsolve(A,b);
end
3
x=fresnel_num_dif (25 ,7);
plot(x(1:(2*25+1) ,1),x((2*25+2) :(4*25+2) ,1),'r-')
hold on
x=fresnel_num_dif (50 ,7);
plot(x(1:(2*50+1) ,1),x((2*50+2) :(4*50+2) ,1),'-','Color ','[0.929
0.694 0.125] ')
x=fresnel_num_dif (1000 ,7);
plot(x(1:(2*1000+1) ,1),x((2*1000+2) :(4*1000+2) ,1),'g-')
legend('n=50','n=100 ','n=1000 ','Location ','northwest ')
t=linspace (-7,7,800);
plot(sqrt(pi/2)*fresnelc(sqrt (2/pi)*t),sqrt(pi/2)*fresnels(sqrt
(2/pi)*t),'b-','DisplayName ','Fresnel ');
-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
n=25
n=50
n=1000
Fresnel
Fresnelove integrály evidentne konvergujú dosť pomaly a interval [−7, 7] nie je dosť široký na
to, aby sme v jeho krajných bodoch mohli ako okrajové podmienky použiť ich limitné hodnoty.
Navyše ak nás zaujíma len tvar počiatočnej časti krivky, môžeme odhadnúť hodnoty Fresnelových
integrálov v krajných bodoch užšieho intervalu a tie použiť ako okrajovú podmienku.
Zameriame sa na interval [−1, 1] a odhad uskutočníme pomocou Taylorovho rozvoja funkcií
sin(x2
) a cos(x2
).
Pripomeňme, že funkcia sínus sa dá na celom svojom definičnom obore rozvinúť do svojho
Taylorovho radu:
sin(x) = x −
x3
3!
+
x5
5!
−
x7
7!
+ · · · =
∞
n=0
(−1)n
(2n + 1)!
x2n+1
.
4
Taylorov rad funkcie sin(x2
) má preto tvar
T(x) = x2
−
x6
3!
+
x10
5!
−
x14
7!
+ · · · =
∞
n=0
(−1)n
(2n + 1)!
x4n+2
.
Dá sa ukázať, že v každom bode x ∈ R platí T(x) = sin(x2
). Integrujme:
1
0
sin(t2
) dt =
1
0
∞
n=0
(−1)n
(2n + 1)!
t4n+2
dt =
∞
n=0
1
0
(−1)n
(2n + 1)!
t4n+2
dt
=
∞
n=0
(−1)n
(2n + 1)!(4n + 3)
t4n+3
1
0
=
∞
n=0
(−1)n
(2n + 1)!(4n + 3)
.
Uvedený rad je alternujúci a pre chybu aproximácie n-tým čiastočným súčtom máme horný
odhad:
1
0
sin(t2
) dt − sn < |an+1| .
Zvoľme presnosť 10−4
, takže potrebujeme nájsť n, pre ktoré platí |an+1| < 10−4
:
1
(2n + 3)!(4n + 7)
< 10−4
(2n + 3)!(4n + 7) > 104
Zrejme prvé n, pre ktoré táto rovnosť platí je n = 2. Určme teda približnú hodnotu integrálu:
1
0
sin(t2
) dt ≈
2
n=0
(−1)n
(2n + 1)!(4n + 3)
=
1
3
−
1
42
+
1
120 · 11
=
13 · 20 · 11 + 7
7 · 120 · 11
= 0, 310281385
≈ 0, 31028.
Podobne by sme sa dopracovali aj k odhadu x(1) ≈ 0, 90452.
-1 -0.5 0 0.5 1
-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
n=5
n=10
n=20
Fresnel
Krivka (x(t), y(t)) sa používa pri stavbe ciest a železníc. v
5