M6150 Funkcionálna analýza I
Lineárne priestory
Peter Šepitka
leto 2023
Obsah
1 Normované lineárne priestory
2 Unitárne lineárne priestory
3 Klasifikácia Hilbertových priestorov
Norma Súčin Hilbert
Obsah
1 Normované lineárne priestory
2 Unitárne lineárne priestory
3 Klasifikácia Hilbertových priestorov
Norma Súčin Hilbert
Symbolom T budeme označovať teleso reálnych, resp. komplexných čísiel.
Definícia 1 (Normovaný lineárny priestor)
Nech X je lineárny priestor nad T a · : X → [0, ∞) je zobrazenie, ktoré pre
každú dvojicu vektorov x, y ∈ X a každý skalár λ ∈ T spĺňa podmienky
N1 x = 0 práve vtedy, keď x = 0;
N2 λ x = |λ| x (homogenita);
N3 x + y ≤ x + y (trojuholníková nerovnosť).
Zobrazenie · sa nazýva norma na priestore X a dvojicu (X, · ) označujeme
ako normovaný lineárny priestor nad T.
Poznámka 1
Ľahko sa overí, že pre každý normovaný priestor X s normou · je zobrazenie
ρ(x, y) := x − y , x, y ∈ X, (1)
metrikou na množine X, a tak dvojica (X, ρ) s funkciou ρ v (1) je metrický
priestor. Toto pozorovanie umožňuje prenášať aplikovať na normovaný lineárny
priestor X všetky pojmy a výsledky z teórie metrických priestorov, ako napríklad
úplnosť, kompaktnosť, vlastnosti spojitých zobrazení.
Norma Súčin Hilbert
Definícia 2 (Podpriestor normovaného lineárneho priestoru)
Nech (X, · ) je normovaný lineárny priestor. Dvojica (A, · ) sa označuje
ako podpriestor normovaného priestoru X, ak A ⊆ X je algebraický lineárny
podpriestor v X, ktorý je uzavretý v X vzhľadom na metriku ρ v (1).
Poznámka 2
Množinu A ⊆ X budeme označovať za ohraničenú v normovanom priestore
(X, · ), ak existuje konštanta K > 0 s vlastnosťou x ≤ K pre každé x ∈ A.
Takto definovaný pojem ohraničenosti korešponduje s pojmom ohraničenosti
zavedeným v kontexte metrických priestorov. Konkrétne, množina A ⊆ X je
ohraničená v normovanom priestore X práve vtedy, keď je ohraničená v metrickom
priestore (X, ρ) s metrikou ρ definovanou v (1) v Poznámke 1.
Definícia 3 (Banachov priestor)
Normovaný lineárny priestor (X, · ) nad T, ktorý je úplný vzhľadom na metriku
v (1), sa nazýva reálny/komplexný Banachov priestor.
Väčšina z preberaných metrických priestorov sú normované lineárne priestory.
Norma Súčin Hilbert
Príklad 1
Pre dané n ∈ N položme X := Tn
a nech p ∈ [1, ∞). Potom zobrazenia
x p :=
n
k=1
|xk|p
1
p
, x ∞ := max
1≤k≤n
|xk|, x := (x1, . . . , xn) ∈ Tn
, (2)
sú normy na lineárnom priestore X, ktoré podľa Poznámky 1 indukujú metriky
ρp a ρ∞. V súlade s Definíciou 3 ďalej platí, že každý z normovaných priestorov
(X, · p) a (X, · ∞) je n-rozmerným Banachovým priestorom.
Príklad 2
Pre pevne zvolené p ∈ [1, ∞) je priestor postupností lp
predstavený v teórii
metrických priestorov zároveň normovaným lineárnym priestorom s normou
x p :=
∞
k=1
|xk|p
1
p
, x := {xk}∞
k=1 ∈ lp
. (3)
Podobne i priestory l∞
, c a c0 sú normované lineárne priestory s normou
x ∞ := sup
k∈N
|xk|, x := {xk}∞
k=1 ⊆ T je ohraničená postupnosť. (4)
Norma Súčin Hilbert
Príklad 2
Každý z priestorov lp
, l∞
, c a c0 je Banachov priestor nekonečnej dimenzie.
Príklad 3
Nech [a, b] ⊆ R je daný kompaktný interval. Množina B[a, b] všetkých funkcií
ohraničených na [a, b] zrejme tvorí lineárny priestor nad T. Zobrazenie
f B := sup
x∈[a,b]
|f(x)|, f ∈ B[a, b], (5)
je normou na priestore B[a, b]. Množina C[a, b] všetkých funkcií spojitých na
[a, b] predstavuje algebraický lineárny podpriestor v B[a, b]. Každé zo zobrazení
f C := max
x∈[a,b]
|f(x)|, f I :=
b
a
|f(x)| dx, f ∈ C[a, b], (6)
je normou na priestore C[a, b]. Z prednášky o metrických priestoroch vyplýva, že
normované priestory (B[a, b], · B) a (C[a, b], · C ) sú nekonečno rozmerné
Banachove priestory, kým (C[a, b], · I ) nie je Banachov priestor. Naviac,
(C[a, b], ρC ) je podpriestor normovaného priestoru (B[a, b], · B ) v zmysle Definície
2, keďže v súlade s (5) a (6) platí f C = f B pre každú spojitú funkciu f
na [a, b] a množina C[a, b] je uzavretý algebraický podpriestor v priestore B[a, b].
Norma Súčin Hilbert
Príklad 4
Nech (X, M, µ) je daný merateľný priestor a p ∈ [1, ∞) dané reálne číslo.
Potom množina Lp
(X, µ) všetkých tried µ-merateľných funkcií f, pre ktoré |f|p
je funkcia integrovateľná na množine X vzhľadom na mieru µ, je lineárny priestor
nad T. Zobrazenie definovan predpisom
f p :=
X
|f|p
dµ
1
p
, f ∈ Lp
(X, µ), (7)
je norma na Lp
(X, µ). Podobne množina L∞
(X, µ) všetkých tried merateľných
funkcií f, ktoré sú podstatne ohraničené na množine X, vytvára lineárny priestor
nad T. Na tomto priestore je možné zaviesť normu tvaru
f ∞ := inf{K ∈ [0, ∞), |f(x)| ≤ K skoro všade na X}. (8)
Platí, že normované priestory Lp
(X, µ), p ≥ 1, a L∞
(X, µ) sú vzhľadom na
odpovedajúce normy v (7) a (8) nekonečno rozmerné Banachove priestory.
Príklad 5 (Funkcie s konečnou variáciou)
V tomto príklade predstavíme ďalšiu dôležitú triedu funkcií. Nech [a, b] ⊆ R je
daný kompaktný interval a f : [a, b] → R reálna funkcia. Pre konečné delenie
Norma Súčin Hilbert
Príklad 5 (Funkcie s konečnou variáciou)
Dm : a = x0 < x1 < · · · < xm−1 < xm = b, m ∈ N, (9)
intervalu [a, b] uvažujme súčet
S (f, Dm) :=
m
k=1
|f(xk) − f(xk−1)|. (10)
Nech D je množina všetkých konečných delení Dm intervalu [a, b] v (9). Veličina
b
a
(f) := sup
Dm∈D
S (f, Dm)
(10)
= sup
Dm∈D
m
k=1
|f(xk) − f(xk−1)| (11)
sa nazýva úplná (totálna) variácia funkcie f na intervale [a, b]. Ak b
a (f) < ∞,
hovoríme, že funkcia f má konečnú variáciu na intervale [a, b]. Najjednoduchším
príkladom funkcie s konečnou variáciou na [a, b] je každá monotónna funkcia f
na [a, b]. V tomto prípade platí b
a (f) = |f(b) − f(a)|. Vo všeobecnosti sa dá
dokázať, že funkcia f má konečnú variáciu na intervale [a, b] práve vtedy, keď
platí f(x) = g(x)−h(x) pre každé x ∈ [a, b], kde g a h sú funkcie neklesajúce na
[a, b]. Množinu všetkých funkcií s konečnou variáciou na danom intervale [a, b]
budeme označovať symbolom BV[a, b]. Pomocou formuly (11) sa dá ukázať, že
každá funkcia s konečnou variáciou na [a, b] je ohraničená, t.j., platí inklúzia
Norma Súčin Hilbert
Príklad 5 (Funkcie s konečnou variáciou)
BV[a, b] ⊆ B[a, b]. (12)
Z definície variácie funkcie v (11) nie je ťažké odvodiť, že pre každú dvojicu
reálnych funkcií f a g definovaných na [a, b] a pre každé λ ∈ R platia relácie
b
a
(f + g) ≤
b
a
(f) +
b
a
(g),
b
a
(λf) = |λ|
b
a
(f). (13)
Z (13) následne vyplýva, že množina BV[a, b] je lineárny priestor nad R. Naviac,
zobrazenie · BV : BV[a, b] → [0, ∞) definované predpisom
f BV := |f(a)| +
b
a
(f), f ∈ BV[a, b] (14)
je norma na BV[a, b]. Funkcia · BV spĺňa všetky tri axiómy N1-N3 v Definícii 1.
V súlade s (13) je f BV = 0 práve vtedy, keď f(a) = 0 a b
a (f) = 0, t.j.,
podľa (11) je funkcia f(x) = 0 pre každé x ∈ [a, b]. Platnosť axióm N2 a N3 je
priamym dôsledkom formuly (14) a relácií v (13). Poznamenajme, že v kontexte
inklúzie (12) platí pre normu · B v (5) nerovnosť
f B ≤ f BV pre každé f ∈ BV[a, b]. (15)
Dôležitým výsledkom je skutočnosť, že dvojica (BV[a, b], · BV ) je Banachov
Norma Súčin Hilbert
Príklad 5 (Funkcie s konečnou variáciou)
priestor. Nech {fn}∞
n=1 ⊆ BV[a, b] je daná cauchyovská postupnosť vzhľadom na
normu · BV v (14). Podľa inklúzie (12) a nerovnosti (15) je {fn}∞
n=1 ⊆ B[a, b]
cauchyovská postupnosť aj v Banachovom priestore B[a, b], a teda má v B[a, b]
limitu, t.j., existuje funkcia f ∈ B[a, b]
lim
n→∞
f − fn B = 0, a tak podľa (5) lim
n→∞
fn(x) = f(x), x ∈ [a, b]. (16)
Dokážeme, že funkcia f ∈ BV[a, b]. Je zrejmé, že postupnosť { fn BV }∞
n=1 je
ohraničená v R, čo následne v súlade s (14) znamená, že aj postupnosť úplných
variácií { b
a (fn)}∞
n=1 ⊆ R je ohraničená. Podľa Bolzanovej–Weierstrassovej
vety preto existuje vybraná podpostupnosť {fnk }∞
n=1 ⊆ {fn}∞
n=1 s vlastnosťou
lim
k→∞
b
a
(fnk ) = d ∈ R. (17)
Rovnosť v (17) znamená, že pre každé zvolené ε > 0 existuje index kε ∈ N taký,
že b
a (fnk ) < d + ε pre každé k ≥ kε. Podľa definície úplnej variácie funkcie v
(10) a (11) potom pre každé delenie Dm v (9) intervalu [a, b] máme
S(fnk , Dm)
(11)
≤
b
a
(fnk ) < d + ε pre každé k ≥ kε. (18)
Norma Súčin Hilbert
Príklad 5 (Funkcie s konečnou variáciou)
Limitovaním v (18) pre k → ∞ so zreteľom na (16) postupne dostávame
S(f, Dm)
(10)
=
m
i=1
|f(xi) − f(xi−1)|
(16)
= lim
k→∞
m
i=1
|fnk (xi) − fnk (xi−1)|
(10)
= lim
k→∞
S(fnk , Dm)
(18)
≤ d + ε (19)
pre každé konečené delenie Dm intervalu [a, b] a každé ε > 0. Zo získanej relácie
(19) môžeme následne v súlade s (11) úsúdiť, že úplná variácia b
a (f) ≤ d,
t.j., funkcia f má konečnú variáciu na intervale [a, b]. Napokon dokážeme, že
limn→∞ f − fn BV = 0, t.j., postupnosť {fn}∞
n=1 konverguje k f aj v norme
priestoru BV[a, b]. Zvoľme ε > 0. Potom existuje index n1
ε ∈ N taký, že
b
a
(fm − fn)
(14)
≤ fm − fn BV <
ε
2
pre každé m, n ≥ n1
ε. (20)
Limitovaním v (20) pre m → ∞ získame b
a (f − fn) ≤ ε
2
pre každé n ≥ n1
ε.
Ďalej podľa (16) existuje n2
ε ∈ N také, že |f(a) − fn(a)| < ε
2
pre každé n ≥ n2
ε.
Následne podľa (14) máme f − fn BV < ε pre každé n ≥ max{n1
ε, n2
ε}, t.j.,
limn→∞ f − fn BV = 0. To dokazuje úplnosť priestoru (BV[a, b], · BV ).
Norma Súčin Hilbert
Príklad 6
V súlade s Poznámkou 1 každá norma na lineárnom priestore X nad T indukuje
metriku na X danú rovnosťou (1). Jedná sa však o špeciálny typ metriky.
Konkrétne, z vlastností N1-N3 v Definícií 1 vyplýva, že metrika ρ v (1) spĺňa
(i) ρ(x + z, y + z) = ρ(x, y) pre každé x, y, z ∈ X;
(ii) ρ(λx, λy) = |λ| ρ(x, y) pre každé x, y ∈ X a každé λ ∈ T.
Vlastnosť (ii) sa označuje ako invariantnosť metriky ρ, kým podmienka (ii) znamená,
že metrika ρ je homogénna. Naopak, nie je ťažké si premyslieť, že pre
každú homogénnu a invariantnú metriku ρ na lineárnom priestore X je zobrazenie
x := ρ(0, x), x ∈ X, norma na priestore X.
Príklad 7
Je potrebné zdôrazniť, že algebraický lineárny podpriestor všeobecného normovaného
priestoru X nemusí byť uzavretý v X. Napríklad pre X := l1
je
množina A := {x ∈ l1
, x má len konečne veľa nenulových členov} evidentným
vlastným algebraickým lineárnym podpriestorom v X, ktorý však nie je uzavretý
v X, nakoľko A = l1
vzhľadom na normu · 1 v (3) pre hodnotu p = 1. Podľa
Definície 2 teda množina A nie je podpriestor normovaného priestoru X.
Norma Súčin Hilbert
Lema 1 (Rieszova)
Nech X je normovaný lineárny priestor s normou · a A ⊆ X je vlastný
normovaný podpriestor v X. Potom pre každé η ∈ [0, 1) existuje vektor xη ∈ X
s xη = 1 taký, že ρ(xη, A) ≥ η, kde ρ je metrika na X definovaná v (1).
Dôkaz Lemy 1.
Podľa predpokladov je množina X \A neprázdna. Zvoľme ľubovoľné z ∈ X \A.
Z uzavretosti množiny A v X vyplýva, že vzdialenosť bodu z od A je kladná,
t.j., d := ρ(z, A) > 0. Obzvlášť, platí
d = inf{ρ(z, y), y ∈ A}, a tak ρ(z, y) ≥ d pre každé y ∈ A. (21)
Zvoľme pevne nejaké η ∈ (0, 1). Keďže d
η
> d, podľa (21) z vlastností infima
existuje ˜y ∈ A také, že 0 < d ≤ ρ(z, ˜y) <
d
η
. (22)
Položme xη := z−˜y
z−˜y
. Potom zrejme xη = 1 a pre každé y ∈ A platí
ρ(xη, y) = xη − y =
z − ˜y
z − ˜y
− y =
z − ˜y − z − ˜y y
z − ˜y
Norma Súčin Hilbert
Dôkaze Lemy 1.
=
z −
∈A
(˜y + z − ˜y y)
z − ˜y
(21),(22)
>
d
d
η
= η,
z čoho následne vyplýva, že ρ(xη, A) ≥ η. Napokon prípad η = 0 je triviálny,
nakoľko metrika ρ je nezáporná. Dôkaz je teda kompletný.
Poznámka 3
Poznamenajme, že pre každý vektor x ∈ X s normou x = 1 platí nerovnosť
ρ(x, A) ≤ 1. Vyplýva to z odhadu
ρ(x, A) = inf{ρ(x, y), y ∈ A} ≤ ρ(x, 0) = x = 1 pre každé x ∈ S(0, 1),
kde symbol S(0, 1) označuje jednotkovú sféru v normovanom priestore X, t.j.,
S(0, 1) = {x ∈ X, x = 1}. (23)
Ďalej je nutné zdôrazniť, že v Rieszovej leme 1 vo všeobecnosti, t.j., v prípade
všeobecného normovaného lineárneho priestoru X a jeho všeobecného podpriestoru
A, nemožno uvažovať hodnotu η = 1. Túto skutočnosť ilustrujeme v
nasledujúcom príklade. Podstatná bude nekonečná dimenzia podpriestoru A.
Norma Súčin Hilbert
Príklad 8
V normovanom lineárnom priestore (X, · ) tvaru
X := {f ∈ C[0, 1], f(0) = 0} , f := max
x∈[0,1]
|f(x)|, (24)
uvažujme množinu A ⊆ X definovanú predpisom
A := f ∈ X,
1
0
f(x) dx = 0 . (25)
Nie je ťažké ukázať, že A je vlastný podpriestor X v zmysle Definície 2, t.j.,
množina A je lineárny priestor, ktorý je uzavretý v X vzhľadom na metriku ρ
indukovanú normou v (24). Jedná sa o netriviálny podpriestor, nakoľko funkcia
f(x) =



x, x ∈ 0, 1
4
,
1
2
− x, x ∈ 1
4
, 3
4
,
x − 1, x ∈ 3
4
, 1 ,
je spojitá, f(0) = 0 a
1
0
f(x) dx = 0.
Uzavretosť podpriestoru A je zaručená faktom, že konvergencia v norme znamená
podľa (24) rovnomernú konvergenciu na intervale [0, 1]. Ak {fn}∞
n=1 ⊆ A je
postupnosť, ktorá konverguje v normovanom priestore X k funkcii f, potom
Norma Súčin Hilbert
Príklad 8
1
0
f(x) dx =
1
0
lim
n→∞
fn(x) dx = lim
n→∞
1
0
fn(x) dx = lim
n→∞
0 = 0.
Nech g je ľubovoľný prvok uzavretej jednotkovej gule B[0, 1] v X, t.j., g ≤ 1.
Dokážeme, že ρ(g, A) < 1. Označme
cg :=
1
0
g(x) dx. (26)
Pre konštantu cg platí odhad
|cg| =
1
0
g(x) dx ≤
1
0
|g(x)| dx
(24)
≤
1
0
g dx ≤
1
0
1 dx = 1,
pričom vďaka podmienke g(0) = 0 platí ostrá nerovnosť |cg| < 1. Definujme
f(x) :=



g(x) −
2cg
1+|cg|
· x
1−|cg|
, x ∈ [0, 1 − |cg|],
g(x) −
2cg
1+|cg|
, x ∈ [1 − |cg|, 1].
(27)
Funkcia f v (27) je prvkom podpriestoru A, ako sa možno ľahko presvedčiť
detailným výpočtom integrálu
1
0
f(x) dx a pomocou (26). Naviac, pre každé
x ∈ [0, 1] platí nerovnosť
Norma Súčin Hilbert
Príklad 8
|g(x) − f(x)|
(27)
=



2|cg|
1+|cg|
· x
1−|cg|
, x ∈ [0, 1 − |cg|],
2|cg|
1+|cg|
, x ∈ [1 − |cg|, 1].



≤
2|cg|
1 + |cg|
< 1,
a tak ρ(g, f) = maxx∈[0,1] |g(x) − f(x)| < 1. To však potom znamená, že
ρ(g, A) = inf{ρ(g, h), h ∈ A} ≤ ρ(g, f) < 1.
Výsledok Lemy 1 preto v tomto prípade nemožno rozšíriť i pre hodnotu η = 1,
napriek tomu, že sú splnené všetky jej predpoklady. Nájdime ešte kodimenziu
podpriestoru A v X. Vzhľadom na definíciu množiny A v (25) a faktorového
priestoru X/A nie je ťažké si premyslieť, že každá daná trieda rozkladu X/A
bude obsahovať všetky funkcie z X, pre ktoré je hodnota
1
0
f(x) dx = c, kde
c ∈ T je pevná konštanta. To znamená, že faktorový priestor X/A je izomorfný
s lineárnym priestorom T, a tak codim A = dim T = 1.
Lema 2 (Rieszova)
Nech sú splnené predpoklady Lemy 1 a nech naviac normovaný podpriestor A má
konečnú dimenziu. Potom existuje vektor x ∈ X s x = 1 taký, že ρ(x, A) = 1.
Norma Súčin Hilbert
Veta 1
Nech (X, · ) je normovaný lineárny priestor. Potom norma · je rovnomerne
spojité zobrazenie priestoru X do euklidovského priestoru E.
Dôkaz Vety 1.
Pri dôkaze využijeme ekvivalentné vyjadrenie trojuholníkovej nerovnosti N3 v
Definícii 1. Konkrétne, každá norma · spĺňa nerovnosť
x − y ≤ x − y pre každé x, y ∈ X. (28)
Skutočne, pre ľubovoľné vektory x, y ∈ X platí
x = (x − y) + y ≤ x − y + y ⇒ x − y ≤ x − y ,
y = (y − x) + x ≤ y − x + x ⇒ y − x ≤ x − y ,
z čoho ihneď vyplýva požadovaná nerovnosť. Relácia v (28) ukazuje, že norma
· je lipschitzovské zobrazenie s Lipschitzovou konštantou L = 1. Z teórie metrických
priestorov následne dostávame, že zobrazenie · je nutne rovnomerne
spojité na priestore X. Dôkaz je hotový.
Nasledujúca časť je venovaná ekvivalencii noriem na danom lineárnom priestore.
Ukážeme, že na rozdiel od ekvivalencie metrík má táto relácia silnejšie dôsledky.
Norma Súčin Hilbert
Definícia 4 (Ekvivalencia noriem)
Nech X je lineárny priestor nad T a · 1, · 2 sú normy na X. Hovoríme, že
normy · 1, · 2 sú ekvivalentné, ak pre každú postupnosť {xk}∞
k=1 vektorov
v X a každý bod x ∈ X platí relácia
lim
k→∞
xk = x v norme · 1 ⇐⇒ lim
k→∞
xk = x v norme · 2. (29)
Veta 2
Nech X je lineárny priestor a · 1, · 2 dve normy na X. Potom tieto normy sú
ekvivalentné práve vtedy, keď existujú kladné reálne čísla m a M s vlastnosťou
m x 1 ≤ x 2 ≤ M x 1 pre každý vektor x ∈ X. (30)
Dôkaz Vety 2.
Označme ρ1, ρ2 metriky indukované normami · 1, · 2 podľa Poznámky 1.
Predpokladajme, že normy · 1, · 2 sú ekvivalentné a nech {xk}∞
k=1 ⊆ X
je postupnosť spĺňajúca limk→∞ xk = 0 v norme · 1. V súlade s (29) potom
limk→∞ xk = 0 i v norme · 2, čo znamená, že identické zobrazenie z metrického
priestoru (X, ρ1) do metrického priestoru (X, ρ2) je spojité v bode x = 0. Teda
Norma Súčin Hilbert
Dôkaz Vety 2 (pokračovanie).
pre každé ε > 0 existuje δ > 0 tak, že pre každé x ∈ X s x 1 < δ je x 2 < ε. (31)
Položme v (31) ε = 1. To znamená, že existuje δ > 0 s vlastnosťou, že pre
každé x ∈ X spĺňajúce x 1 < δ platí x 2 < 1. Nech x je ľubovoľný nenulový
vektor a označme ˜x := δ
2 x 1
x. Zrejme ˜x ∈ X a pre normu ˜x 1 máme
˜x 1 =
δ
2 x 1
x
1
=
|δ|
2 x 1
x 1 =
δ
2
< δ.
V zhode s vyššie uvedeným potom ˜x 2 < 1, čo následne dáva
1 > ˜x 2 =
δ
2 x 1
x
2
=
|δ|
2 x 1
x 2 =
δ
2
x 2
x 1
, a tak x 2 <
2
δ
x 1.
Tým sme dokázali druhú nerovnosť v (30) s voľbou M := 2
δ
> 0. Analogicky sa
dokáže i platnosť prvej nerovnosti v (30) (v predchádzajúcich úvahách zameníme
úlohu noriem · 1, · 2). Naopak, ak normy · 1, · 2 spĺňajú (30) pre nejaké
m, M > 0, potom pre každú postupnosť {xk}∞
k=1 ⊆ X a bod x ∈ X máme
m xk − x 1 ≤ xk − x 2 ≤ M xk − x 1 pre každý index k ∈ N.
Tieto nerovnosti ihneď implikujú ekvivalenciu noriem · 1, · 2 v súlade s
Definíciou 4. Dôkaz je preto kompletný.
Norma Súčin Hilbert
Poznámka 4
Poznamenajme, že normy · 1, · 2 na X spĺňajúce reláciu (30) sú skutočne
v ekvivalentnom vzťahu, nakoľko nie je ťažké overiť, že platí
1
M
x 2 ≤ x 1 ≤
1
m
x 2 pre každý vektor x ∈ X. (32)
Príklad 9
Pre dané n ∈ N nech X := Tn
. Potom normy · 1 a · 2 na X predstavené
v Príklade 1 pre p = 1 a p = 2 sú podľa Vety 2 ekvivalentné. Skutočne, ak
x 1
(2)
=
n
k=1
|xk|, x 2
(2)
=
n
k=1
|xk|2
1
2
, x = (x1, . . . , xn) ∈ X, (33)
potom platia nerovnosti
1
√
n
x 1 ≤ x 2 ≤ x 1 pre každý vektor x ∈ X. (34)
Prvá nerovnosť v (34) je dôsledkom klasickej nerovnosti medzi aritmetickým a
kvadratickým priemerom reálnych čísiel |x1|, . . . , |xn|, kým druhá nerovnosť v
(34) vyplýva triviálne z vyjadrení daných noriem v (33).
Norma Súčin Hilbert
Príklad 10
Nech X je lineárny priestor tvaru
X := f ∈ C1
[0, π], f(0) = 0 = f(π) , (35)
Uvažujme na X dvojicu noriem
f 1 := max
x∈[0,π]
|f(x)|,
f 2 := max
x∈[0,π]
|f(x)| + max
x∈[0,π]
|f′
(x)|,



f ∈ X. (36)
Jedná sa o neekvivalentné normy. Napríklad pre postupnosť funkcií {fk}∞
k=1 ⊆ X
s predpismi fk(x) := sin k2
x
k
, x ∈ [0, π], k ∈ N, platí
fk 1
(36)
= max
x∈[0,π]
sin k2x
k
=
1
k
,
fk 2
(36)
= max
x∈[0,π]
sin k2x
k
+ max
x∈[0,π]
|k cos k2
x| =
1
k
+ k
pre každé k ∈ N. V prvej norme teda postupnosť {fk}∞
k=1 konverguje k funkcii
identicky nulovej na [0, π], kým vzhľadom na druhú normu je táto postupnosť s
ohľadom na Poznámku 2 neohraničená, a teda nemá limitu v priestore (X, · 2).
Norma Súčin Hilbert
Príklad 10
Uvažujme teraz na priestore X nasledujúcu dvojicu noriem
f 1 :=
π
0
|f′
(x)|2
dx
1
2
,
f 2 :=
π
0
|f′
(x)|2
dx
1
2
+
π
0
|f(x)|2
dx
1
2
,



f ∈ X. (37)
Nie je ťažké overiť, že sa skutočne jedná o normy na priestore X v zmysle
Definície 1. V tomto prípade sú normy · 1, · 2 ekvivalentné. Z (37) triviálne
vyplýva, že f 1 ≤ f 2 pre každú funkciu f ∈ X. Na druhej strane, pomocou
teórie lineárnych diferenciálnych rovníc druhého rádu sa dá dokázať nerovnosť
π
0
|f′
(x)|2
− |f(x)|2
dx ≥ 0 pre každé f ∈ X (38)
(jedná sa o dôsledok diskonjugovanosti rovnice y′′
+ y = 0 na intervale (0, π)).
Využitím výsledku (38) a formúl v (37) potom ihneď dostávame nerovnosť
f 2 ≤ 2 f 1 pre každú funkciu f ∈ X, ako sa možno ľahko presvedčiť. Celkovo
sme teda získali odhady
f 1 ≤ f 2 ≤ 2 f 1 pre každé f ∈ X,
ktoré podľa Vety 2 zaručujú ekvivalenciu noriem · 1, · 2 v (37).
Norma Súčin Hilbert
Definícia 5 (Izometria normovaných lineárnych priestorov)
Dvojicu normovaných priestorov (X, · X ) a (Y, · Y ) nad telesom T označujeme
lineárne izometrickými/izometricky izomorfnými, ak existuje bijektívne
lineárne zobrazenie F : X → Y , ktoré zachováva normu, t.j., F(x) Y = x X
pre každý vektor x ∈ X.
Definícia 6 (Homeomorfizmus normovaných lineárnych priestorov)
Normované priestory (X, · X ) a (Y, · Y ) nad T sú homeomorfné/lineárne
homeomorfné, ak existuje bijektívne lineárne zobrazenie F : X → Y a kladné
konštanty m, M s vlastnosťou m x X ≤ F(x) Y ≤ M x X pre každé x ∈ X.
Poznámka 5
Existencia homeomorfizmu medzi dvomi normovanými lineárnymi priestormi
zaručuje, že dané priestory sú algebraicky i topologicky/metricky „identické”.
To následne umožňuje medzi týmito priestormi prenášať pojem otvorenosti, uzavretosti,
úplnosti a kompaktnosti. Poznamenajme, že izometria normovaných
priestorov je špeciálnym prípadom lineárneho homeomorfizmu s m = 1 = M ako
priamo vyplýva z Definícií 5 a 6.
Norma Súčin Hilbert
Veta 3
Nech X je normovaný lineárny priestor s normou · a A ⊆ X je normovaný
podpriestor v X. Potom zobrazenie
[x] := inf
y∈[x]
y , [x] ∈ X/A, (39)
je norma na faktorovom priestore X/A. Naviac, ak (X, · ) je Banachov priestor,
potom aj (X/A, · ) je Banachov priestor vzhľadom na normu definovanú v (39).
Dôkaz Vety 3.
V súlade s Definíciou 1 najprv ukážeme, že zobrazenie · predstavené v (39)
je norma na priestore X/A. Pre triedu [x] = A podľa (39) máme [x] = 0,
nakoľko 0 ∈ [x]. Na druhej strane, ak platí [x] = 0, potom v zhode s (39) platí
infy∈[x] y = 0, a tak existuje postupnosť {yn}∞
n=1 ⊆ [x] s limn→∞ yn = 0 v X.
Keďže postupnosť {x − yn}∞
n=1 ⊆ A a množina A je uzavretá v X, dostávame,
že vektor x = limn→∞(x − yn) ∈ A, t.j., trieda [x] = A. Overili sme axiómu N1
v Definícii 1. Platnosť axiómy N2 je prirodzeným dôsledkom zavedenia funkcie
· v (39) a definície sčítania a násobenia skalárom vo faktorovom priestore
X/A. Axióma N3 v Definícii 1 vyplýva z nasledujúceho výpočtu
[x] + [y]
(39)
= inf
u∈[x],v∈[y]
u + v ≤ inf
u∈[x],v∈[y]
( u + v ) = inf
u∈[x]
u + inf
v∈[y]
v
Norma Súčin Hilbert
Dôkaz Vety 3 (pokračovanie).
(39)
= [x] + [y] .
Dvojica (X/A, · ) je teda skutočne normovaný lineárny priestor. Predpokladajme,
že (X, · ) je Banachov priestor. Nech {[x]k}∞
k=1 ⊆ X/A je cauchyovská
postupnosť vzhľadom na normu · definovanú v (39), t.j., pre každé ε > 0
existuje index kε ∈ N taký, že [x]k − [x]l < ε pre každú dvojicu indexov
k, l ≥ kε. V súlade s (39) teda dostávame reláciu
inf
u∈[x]k,v∈[x]l
u − v < ε pre každé k, l ≥ kε. (40)
Zvoľme pevne ε > 0. Z nerovnosti v (40) následne vyplýva, že existuje postupnosť
vektorov {yk}∞
k=1 ⊆ X, yk ∈ [x]k, k ∈ N taká, že yk − yl < ε pre
každé k, l ≥ kε. Postupnosť {yk}∞
k=1 je teda cauchyovská v úplnom priestore
X, preto existuje limita limk→∞ yk =: y ∈ X. Ukážeme, že odpovedajúca
trieda [y] ∈ X/A je limitou postupnosti {[x]k}∞
k=1 vo faktorovom priestore X/A
vzhľadom na normu · v (39). Skutočne, keďže trieda [x]k = [yk] pre každé
k ∈ N, existuje index lε ∈ N s vlastnosťou
[x]k − [y] = [yk] − [y]
(39)
= inf
u∈[yk],v∈[y]
u − v ≤ yk − y < ε
pre každé k ≥ lε. To znamená, že platí limk→∞[x]k = [y] vzhľadom na normu
· v (39). Normovaný faktorový priestor (X/A, · ) je teda úplný.
Norma Súčin Hilbert
V normovaných lineárnych priestoroch je prirodzené uvažovať koncept nekonečného
radu a vhodným spôsobom definovať jeho konvergenciu.
Definícia 7
Nech X je normovaný lineárny priestor s normou · a {xk}∞
k=1 ⊆ X je daná
postupnosť. Definujme postupnosť čiastočných súčtov {yn}∞
n=1 ⊆ X, t.j.,
yn :=
n
k=1
xk, n ∈ N. (41)
Hovoríme, že nekonečný rad ∞
k=1 xk konverguje/je konvergentný v X, ak postupnosť
{yn}∞
n=1 má v X limitu vzhľadom na normu · , t.j., limn→∞ yn = x
pre isté x ∈ X. V tomto prípade kladieme ∞
k=1 xk = x.
Definícia 8 (Absolútna konvergencia radu)
Nech X je normovaný lineárny priestor s normou · a {xk}∞
k=1 ⊆ X je daná
postupnosť. Hovoríme, že nekonečný rad ∞
k=1 xk konverguje absolútne/je absolútne
konvergentný, ak číselný rad
∞
k=1
xk konverguje v R. (42)
Norma Súčin Hilbert
Veta 4
Nech X je normovaný lineárny priestor nad telesom T s normou · . Nasledujúce
tvrdenia sú ekvivalentné.
(i) Dvojica (X, · ) je Banachov priestor.
(ii) Každý absolútne konvergentný nekonečný rad v X je konvergentný v X.
Dôkaz Vety 4.
Nech (X, · ) je Banachov priestor a ∞
k=1 xk je absolútne konvergentný
nekonečný rad v X. V súlade s Definíciami 3 a 7 stačí ukázať, že postupnosť
{yn}∞
n=1 v (41) je cauchyovská v X. Zvoľme ε > 0. Predpoklad (42)
v Definícii 8 podľa Cauchyho–Bolzanovho kritéria konvergencie číselného radu
potom zaručuje existenciu indexu nε ∈ N s vlastnosťou, že
pre každé dva indexy m, n ≥ nε, n > m, platí xm+1 + · · · + xn < ε. (43)
Využitím trojuholníkovej nerovnosti následne dostávame
yn − ym
(42)
= xm+1 + · · · + xn ≤ xm+1 + · · · + xn
(43)
< ε
pre každé m, n ≥ nε, n > m. Postupnosť {yn}∞
n=1 je teda cauchyovská, a teda i
konvergentná v X. V súlade s Definíciou 7 je potom rad ∞
k=1 xk konvergentný
v priestore X. Predpokladajme teraz platnosť tvrdenia (ii). Nech {xn}∞
n=1 ⊆ X
Norma Súčin Hilbert
Dôkaz Vety 4 (pokračovanie).
je cauchyovská postupnosť v X. Ukážeme, že podmienka (ii) zaručuje, že z
{xn}∞
n=1 sa dá vybrať konvergentná podpostupnosť. Pre každé k ∈ N existuje
nk ∈ N také, že
xn − xm <
1
k2
pre každé n, m ≥ nk. (44)
Zrejme bez ujmy na všeobecnosti môžeme predpokladať, že postupnosť indexov
{nk}∞
k=1 ⊆ N v (44) je rastúca. V súlade s (44) potom vybraná podpostupnosť
{xnk }∞
k=1 ⊆ {xn}∞
n=1 spĺňa vlastnosť
0 ≤ xnk+1 − xnk <
1
k2
pre každé k ∈ N. (45)
Z nerovností (45) postupne dostávame
∞
k=1
xnk+1 − xnk = lim
m→∞
m
i=1
xnk+1 − xnk
(45)
≤ lim
m→∞
m
k=1
1
k2
=
∞
k=1
1
k2
< ∞.
To znamená, že v zhode s Definíciou 8 je nekonečný rad ∞
k=1(xnk+1 − xnk )
absolútne konvergentný v X. Podľa predpokladov je následne i konvergentný
v zmysle Definície 7. Nie je ťažké overiť, že jeho odpovedajúcou postupnosťou
čiastočných súčtov je {xnk − xn1 }∞
k=2. Preto podpostupnosť {xnk }∞
k=1 je konvergentná
v X. Následne i celá cauchyovská postupnosť {xn}∞
n=1 má limitu v
X. Normovaný priestor (X, · ) je teda Banachov, t.j., platí tvrdenie (i).
Norma Súčin Hilbert
V mnohých aplikáciach je často potrebné uvažovať koncept nekonečného radu
a jeho konvergencie vo užšom kontexte než sme predstavili v Definícii 7. Nech
(X, · ) je normovaný lineárny priestor nad T. Pre danú neprázdu indexovú
množinu I uvažujme systém vektorov {xα}α∈I ⊆ X. Stojíme pred problémom
ako vhodne definovať súčet vektorov systému {xα}α∈I , t.j., zaviesť pojem
nekonečný rad
α∈I
xα, (46)
obzvlášť v situácii, keď indexová množina I je nespočítateľná. Symbolom A
budeme označovať systém všetkých konečných množín v I.
Definícia 9
Nech x ∈ X je daný vektor. Hovoríme, že nekonečný rad α∈I xα konverguje
k x v normovanom lineárnom priestore (X, · ), ak pre každé ε > 0 existuje
množina Aε ∈ A s vlastnosťou
x −
α∈A
xα < ε pre každé A ∈ A spĺňajúce Aε ⊆ A. (47)
V tomto prípade sa vektor x označuje ako súčet nekonečného radu α∈I xα v
priestore X a píšeme α∈I xα = x.
Norma Súčin Hilbert
V prípade nekonečnej spočítateľnej indexovej množiny I, t.j., I = N, je zaujímavé
porovnať vzťah konvergencií nekonečného radu v zmysle Definícií 7, 8 a 9.
Veta 5
Nech X je normovaný lineárny priestor nad T s normou · a nech {xn}n∈N ⊆ X
je nekonečný spočítateľný systém vektorov. Platia nasledujúce tvrdenia.
(i) Ak nekonečný rad n∈N xn konverguje k vektoru x ∈ X v zmysle Definície
9, potom nekonečný rad ∞
n=1 xn konverguje v X so súčtom x.
(ii) Ak (X, · ) je Banachov priestor a nekonečný rad ∞
n=1 xn je absolútne
konvergentný, potom rad n∈N xn konverguje v X v zmysle Definície 9.
Dôkaz Vety 5.
Ak rad n∈N xn konverguje k vektoru x ∈ X, potom spĺňa reláciu v (47) v
Definícii 9, t.j., pre každé ε > 0 existuje konečná množina Aε ⊆ N taká, že
x −
k∈A
xk < ε pre každé A ∈ N s Aε ⊆ A. (48)
Označme nε := max Aε. Potom zrejme pre každý index n ≥ nε platí inklúzia
Aε ⊆ {1, . . . , n}, a preto v súlade s (48) máme
Norma Súčin Hilbert
Dôkaz Vety 5 (pokračovanie).
x −
n
k=1
xk < ε pre každé n ≥ nε. (49)
Podľa Definície 7 relácia v (49) znamená, že rad ∞
n=1 xn konverguje v priestore
X so súčtom x. Nech (X, · ) je úplný priestor a predpokladajme, že nekonečný
rad ∞
n=1 xn je absolútne konvergentný, t.j., platí podmienka (42) v Definícii 8.
Z Vety 4 vyplýva, že rad ∞
n=1 xn je konvergentný v priestore X. Zvoľme ε > 0.
Podľa Definície 7 a Cauchyho–Bolzanovho kritéria konvergencie číselných radov
existuje index nε ∈ N taký, že platí
x −
n
k=1
xk <
ε
2
a
n
k=m+1
xk <
ε
2
pre každé n, m ≥ nε, n > m. (50)
Položme Aε := {1, . . . , nε}. Zvoľme konečnú množinu A ∈ N s Aε ⊆ A. Potom
zrejme index n := max A spĺňa nerovnosť n ≥ nε. Preto postupne máme
x −
k∈A
xk = x −
nε
k=1
xk +
k∈A\Aε
xk ≤ x −
nε
k=1
xk +
k∈A\Aε
xk
(50)
<
ε
2
+
k∈A\Aε
xk ≤
ε
2
+
n
k=nε+1
xk
(50)
<
ε
2
+
ε
2
= ε. (51)
Norma Súčin Hilbert
Dôkaz Vety 5 (pokračovanie).
Odvodená nerovnosť (51) korešponduje s reláciou v (47). To znamená, že
nekonečný rad n∈N xn konverguje v priestore X v zmysle Definície 9.
Poznámka 6
Poznamenajme, že opačné tvrdenie k Vete 5(i) neplatí. Ukazuje to jednoduchý
príklad, v ktorom uvažujeme reálny euklidovský priestor E a dva nekonečné rady
∞
n=1
(−1)n
n
a
n∈N
(−1)n
n
. (52)
Je známe, že prvý nekonečný rad v (52) konverguje v E v zmysle Definície 7.
Táto konvergencia je však neabsolútna, čo má za následok, že druhý rad v (52)
nemôže konvergovať v E v zmysle Definície 9.
Veta 6
Pre danú indexovú množinu I uvažujme množinu nezáporných reálnych čísiel
{xα}α∈I . Potom rad α∈I xα konverguje v euklidovskom priestore práve vtedy,
keď s := sup{ α∈A xα, A ∈ A} < ∞. V tomto prípade platí α∈I xα = s.
Norma Súčin Hilbert
Normované priestory s konečnou dimenziou
Poznámka 7
Klasickým výsledkom funkcionálnej analýzy je pozorovanie, že každý normovaný
lineárny priestor X nad T, ktorý má konečnú dimenziu n ∈ N, je lineárne izometrický
s priestorom Tn
s vhodnou normou. Konkrétne, nech · je norma na
priestore X a {x1, . . . , xn} ⊆ X je nejaká Hamelova báza lineárneho priestoru
X. Potom zobrazenie F : X → Tn
tvaru
F (x) := (λ1, . . . , λn) ∈ Tn
, x = λ1 x1 + · · · + λn xn ∈ X, (53)
je izomorfizmus lineárnych priestorov X a Tn
. Funkcia · ∗ : Tn
→ [0, ∞)
definovaná pre každú n-ticu (λ1, . . . , λn) ∈ Tn
predpisom
(λ1, . . . , λn) ∗ := x , x = λ1 x1 + · · · + λn xn ∈ X, (54)
je norma na priestore Tn
, ako možno ľahko overiť podľa Definície 1. A keďže
podľa (53) a (54) platí F(x) ∗ = x pre každé x ∈ X, normované priestory
(X, · ) a (Tn
, · ∗) sú v súlade s Definíciou 5 izometricky izomorfné. Vo svetle
Poznámky 5 sa teda pri skúmaní normovaných priestorov s konečnou dimenziou
n ∈ N stačí sústrediť na priestor Tn
. Všetky získané výsledky budú potom platné
pre každý konečno rozmerný normovaný priestor nad telesom T.
Norma Súčin Hilbert
Veta 7
Pre dané n ∈ N sú každé dve normy na priestore Tn
ekvivalentné.
Dôkaz Vety 7.
Uvažujme tzv. kanonickú bázu {e1, . . . , en} priestoru Tn
, t.j.,
ek := (0, . . . , 1, . . . , 0), kde 1 je na k-tej pozícii pre každé k ∈ {1, . . . , n}. (55)
Potom každý vektor x = (x1, . . . , xn) ∈ Tn
sa dá zrejme vyjadriť v tvare
x = x1 e1 + · · · + xn en. (56)
Nech · je ľubovoľná, ale pevne zvolená norma na priestore Tn
. Dokážeme,
že je ekvivalentná so súčtovou normou
x 1 =
n
k=1
|xk| (57)
predstavenou v Príklade 1 pre p = 1. Položme M := max1≤k≤n ek . Potom
x
(56)
=
n
k=1
xk ek ≤
n
k=1
|xk| ek ≤ M
n
k=1
|xk|
(57)
= M x 1, x ∈ Tn
. (58)
Norma Súčin Hilbert
Dôkaz Vety 7 (pokračovanie).
Z Príkladu 9 ďalej vieme, že daná súčtová norma je ekvivalentná s euklidovskou
normou, a tak normovaný priestor (Tn
, · 1) a euklidovský priestor En
nad T sú
podľa Vety 2 a Definície 6 lineárne homeomorfné prostredníctvom identického
zobrazenia. Každá podmnožina v Tn
, ktorá je ohraničená a uzavretá vzhľadom
na súčtovú normu, je teda v tejto norme i kompaktná. Obzvlášť, jednotková
sféra S(0, 1) v Tn
vzhľadom na normu · 1, zavedená v (23), je kompaktná v
tejto norme, nakoľko je vzhľadom na ňu očividne ohraničená a uzavretá v Tn
.
Uvažujme funkciu f : Tn
→ R s predpisom f(x) := x pre každý vektor x ∈ Tn
.
V súlade s Vetou 1 a s ohľadom na nerovnosť (58) je f spojité zobrazenie na Tn
vzhľadom na normu · 1. Podľa Weierstrassovej vety je potom f ohraničená
na S(0, 1), pričom svoje odpovedajúce globálne extrémy na S(0, 1) i nadobúda.
Konkrétne, ak m := minx∈S(0,1) f(x), potom existuje y ∈ S(0, 1) taký, že
m = f(y) = y . Zrejme m ≥ 0. Ak by m = 0, potom nutne vektor y = 0,
a tak i y 1 = 0, čo však odporuje relácii y ∈ S(0, 1). Preto konštanta m je
kladná. Nech teraz x ∈ Tn
\{(0, . . . , 0)} je ľubovoľné. Potom vektor ˜x := x
x 1
je prvkom jednotkovej sféry S(0, 1), a následne platí
m ≤ f(˜x) =
x
x 1
=
x
x 1
, a teda m x 1 ≤ x . (59)
Kombináciou výsledkov v (58) a (59) vo svetle Vety 1 napokon dostávame ekvivalenciu
noriem · a · 1. A keďže norma · bola zvolená ľubovoľne,
môžeme uzavrieť, že každé dve normy na Tn
sú vzájomne ekvivalentné.
Norma Súčin Hilbert
Dôsledok 1
Pre dané n ∈ N uvažujme normovaný lineárny priestor Tn
s normou · a
nech {x1, . . . , xn} ⊆ Tn
je nejaká jeho Hamelova báza. Potom v priestore Tn
konvergencia v norme · splýva so súradnicovou konvergenciou vzhľadom na
bázu {x1, . . . , xn}. Presnejšie, ak {x[k]
}∞
k=1 ⊆ Tn
je postupnosť a x ∈ Tn
a
x[k]
= λ
[k]
1 x1 + · · · + λ
[k]
n xn, λ
[k]
1 , . . . , λ
[k]
n ∈ Tn
pre každé k ∈ N, (60)
x = λ1 x1 + · · · + λn xn, (λ1, . . . , λn) ∈ Tn
, (61)
potom limk→∞ x[k]
= x v norme · práve vtedy, keď limk→∞ λ
[k]
i = λi pre
každý index i ∈ {1, . . . , n}.
Dôkaz Dôsledku 1.
Ľahko sa ukáže, že pre každú zvolenú bázu {x1, . . . , xn} priestoru Tn
je funkcia
x ∗ :=
n
i=1
|λi|, x = λ1 x1 + · · · + λn xn ∈ Tn
, (62)
normou na Tn
. Obzvlášť, je očividné, že konvergencia v tejto norme je ekvivalentná
so súradnicovou konvergenciou vzhľadom na bázu {x1, . . . , xn}. A keďže
podľa Vety 7 sú normy · a · ∗ ekvivalentné, platí výsledok v tvrdení.
Norma Súčin Hilbert
Dôsledok 2
Pre dané n ∈ N je každý normovaný lineárny priestor (Tn
, · ) úplný, t.j.,
Banachov priestor. Okrem toho každá podmnožina v Tn
, ktorá je ohraničená a
uzavretá vzhľadom na normu · , je v tejto norme i kompaktná.
Veta 8
Každý normovaný lineárny priestor nad T, ktorý má konečnú dimenziu, je Banachov
priestor a konvergencia v ľubovoľnej norme je ekvivalentná so súradnicovou
konvergenciou vzhľadom na akúkoľvek Hamelovu bázu daného priestoru.
Veta 9
Nech X je normovaný lineárny priestor nad telesom T s normou · . Nasledujúce
tvrdenia sú ekvivalentné.
(i) Priestor X má konečnú dimenziu.
(ii) Každá množina A ⊆ X, ktorá je ohraničená a uzavretá vzhľadom na normu
· , je v tejto norme i kompaktná.
Norma Súčin Hilbert
Dôkaz Vety 9.
Implikácia (i) ⇒ (ii) vyplýva z Poznámky 7 a Dôsledku 2. Nech platí výrok (ii),
t.j., každá ohraničená a uzavretá podmnožina v X je kompaktná. Obzvlášť,
jednotková sféra S(0, 1) v (23) je teda množina kompaktná v priestore X. Predpokladajme
sporom, že priestor X nemá konečnú dimenziu. Zvoľme ľubovoľný
vektor x1 ∈ S(0, 1). Potom množina A1 := Lin T {x1} je zrejme vlastný algebraický
podpriestor lineárneho priestoru X s dimenziou 1. V súlade s Vetou 8 je
A1 úplný normovaný priestor. Množina A1 je preto uzavretá v X vzhľadom na
normu · , čo následne podľa Definície 2 znamená, že A1 je vlastný podpriestor
normovaného priestoru X. Z Lemy 1 pre η := 1
2
potom vyplýva, že existuje
vektor x2 ∈ S(0, 1) taký, že
ρ(x2, A1) ≥
1
2
, a tak i x2 − x1 ≥
1
2
.
Vektory x1 a x2 sú zrejme lineárne nezávislé. Položme A2 := Lin T {x1, x2}.
Využijúc analogické argumenty ako vyššie platí, že A2 je vlastný podpriestor
normovaného priestoru X s dimenziou 2. Podľa Lemy 1 pre η := 1
2
teda existuje
vektor x3 ∈ S(0, 1) s vlastnosťou
ρ(x3, A2) ≥
1
2
, a tak i x3 − x1 ≥
1
2
a x3 − x2 ≥
1
2
.
Podobne, množina A3 := Lin {x1, x2, x3} je vlastný podpriestor normovaného
priestoru X s dimenziou 3, pričom existuje vektor x4 ∈ S(0, 1) spĺňajúci
Norma Súčin Hilbert
Dôkaz Vety 9 (pokračovanie).
ρ(x4, A3) ≥
1
2
, a tak i x4 − x1 ≥
1
2
, x4 − x2 ≥
1
2
a x4 − x3 ≥
1
2
.
Nakoľko priestor X je podľa predpokladu nekonečno rozmerný, môžeme v tomto
procese pokračovať ďalej. Získame tak postupnosť {xk}∞
k=1 ⊆ S(0, 1) s vlastnosťou
xk − xl ≥ 1
2
pre každé dva rôzne indexy k, l ∈ N. Daná postupnosť
teda nemá žiadny hromadný bod, čo je však v rozpore s kompaktnosťou množiny
S(0, 1). Preto priestor X musí mať konečnú dimenziu, t.j., platí tvrdenie (i).
Poznámka 8
Všimnime si, že v predloženom dôkaze sme vlastne ukázali ekvivalenciu
priestor X má konečnú dimenziu práve vtedy, keď jednotková sféra je kompaktná.
Ďalej poznamenajme, že ďalšie významné kritérium týkajúce sa dimenzie normovaného
priestoru je nasledujúce. Nech (X, · ) je normovaný lineárny priestor.
Potom X má konečnú dimenziu práve vtedy, keď každá norma · ∗ na X je
ekvivalentná s · . Implikácia „⇒” je vo svetle Poznámky 7 obsahom Vety 7.
Dôkaz opačnej implikácie je založený na pozorovaní, že v každom nekonečno
rozmernom normovanom priestore X sa dá k danej zvolenej norme · vždy
zostrojiť nová norma · ∗ na X, ktorá nie je ekvivalentná s · .
Norma Súčin Hilbert
Obsah
1 Normované lineárne priestory
2 Unitárne lineárne priestory
3 Klasifikácia Hilbertových priestorov
Norma Súčin Hilbert
V tejto sekcii sa budeme venovať významným špeciálnym typom lineárnych
priestorov nad daným telesom T.
Definícia 10 (Unitárny lineárny priestor)
Nech X je lineárny priestor nad T a ·, · : X × X → T je zobrazenie, ktoré pre
každú trojicu vektorov x, y, z ∈ X a každú dvojicu skalárov λ, µ ∈ T spĺňa
P1 x, x ≥ 0 a x, x = 0 práve vtedy, keď x = 0;
P2 x, y = y, x (konjugovaná symetrickosť);
P3 λ x + µ y, z = λ x, z + µ y, z (linearita vzhľadom na prvú zložku).
Zobrazenie ·, · sa nazýva skalárny súčin na X a dvojicu (X, ·, · ) označujeme
ako lineárny priestor so skalárnym súčinom, resp. unitárny priestor nad T.
Poznámka 9
Axióma P1 v Definícii 10 hovorí, že skalár x, x je pre každý vektor x ∈ X
nezáporné reálne číslo. Ďalej poznamenajme, že z axióm P2 a P3 všeobecného
(t.j., komplexného) skalárneho súčinu v Definícii 10 vyplýva jeho všeobecná antilinearita
vzhľadom na druhú zložku, konkrétne platí
x, λ y + µ z = λ x, y + µ x, z pre každé x, y, z ∈ X a každé λ, µ ∈ T. (63)
Norma Súčin Hilbert
Príklad 11
Pre dané n ∈ N položme X := Tn
. Potom zobrazenie
x, y :=
n
k=1
xk yk, x = (x1, . . . , xn), y = (y1, . . . , yn) ∈ Tn
, (64)
je (komplexný) skalárny súčin na lineárnom priestore X, ako sa môžeme ľahko
presvedčiť. Dvojica (X, ·, · ) je teda n-rozmerný unitárny priestor.
Príklad 12
Klasickým príkladom unitárneho priestoru s nekonečnou dimenziou je priestor l2
,
na ktorom je skalárny súčin definovaný predpisom
x, y :=
∞
k=1
xk yk, x = {xk}∞
k=1, y = {yk}∞
k=1 ∈ l2
. (65)
Konvergencia radu v (65) vyplýva z Hölderovej/Cauchyho nerovnosti
∞
k=1
|xk yk| ≤
∞
k=1
|xk|2
1
2 ∞
k=1
|yk|2
1
2
, {xk}∞
k=1, {yk}∞
k=1 ∈ l2
(66)
Norma Súčin Hilbert
Príklad 12
(Dodatky, Veta 4 pre p = 2 = q). Všeobecnejším prípadom tohto unitárneho
priestoru je funkcionálny priestor L2
(X, µ) z Príkladu 4. Skalárny súčin je v
tomto prípade definovaný analogickým predpisom
f, g :=
X
f g dµ, f, g ∈ L2
(X, µ), (67)
Korektnosť definície v (67) je opäť zaručená Hölderovou nerovnosťou
X
|f g| dµ ≤
X
|f|2
dµ
1
2
X
|g|2
dµ
1
2
, f, g ∈ L2
(X, µ), (68)
(Dodatky, Poznámka 1 pre p = 2 = q). V praktických aplikáciach je významný
unitárny priestor L2
[a, b] tried funkcií f : [a, b] → T, pre ktoré |f|2
je funkcia
lebesgueovsky intergovateľná na intervale [a, b].
Príklad 13
Na lineárnom priestore X := C1
[a, b] spojitých funkcií so spojitou deriváciou na
kompaktnom intervale [a, b] sa dá zaviesť skalárny súčin tvaru
f, g :=
b
a
f(x) g(x) + f′
(x) g′(x) dx, f, g ∈ X. (69)
Norma Súčin Hilbert
Veta 10 (Cauchyho–Schwarzova–Buňakovského nerovnosť)
Nech X je unitárny priestor so skalárnym súčinom ·, · . Potom platí nerovnosť
| x, y | ≤ x, x y, y pre každú dvojicu vektorov x, y ∈ X. (70)
Dôkaz Vety 10.
Kombináciou axióm P2 a P3 v Definícii 10 sa dá ľahko odvodiť, že x, 0 = 0
pre každé x ∈ X. Preto ak aspoň jeden z vektorov x, y ∈ X je nulový, nerovnosť
(70) platí triviálne. Uvažujme teda dvojicu nenulových vektorov x, y ∈ X. Podľa
axiómy P1 v Definícii 10 platí
λx + y, λx + y ≥ 0 pre každé λ ∈ T. (71)
Úpravou (71) v súlade s P2 a P3 v Definícii 10 a (63) v Poznámke 9 máme
0 ≤ tx + y, tx + y = |λ|2
x, x + λ x, y + λ x, y + y, y . (72)
Uvažujme hodnotu skaláru λ := − x, y
x, x
. Dosadením do (72) dostávame
0 ≤
| x, y |2
x, x 2
x, x −
| x, y |2
x, x
−
| x, y |2
x, x
+ y, y = y, y −
| x, y |2
x, x
.
Získaná nerovnosť priamo implikuje platnosť relácie v (70). Dôkaz je hotový.
Norma Súčin Hilbert
Poznámka 10 (Norma a rovnobežníkové pravidlo)
Využitím nerovnosti (70) je možné pomerne ľahko ukázať, že pre každý unitárny
priestor X so skalárnym súčinom ·, · je zobrazenie
x := x, x , x ∈ X, (73)
normou na lineárnom priestore X. Kým platnosť prvých dvoch axióm v Definícii 1
je pre · v (73) zrejmá, trojuholníková nerovnosť N3 vyplýva z výpočtu
x + y 2 (73)
= x, x + 2 Re x, y + y, y
(73)
≤ x 2
+ 2| x, y | + y 2
(70),(73)
≤ x 2
+ 2 x y + y 2
= ( x + y )2
pre každé x, y ∈ X.
Každý unitárny priestor X je teda zároveň i normovaný lineárny priestor s normou
· v (73) indukovaná skalárnym súčinom ·, · . Obzvlášť, platí
x + y 2
+ x − y 2
= 2 x 2
+ y 2
pre každé x, y ∈ X. (74)
Formula (74) sa štandardne nazýva rovnobežníkové pravidlo. Jej dôkaz je elementárny.
Využitím (73) pre každú dvojicu vektorov x, y ∈ X postupne dostávame
x + y 2
+ x − y 2 (73)
= x + y, x + y + x − y, x − y
= 2 x, x + 2 y, y
(73)
= 2 x 2
+ 2 y 2
.
Norma Súčin Hilbert
Poznámka 11 (Reálny a komplexný skalárny súčin)
Poznamenajme, že v unitárnych priestoroch sa odpovedajúci skalárny súčin dá
reprezentovať pomocou normy definovanej v (73). V tomto prípade však záleží
na výbere telesa T. Pre reálny unitárny priestor (X, ·, · ) platí rovnosť
x, y =
1
4
x + y 2
− x − y 2
, x, y ∈ X, (75)
ako sa môžeme ľahko presvedčiť aplikáciou formuly (73). V tomto prípade hodnota
x, y ∈ R pre každé x, y ∈ X, a tak konjugovaná symetrickosť v axióme
P2 v Definícii 10 sa redukuje na symetrickosť zobrazenia ·, · . Reálny skalárny
súčin na priestore X je teda bilineárna forma na X. Ak teleso T = C, potom
pre skalárny súčin ·, · na lineárnom priestore X platí formula
x, y =
1
4
x + y 2
− x − y 2
+ i x + iy 2
− x − iy 2
, x, y ∈ X. (76)
Komplexný skalárny súčin na X je tzv. “sesquilineárna” forma na priestore X.
Poznámka 12
Pomocou normy · na unitárnom priestore X zavedenej v Poznámke 10 je
možné Cauchyho–Schwarzovu–Buňakovského nerovnosť (70) zapísať v tvare
| x, y | ≤ x y pre každé x, y ∈ X. (77)
Norma Súčin Hilbert
Podobne ako sme v Príklade 6 vymedzili všetky metrické lineárne priestory nad T,
v ktorých metrika je indukovaná nejakou normou na tomto priestore, nasledujúce
pozoruhodné tvrdenie stanovuje všetky normované lineárne priestory nad T, v
ktorých norma je indukovaná skalárnym súčinom pomocou rovnosti (73).
Veta 11 (Jordanova–von Neumannova)
Nech X je normovaný lineárny priestor s normou · . Potom je táto norma
vytvorená nejakým skalárnym súčinom ·, · na X v zmysle formuly (73) práve
vtedy, keď platí rovnobežníkové pravidlo (74). V tomto prípade pre teleso T = R
daný skalárny súčin na X spĺňa rovnosť (75), kým pre teleso T = C daný skalárny
súčin na X spĺňa rovnosť (76).
Veta 12
Nech (X, ·, · ) je unitárny priestor nad T. Potom ·, · je spojité zobrazenie
priestoru X × X do normovaného lineárneho priestoru (T, | · |).
Dôkaz Vety 12.
Na unitárnom priestore X uvažujeme normu · definovanú rovnosťou (73). Na
súčinovom priestore X × X budeme následne pracovať so súčtovou normou
(x, y) ∗ := x + y , (x, y) ∈ X × X. (78)
Norma Súčin Hilbert
Dôkaz Vety 12 (pokračovanie).
Zvoľme dvojicu (x, y) ∈ X × X a nech {(xk, yk)}∞
k=1 ⊆ X × X je nejaká
postupnosť, ktorá konverguje v norme · ∗ k vektoru (x, y), t.j.,
lim
k→∞
(x, y) − (xk, yk) ∗ = 0 =⇒ lim
k→∞
(x − xk, y − yk ∗ = 0. (79)
V súlade s (78) je relácia v (79) ekvivalentná s rovnosťami
lim
k→∞
x − xk = 0 a lim
k→∞
y − yk = 0. (80)
Obzvlášť, každá z postupností { xk }∞
k=1, { yk }∞
k=1 ⊆ R je zrejme ohraničená.
Pomocou axióm skalárneho súčinu v Definícii 10 a Cauchyho–Schwarzovej–
Buňakovského nerovnosti (77) postupne dostávame
xk, yk − x, y = xk, yk − x, yk + x, yk − x, y
= xk − x, yk + x, yk − y ≤ xk − x, yk + x, yk − y
(77)
≤ xk − x yk + x yk − y . (81)
Kombináciou odvodenej nerovnosti (81) a relácií v (80) máme
lim
k→∞
xk, yk − x, y
(81)
≤ lim
k→∞
xk − x yk + x yk − y
(80)
= 0.
To dokazuje, že skalárny súčin ·, · je spojité zobrazenie na priestore X ×X.
Norma Súčin Hilbert
Definícia 11 (Hilbertov priestor)
Unitárny priestor (X, ·, · ) nad T, ktorý je úplný vzhľadom na normu v (73)
indukovanú daným skalárnym súčinom ·, · na X, sa nazýva Hilbertov priestor.
Príklad 14
Je ľahko vidieť, že skalárny súčin ·, · na Tn
zavedený v Príklade 11 indukuje
v súlade s Poznámou 10 euklidovskú normu na Tn
predstavenú v Príklade 1 pre
hodnotu p = 2. Obvzlášť, euklidovský priestor En
nad T je úplný, a tak (Tn
, ·, · )
je podľa Definície 11 n-rozmerný Hilbertov priestor. Na druhej strane, priestory
l2
a L2
(X, µ) v Príklade 12 sú Hilbertove priestory s nekonečnou dimenziou.
Odpovedajúci skalárny súčin v (65) vytvára normu · 2 zavedenú v Príklade 2
pre p = 2. Podobne, skalárny súčin v (67) generuje integrálnu normu · 2
definovanú formulou (7) v Príklade 4 pre hodnotu p = 2.
Príklad 15
Unitárny lineárny priestor C1
[a, b] so skalárnych súčinom ·, · zavedenom v (69)
v Príklade 13 nie je Hilbertov priestor, nakoľko odpovedajúca norma v zmysle
(73) nie je úplná. Jeho úplným obalom je Sobolevov unitárny priestor W 1,2
[a, b].
Norma Súčin Hilbert
Definícia 12 (Izometria unitárnych priestorov)
Nech X a Y sú lineárne priestory nad daným telesom T so skalárnymi súčinmi
·, · X a ·, · Y . Hovoríme, že unitárne priestory (X, ·, · X ) a (Y, ·, · Y ) sú
lineárne izometrické/izometricky izomorfné, ak existuje bijektívne lineárne zobrazenie
F : X → Y , ktoré zachováva skalárny súčin, t.j.,
F (x), F (y) Y = x, y X pre každé dva vektory x, y ∈ X. (82)
Poznámka 13
Všimnime si, že Definícia 12 korešponduje s Definíciou 5. Konkrétne, z izometrického
izomorfizmu unitárnych lineárnych priestorov (X, ·, · X ) a (Y, ·, · Y )
prirodzene vyplýva izometrický izomorfizmus normovaných lineárnych priestorov
(X, · X ) a (Y, · Y ) s odpovedajúcimi normami · X a · Y v (73). Na
základe výsledkov predchádzajúcej sekcie o normovaných priestoroch konečnej
dimenzie a z Poznámky 14 ľahko odvodíme, že každý konečno rozmerný Hilbertov
priestor nad daným telesom T s dimenziou n ∈ N je izometricky izomorfný s
euklidovským priestorom En
nad T, v ktorom je skalárny súčin definovaný podľa
(64). Podobná klasifikácia platí i v prípade ostatných Hilbertových priestorov,
avšak na základe tzv. Hilbertovej dimenzie priestoru. V tomto smere dokážeme,
že každý separabilný Hilbertov priestor je izometricky izomorfný s priestormi l2
a L2
(X, µ) diskutovanými v Príkladoch 12 a 14.
Norma Súčin Hilbert
Dôležitými pojmami v teórii unitárnych lineárnych priestorov je ortogonalita vektorov
a ortogonálne množiny vektorov.
Definícia 13 (Ortogonálne a ortonormálne množiny vektorov)
Nech X je unitárny lineárny priestor nad T so skalárnym súčinom ·, · . Hovoríme,
že vektory x, y ∈ X sú ortogonálne, ak x, y = 0. Neprázdna množina
nenulových vektorov S ⊆ X sa označuje ako ortogonálna v X, ak platí x, y = 0
pre každé dva rôzne vektory x, y ∈ S. Ak naviac x = 1 pre každé x ∈ S,
množina S sa nazýva ortonormálny. Podobne množiny A, B ⊆ X sa označujú
ako ortogonálne v X, ak platí a, b = 0 pre každé a ∈ A a každé b ∈ B.
Definícia 14 (Ortogonálny doplnok množiny)
Nech X je unitárny lineárny priestor so skalárnym súčinom ·, · a A ⊆ X je
množina. Množinu A⊥
definovaná predpisom
A⊥
:= {x ∈ X, x, y = 0 pre každé y ∈ A} (83)
nazývame ortogonálny doplnok množiny A v priestore X.
Poznámka 14
Nie je ťažké sa presvedčiť, že platia rovnosti X⊥
= {0} a {0}⊥
= X.
Norma Súčin Hilbert
Poznámka 15
Dôležitým pozorovaním je skutočnosť, že pre každú množinu A ⊆ X je ortogonálny
doplnok A⊥
v Definícii 14 uzavretý lineárny podpriestor v X, t.j.,
normovaný podpriestor v X vzhľadom na normu · v (73). Naviac, platí
A ⊆ A⊥
⊥
pre každú množinu A ⊆ X. (84)
Relácia (84) je dôsledkom linearity skalárneho súčinu vzhľadom na prvú zložku a
jeho spojitosti. Je však potrebné zdôrazniť, že v prípade všeobecného unitárneho
priestoru sa nemusí inklúzia (84) vždy realizovať ako rovnosť.
Veta 13 (Ortogonálna projekcia do uzavretého podpriestoru)
Nech X je Hilbertov priestor nad T so skalárnym súčinom ·, · a A ⊆ X je
normovaný lineárny podpriestor. Potom každý vektor x ∈ X sa dá jednoznačne
vyjadriť v tvare x = y +z, kde y ∈ A a z ∈ A⊥
. Vektor y sa nazýva ortogonálna
projekcia vektora x do normovaného podpriestoru A.
Dôkaz Vety 13.
Dokážeme najprv existenciu daného rozkladu pre každý prvok x ∈ X. Ak x ∈ A,
potom stačí vziať y = x a z = 0. Predpokladajme preto, že vektor x ∈ X \ A,
Norma Súčin Hilbert
Dôkaz Vety 13 (pokračovanie).
t.j., vzdialenosť d := ρ(x, A) > 0. Pripomeňme, že metrika ρ na X je indukovaná
normou · danou skalárnym súčinom ·, · podľa (1) a (73). Obzvlášť, platí
0 < d ≤ x − u pre každé u ∈ A. (85)
Naviac, existuje postupnosť {yk}∞
k=1 ⊆ A s vlastnosťou
lim
k→∞
x − yk = lim
k→∞
ρ(x, yk) = d. (86)
Ukážeme, že postupnosť {yk}∞
k=1 je cauchyovská v priestore X. Využitím
rovnobežníkového pravidla (74) pre každé dva indexy m, n ∈ N postupne máme
yn − ym
2
= (x − ym) − (x − yn) 2
(74)
= 2 x − ym
2
+ 2 x − yn
2
− 2x − yn − ym
2
= 2 x − ym
2
+ 2 x − yn
2
− 4 x −
1
2
(yn + ym)
2
(87)
Nakoľko vektor u := 1
2
(yn + ym) je zrejme prvkom podpriestoru A, podľa (85)
platí d ≤ x − u , a tak pomocou (87) dostávame nerovnosť
yn − ym
2
≤ 2 x − ym
2
+ 2 x − yn
2
− 4d2
(88)
A keďže z (86) vieme, že limm→∞ x − ym = d = limn→∞ x − yn , získaná
nerovnosť (88) implikuje reláciu
Norma Súčin Hilbert
Dôkaz Vety 13 (pokračovanie).
yn − ym → 0 pre min{m, n} → ∞. (89)
Teda postupnosť {yk}∞
k=1 je skutočne cauchyovská a vďaka úplnosti priestoru X i
konvergentná v X. Označme y := limk→∞ yk. Keďže podpriestor A je uzavretý,
vektor y ∈ A. Naviac, využijúc spojitosť normy · v súlade s Vetou 1, z relácie
(86) vyplýva rovnosť x − y = d. Položme z := x − y. Ukážeme, že vektor z
je prvkom ortogonálneho doplnku A⊥
, t.j., v zhode s (83) spĺňa z, u = 0 pre
každé u ∈ A. Zvoľme nejaký vektor u ∈ A. Potom pre každý skalár t ∈ T je
z + tu = x − y + tu = x − (y − tu)
∈A
, a tak podľa (85) platí z + tu ≥ d.
Následne, využitím formuly (73) a základných vlastností skalárneho súčinu máme
d2
≤ z + tu 2 (73)
= z + tu, z + tu = z, z + t z, u + t z, u + |t|2
u, u
(73)
= z 2
d2
+|t|2
u 2
+ t z, u + t z, u , a tak dostávame nerovnosť
|t|2
u 2
+ t z, u + t z, u ≥ 0 pre každé t ∈ T. (90)
Nie je ťažké si premyslieť, že posledná nerovnosť môže byť splnená pre každé
t ∈ T jedine vtedy, keď z, u = 0. Preto z ∈ A⊥
, a tak platí rozklad x = y + z.
Norma Súčin Hilbert
Dôkaz Vety 13 (pokračovanie).
Napokon dokážeme jednoznačnosť tohto rozkladu. Ak ˜y ∈ A a ˜z ∈ A⊥
je dvojica
vekorov spĺňajúca x = ˜y + ˜z, potom y + z = ˜y + ˜z, a následne y − ˜y = ˜z − z.
Vektor y − ˜y ∈ A a vektor ˜z − z ∈ A⊥
, takže podľa Definície 14 máme
y − ˜y 2 (73)
= y − ˜y, y − ˜y = ˜z − z, y − ˜y = 0,
a tak ˜y = y, a následne i ˜z = z. Dôkaz je teraz kompletný.
Dôsledok 3
Nech X je Hilbertov priestor nad T so skalárnym súčinom ·, · a A ⊆ X je
normovaný lineárny podpriestor. Potom platí rovnosť A = A⊥ ⊥
.
Dôkaz Dôsledku 3.
V súlade s Poznámkou 15 zrejme stačí dokázať inklúziu A⊥ ⊥
⊆ A. Nech
x ∈ A⊥ ⊥
je ľubovoľný vektor. Z Vety 13 vieme, že existujú vektory y ∈ A a
z ∈ A⊥
s vlastnosťou x = y+z. Obzvlášť, podľa (83) máme x, z = 0 = y, z ,
a tak z 2
= z, z = 0, čo znamená, že vektor z = 0. Preto x = y ∈ A.
Norma Súčin Hilbert
Poznámka 16
Výsledok Vety 13 možno ekvivalentne vyjadriť v tvare
X = A ⊕ A⊥
, (91)
kde symbol ⊕ reprezentuje algebraický súčet podpriestorov A a A⊥
. V dôkaze
Vety 13 sme ukázali, že pre každý vektor x ∈ X sa v jeho ortogonálnej projekcii
y do normovaného podpriestoru A realizuje vzdialenosť ρ(x, A), t.j., platí
ρ(x, A) = x − y . Zobrazenie P : X → A definované predpisom P(x) = y,
kde y je ortogonálna projekcia vektora x sa rovnomenne nazýva (ortogonálna)
projekcia priestoru X na podpriestor A. Nie je ťažké overiť, že platí
(i) P je lineárne zobrazenie,
(ii) R(P) = A a Ker P = A⊥
,
(iii) P2
(x) = P(x) a P(x) ≤ x pre každé x ∈ X.
Obzvlášť, z vlastností (i) a (iii) vyplýva, že zobrazenie P je lipschitzovské, presnejšie
neexpanzívne zobrazenie. Dokazuje to výpočet
P (x) − P (y)
(i)
= P (x − y)
(iii)
≤ x − y , pre každé x, y ∈ X (92)
Spojitosť projekcie P znamená, že podpriestor A⊥
je topologickým doplnkom
podpriestoru A v X a rozklad v (91) môžeme zapísať v tvare X = A ⊕t A⊥
.
Norma Súčin Hilbert
V ďalšej časti prednášky budeme študovať ortonormálnych systémov vektorov.
Definícia 15 (Úplné a uzavreté systémy vektorov)
Nech (X, ·, · ) je unitárny priestor nad T a A ⊆ X je daná množina.
(i) Systém vektorov A nazývame úplným, ak jediný prvok x ∈ X, ktorý spĺňa
x, y = 0 pre každé y ∈ A, je x = 0.
(ii) Systém vektorov A sa označuje ako uzavretý, ak platí Lin T A = X.
Nasledujúce tvrdenie ukazuje, že v prípade ortonormálnych systémov v Hilbertových
priestoroch pojmy úplnosť a uzavretosť zavedené v Definícii 15 splývajú.
Veta 14
Nech X je Hilbertov priestor nad T so skalárnym súčinom ·, · . Potom ortonormálny
systém A ⊆ X je uzavretý práve vtedy, keď je úplný.
Dôkaz Vety 14.
Nech ortonormálny systém A ⊆ X je uzavretý a nech x ∈ X spĺňa x, u = 0 pre
každé u ∈ A. V súlade s Definíciou 15(ii) existuje postupnosť {xk}∞
k=1 ⊆ Lin T A
taká, že limk→∞ xk = x. Potom x, xk = 0 pre každé k ∈ N a následne
Norma Súčin Hilbert
Dôkaz Vety 14 (pokračovanie).
x 2 (73)
= x, x = x, lim
k→∞
xk
Veta 12
= lim
k→∞
x, xk = lim
k→∞
0 = 0,
t.j., vektor x = 0. Podľa Definície 15(i) je teda systém A úplný. Naopak, nech
systém A ⊆ X je úplný a zvoľme ľubovoľný vektor x ∈ Lin AT
⊥
. Nakoľko
A ⊆ Lin T A, podľa Definície 14 platí x, u = 0 pre každé u ∈ A. Vďaka
úplnosti systému A je potom v súlade s Definíciou 15(i) vektor x = 0. Takže
podpriestor Lin T A
⊥
= {0}, z čoho následne podľa Dôsledku 3 máme
Lin T A = Lin T A
⊥ ⊥
= {0}⊥ Poznámka 14
= X.
V zhode s Definíciou 15(ii) je teda systém A uzavretý a dôkaz je hotový.
Poznámka 17
Všimnime si, že úplnosť unitárneho priestoru (X, ·, · ) sme využili iba pri dôkaze,
že úplný systém A ⊆ X je uzavretý. To znamená, že vo všeobecnom unitárnom
lineárnom priestore je každý uzavretý systém vektorov zároveň aj úplný.
Ústredným objektom v teórii unitárnych priestorov je ortonormálna báza.
Norma Súčin Hilbert
Definícia 16 (Ortonormálna báza unitárneho priestoru)
Nech X je unitárny lineárny priestor nad T so skalárnym súčinom ·, · . Pod pojmom
ortonormálna báza priestoru X rozumieme každý maximálny ortonormálny
systém vektorov v priestore X.
Prirodzenou otázkou je existencia ortonormálnej bázy pre daný unitárny priestor.
Ukazuje sa, že podobne ako pri lineárnych priestoroch a ich Hamelových bázach
odpoveď závisí na predpoklade axiómy výberu.
Veta 15
Každý unitárny lineárny priestor nad T má aspoň jednu ortonormálnu bázu.
Dôkaz Vety 15.
Dôkaz prebieha analogicky ako pri dokazovaní existencie algebraickej bázy
lineárneho priestoru. Pre všeobecný unitárny lineárny priestor je nekonštruktívny
a využíva predpoklad platnosti Zornovej lemy. V prípade separabilného
unitárneho priestoru je možné zostaviť alternatívny dôkaz bez použitia Zornovej
lemy. Je založený na Gramovom–Schmidtovom ortonormalizačnom procese aplikovanom
na vhodný najviac spočítateľný lineárne nezávislý systém vektorov.
Tento prístup si ukážeme neskôr v prednáške.
Norma Súčin Hilbert
Lema 3
Nech X je unitárny priestor nad T so skalárnym súčinom ·, · . Ortonormálny
systém A ⊆ X je ortonormálnou bázou priestoru X práve vtedy, keď je úplný.
Dôkaz Lemy 3.
Každá ortonormálna báza A ⊆ X musí byť nutne úplný systém vektorov. V
opačnom prípade by v súlade s Definíciou 15(i) existoval jednotkový vektor x ∈ X
taký, že množina A ∪ {x} by bola ortonormálnym systémom. To je však v
rozpore s vlastnosťou maximality ortonormálnej bázy v Definícii 16. Na druhej
strane, ak ortonormálny systém A ⊆ X je úplný, potom podľa Definície 15(i) je
maximálnym ortonormálnym systémom. V zhode s Definíciou 16 sa teda jedná
o ortonormálnu bázu unitárneho priestoru X. Dôkaz je hotový.
Lema 4
Nech X je unitárny priestor nad T so skalárnym súčinom ·, · . Každý uzavretý
ortonormálny systém A ⊆ X je ortonormálnou bázou priestoru X.
Dôkaz Lemy 4.
Výsledok je priamym dôsledkom komentára v Poznámke 17 a Lemy 3.
Norma Súčin Hilbert
Nasledujúce tvrdenia sa týkajú vzťahu ortonormality a lineárnej nezávislosti systémov
vektorov v unitárnych priestoroch.
Veta 16
Nech X je unitárny priestor so skalárnym súčinom ·, · a A ⊆ X je ortonormálny
systém. Potom A je lineárne nezávislá množina v lineárnom priestore X.
Dôkaz Vety 16.
Nech {x1, . . . , xn} ⊆ A, n ∈ N, je nejaká konečná množina vektorov a nech
λ1, . . . , λm ∈ T je n-tica skalárov spĺňajúca
λ1 x1 + · · · + λn xn = 0. (93)
Využitím základných vlastností skalárneho súčinu potom dostávame
0 = xi, 0
(93)
= xi, λ1 x1 + · · · + λn xn = λ1 xi, x1 + · · · + λn xi, xn
= λi xi, xi pre každé i ∈ {1, . . . , n}, (94)
keďže v súlade s Definíciou 13 platí xi, xj = 0 pre každé dva rôzne indexy
i, j ∈ {1, . . . , m}. Nakoľko xi, xi = 1 pre každé i ∈ {1, . . . , n}, z (94) máme
rovnosť λi = 0 pre každý index i ∈ {1, . . . , n}. Vektory x1, . . . , xn sú teda
lineárne nezávislé v X, a tak množina A je lineárne nezávislá v X.
Norma Súčin Hilbert
Veta 17
Nech X je unitárny priestor so skalárnym súčinom ·, · a A ⊆ X je najviac spočítateľná
a lineárne nezávislá množina v X. Potom existuje najviac spočítateľný
ortonormálny systém B ⊆ X taký, že platí Lin T B = Lin T A.
Dôkaz Vety 17.
Tvrdenie sa dokáže aplikáciou štandardného Gramovho–Schmidtovho ortonormalizačného
procesu na množinu A.
Ako sme už zmienili v dôkaze Vety 15, existencia ortonormálnej bázy pre separabilné
unitárne lineárne priestory nezávisí na platnosti axiómy výberu.
Veta 18
Nech X je separabilný unitárny priestor nad T so skalárnym súčinom ·, · . Potom
v priestore X existuje aspoň jedna ortonormálna báza.
Dôkaz Vety 18.
Nech {xk}∞
k=1 ⊆ X je množina hustá v priestore X. Z tejto postupnosti vylúčime
všetky členy xl, l ∈ N, ktoré sa dajú vyjadriť ako lineárna kombinácia vektorov
Norma Súčin Hilbert
Dôkaz Vety 18.
xk s indexami k < l. Touto procedúrou získame najviac spočítateľný a lineárne
nezávislý systém A ⊆ X, ktorý je uzavretý, t.j., podľa Definície 15(ii) platí
Lin T A = X. V súlade s Vetou 17 jej ortonormalizáciou dostaneme najviac
spočítateľný ortonormálny systém B ⊆ X, ktorý spĺňa Lin T B = Lin T A = X.
Podľa Definície 15(ii) je ortonormálny systém B uzavretý, čo v kombinácii s
Lemou 4 napokon dokazuje, že B je ortonormálna báza priestoru X.
Poznámka 18
Doplňme, že v separabilnom unitárnom priestore (X, ·, · ) je každý ortonormálny
systém A ⊆ X najviac spočítateľná množina. Vyplýva to zo skutočnosti, že pre
vzdialenosť každých dvoch rôznych prvkov x, y ∈ A platí
ρ(x, y)
(1)
= x − y
(73)
= x − y, x − y = x, x + y, y =
√
2. (95)
Je prirodzené študovať vzťah medzi ortonormálnymi a Hamelovými bázami daného
unitárneho lineárneho priestoru nad T. Kľúčovými parametrami sú dimenzia
daného priestoru a úplnosť priestoru vzhľadom na normu generovanú odpovedajúcim
skalárnym súčinom v (73). Ilustrujeme to na nasledujúcich príkladoch.
Norma Súčin Hilbert
Príklad 16 (Unitárne lineárne priestory konečnej dimenzie)
V prípade unitárne lineárneho priestoru (X, ·, · ) nad T s konečnou dimenziou
je každá ortonormálna báza zároveň i Hamelovou bázou tohto priestoru. Je to
dôsledkom úplnosti priestoru X vzhľadom na normu v (73). Skutočne, ak A ⊆ X
je nejaká ortonormálna báza, potom kombináciou Lemy 3 a Vety 14 dostávame,
že systém vektorov A je uzavretý, t.j., podľa Definície 15(ii) platí Lin T A = X.
Nakoľko v konečno rozmerných normovaných priestoroch sú všetky algebraické
podpriestory uzavreté, dostávame Lin T A = Lin T A = X. To znamená, že
množina A je Hamelovou bázou priestoru X (Dodatky, Definícia 12).
Príklad 17 (Hilbertove priestory nekonečnej dimenzie)
V Hilbertovom priestore nekonečnej dimenzie žiadna ortonormálna báza nemôže
byť jeho Hamelovou bázou. Toto tvrdenie zdôvodníme neskôr v prednáške.
Pre neúplne nekonečno rozmerné unitárne lineárne priestory nie je všeobecný
vzťah medzi ortonormálnymi a Hamelovými bázami. Svedčia o tom nasledujúce
dva príklady. Poznamenajme, že obidva skúmané unitárne priestory majú rovnaký
úplný obal, konkrétne Hilbertov priestor L2
[a, b] v Príkladoch 12 a 14.
Norma Súčin Hilbert
Príklad 18
Na lineárnom priestore C[−π, π] spojitých komplexných funkcií na intervale
[−π, π] je možné definovať skalárny súčin tvaru
f, g :=
π
−π
f(x) g(x) dx, f, g ∈ C[−π, π]. (96)
Jednou z ortonormálnych báz priestor (C[−π, π], ·, · ) je trigonometrický systém
1√
2π
, cos nx√
π
, sin nx√
π
, n ∈ N . Táto množina však nie je Hamelovou bázou
priestoru (C[−π, π], ·, · ), nakoľko existujú spojité funkcie, ktoré na [−π, π] nemajú
tvar trigonometrického polynómu.
Príklad 19
Uvažujme lineárny priestor polynómov P[−1, 1] so skalárnym súčinom v (96)
na intervale [−1, 1]. Jeho Hamelovou bázou je spočítateľný systém polynómov
{xn
}∞
n=0. Ortonormalizáciou vznikne systém polynómov {rn}∞
n=0 tvaru
rn(x) :=
1
n! 2n
2n + 1
2
dn
dxn
(x2
− 1)n
, n ∈ N0. (97)
Podľa Vety 17 platí Lin T {rn}∞
n=0 = Lin T {xn
}∞
n=0, a tak {rn}∞
n=0 je Hamelova
báza priestoru P[−1, 1]. Zároveň {rn}∞
n=0 je aj ortonormálna báza v P[−1, 1].
Norma Súčin Hilbert
Fourierove koeficienty a Fourierove rady
Definícia 17 (Fourierove koeficienty a Fourierov rad)
Nech X je unitárny lineárny priestor nad T so skalárnym súčinom ·, · a S ⊆ X
je ortonormálny systém. Pre dané x ∈ X sa skaláry definované
cu := x, u , u ∈ S, (98)
nazývajú Fourierove koeficienty vektora x vzhľadom na systém S. Nekonečný
rad u∈S cuu sa označuje ako Fourierov rad vektora x vzhľadom na systém S.
Základnou témou tejto časti prednášky bude skúmanie konvergencie nekonečného
radu u∈S cuu pre daný vektor x ∈ X. Keďže ortonormálny systém S ⊆ X
môže byť vo všeobecnosti nespočítateľný, budeme používať pojem konvergencie
nekonečného radu predstavený v Definícii 9. Pre danú ortonormálny systém
S ⊆ X a daný vektor x ∈ X zaveďme označenie
sx(A) :=
u∈A
cuu pre danú konečnú množinu A ⊆ S. (99)
Nasledujúce tvrdenie je kľúčové pre vyšetrovanie konvergencie Fourierových radov
v unitárnych lineárnych priestoroch.
Norma Súčin Hilbert
Lema 5
Nech X je unitárny lineárny priestor nad T so skalárnym súčinom ·, · a S ⊆ X
je daný ortonormálny systém. Nech A ⊆ S je nejaká konečná množina, pričom
položme A := {u1, . . . , un}. Potom pre každý vektor x ∈ X a pre každú n-ticu
skalárov λ1, . . . , λn ∈ T platí rovnosť
x − s(A) 2
= x 2
−
u∈A
|cu|2
+
k∈{1,...,n}
|λk − cuk |2
, (100)
kde cu, cuk , k = {1, . . . , n}, sú odpovedajúce Fourierove koeficienty v (98)
vektora x a veličina s(A) := n
k=1 λk uk.
Dôkaz Lemy 5.
Zvoľme vektor x ∈ X a skaláry λ1, . . . , λn ∈ T. Využitím Definície 17 a základných
vlastností skalárneho súčinu v Definícii 10 a Poznámke 9 postupne máme
x − s(A) 2
= x −
n
k=1
λk uk
2
(73)
= x −
n
k=1
λk uk, x −
n
l=1
λl ul
= x, x −
n
l=1
λl x, ul
cul
−
n
k=1
λk uk, x
cuk
+
n
k,l=1
λk λl uk, ul
δkl
Norma Súčin Hilbert
Dôkaz Lemy 5 (pokračovanie).
(73)
= x 2
−
n
l=1
λl cul −
n
k=1
λk cuk +
n
m=1
|λm|2
k=l=m
= x 2
+
n
k=1
|λk|2
− λk cuk − λk cuk + |cuk |2
−
n
k=1
|cuk |2
= x 2
−
n
k=1
|cuk |2
+
n
k=1
|λk − cuk |2
.
Získaný výraz je požadovaná pravá strana formuly (100). Dôkaz je hotový.
Poznámka 19
Získanú rovnosť v Leme 5 možno geometricky interpetovať nasledujúcim spôsobom.
Medzi všetkými lineárnymi kombináciami daných vektorov u1, . . . , un
ortonormálenho systému S aproximuje vektor x v norme · najlepšie práve
súčet sx(u1, . . . , un) v (99), t.j., práve tá lineárna kombinácia, ktorej koeficienty
sú Fourierovými koeficientami vektora x vzhľadom na vektory u1, . . . , un. Toto
pozorovanie má svoje uplatnenie v numerickej analýze, kde je základom tzv.
metódy najmenších štvorcov.
Norma Súčin Hilbert
Dôsledok 4 (Besselova nerovnosť)
S označením a predpokladmi Lemy 5 platí pre každé x ∈ X identita
x 2
=
u∈A
|cu|2
+ x − sx(A) 2
pre každú konečnú množinu A ⊆ S. (101)
Obzvlášť, platí Besselova nerovnosť
u∈A
|cu|2
≤ x 2
pre každú konečnú množinu A ⊆ S. (102)
Dôkaz Dôsledku 4.
Formula (101) vyplýva priamo z rovnosti (100) pre voľbu koeficientov λk := cuk ,
k ∈ {1, . . . , n}. Keďže x − sx(A) ≥ 0 pre každú konečnú množinu A ⊆ S, z
rovnosti (101) dostávame nerovnosť (102). Dôkaz je hotový.
Veta 19
Nech X je unitárny lineárny priestor nad T so skalárnym súčinom ·, · a S ⊆ X
je daný ortonormálny systém. Potom pre každý vektor x ∈ X je nekonečný rad
u∈S |cu|2
, kde cu, u ∈ S, sú Fourierove koeficienty v (98), konvergentný.
Norma Súčin Hilbert
Dôkaz Vety 19.
Zvoľme vektor x ∈ X a uvažujme súbor {cu}u∈S jeho Fourierových koeficientov
vzhľadom na ortonormálny systém S. Podľa Besselovej nerovnosti (102) platí
sup



u∈A
|cu|2
, A ∈ S je konečná množina



(102)
≤ x 2
< ∞. (103)
V súlade s Vetou 6 je potom nekonečný rad u∈S |cu|2
konvergentný v R.
Z (103) vyplýva odhad
u∈S
|cu|2
≤ x 2
pre každé x ∈ X. (104)
Veta 20 (Parsevalova rovnosť)
Nech X je unitárny lineárny priestor nad T so skalárnym súčinom ·, · a S ⊆ X
je daný ortonormálny systém. Nasledujúce tvrdenia sú ekvivalentné.
(i) Pre vektor x ∈ X Fourierov rad u∈S cuu konverguje k x v priestore X.
(ii) Pre vektor x ∈ X platí Parsevalova rovnosť
u∈S
|cu|2
= x 2
. (105)
Norma Súčin Hilbert
Dôkaz Vety 20.
Symbolom S označme systém všetkých konečných podmnožín množiny S.
Zvoľme vektor x ∈ X. Predpokladajme, že Fourierov rad u∈S cuu je konvergentný
v priestore X so súčtom x. Podľa Definície 9 platí relácia v (47), t.j.,
pre každé ε > 0 existuje množina Aε ∈ S taká, že platí
x − sx(Aε) <
√
ε (106)
kde vektor sx(Aε) je definovaný v (99). V súlade s formulou (101) je nerovnosť
(106) ekvivalentná s reláciou
x 2
− ε <
u∈Aε
|cu|2
. (107)
Vzhľadom na nerovnosť (103) podmienka v (107) vyjadruje skutočnosť, že číslo
x 2
je suprémum množiny { u∈A |cu|2
, A ∈ S}. Následne podľa Vety 6
dostávame, že súčet nekonečného radu u∈S |cu|2
je x 2
, t.j., platí rovnosť
(105). Naopak, nech platí Parsevalova rovnosť (105). Kombináciou Vety 6 a
nerovnosti (103) je x 2
suprémum množiny { u∈A |cu|2
, A ∈ S}. Preto pre
každé ε > 0 existuje množina Aε ∈ S s vlastnosťou x 2
− ε2
< u∈Aε
|cu|2
.
Keďže rad u∈S |cu|2
má nezáporné členy, platí
x 2
− ε2
<
u∈Aε
|cu|2
≤
u∈A
|cu|2
pre každé A ∈ S s Aε ⊆ A. (108)
Norma Súčin Hilbert
Dôkaz Vety 20 (pokračovanie).
Kombináciou (108) s identitou (101) dostávame
x − sx(A) < ε pre každé A ∈ S s Aε ⊆ A. (109)
kde sx(A) je definované v (99). V súlade s Definíciou 9 relácia v (109) znamená,
že nekonečný rad u∈S cuu konverguje v priestore X k vektoru x.
Veta 21
Nech X je unitárny lineárny priestor nad T so skalárnym súčinom ·, · a S ⊆ X
je daný ortonormálny systém. Potom systém S je uzavretý práve vtedy, keď pre
každý vektor x ∈ X platí Parsevalova rovnosť (105) vzhľadom na S.
Dôkaz Vety 21.
Predpokladajme, že systém S je uzavretý vzhľadom na X a zvoľme vektor x ∈ X.
V súlade s Definíciou 15(ii) potom pre každé ε > 0 existuje nε ∈ N, množina
A = {u1, . . . , unε } ⊆ S a skaláry λ1, . . . , λnε ∈ T tak, že x − s(A) <
√
ε,
kde vektor s(A) := nε
k=1 λk uk. Kombináciou s formulou (100) dostaneme
x 2 (100)
= x − s(A) 2
+
u∈A
|cu|2
−
k∈{1,...,nε}
|λk − cuk |2
< ε +
u∈A
|cu|2
. (110)
Norma Súčin Hilbert
Dôkaz Vety 21 (pokračovanie).
Vzhľadom na Besselovu nerovnosť (102) odvodená relácia v (110) vyjadruje skutočnosť,
že číslo x 2
je suprémum množiny { u∈A |cu|2
, A ∈ S}. V kontexte
dôkazu Vety 20 následne platí Parsevalova rovnosť (105). Naopak, nech pre
každý vektor x ∈ X je splnená Parsevalova rovnosť (105) vzhľadom na systém
S. Potom podľa Vety 20(i) platí u∈S cuu = x pre každé x ∈ X. Nie je ťažké
si premyslieť, že v kontexte Definície 9 to znamená, že Lin T S = X. V zhode s
Definíciou 15(ii) je teda systém S uzavretý. Dôkaz je hotový.
Veta 22 (Fourierove rady v Hilbertovom priestore)
Nech X je Hilbertov priestor nad T so skalárnym súčinom ·, · a S ⊆ X je daný
ortonormálny systém. Nasledujúce tvrdenia sú ekvivalentné.
(i) Systém S je ortonormálna báza priestoru X.
(ii) Systém S je úplný.
(iii) Systém S je uzavretý.
(iv) Pre každý vektor x ∈ X platí u∈S cuu = x, kde cu, u ∈ S, sú Fourierove
koeficienty vzhľadom na systém S.
(v) Pre každý vektor x ∈ X platí Parsevalova rovnosť u∈S |cu|2
= x 2
.
Norma Súčin Hilbert
Z vyššie získaných výsledkov vidíme, že v teórii Fourierových radov v unitárnych
lineárnych priestoroch sú významné podmnožiny skalárov {λα}α∈I ⊆ T, kde I
je nejaká indexová množina, pre ktoré je
nekonečný rad
α∈I
|λα|2
konvergentný. (111)
Keďže členy nekonečného radu v (111) sú nezáporné reálne čísla, jeho konvergencia
je úplne charakterizovaná vo Vete 6.
Lema 6
Nech I je daná indexová množina a {λα}α∈I ⊆ T je daný systém skalárov. Ak
nekonečný rad v (111) je konvergentný, potom množina všetkých indexov α ∈ I,
pre ktoré platí λα = 0, je najviac spočítateľná.
Dôkaz Lemy 6.
Označme s := α∈I |λα|2
a predpokladajme, že s ∈ R. Ukážeme, že pre
každé n ∈ N existuje iba konečne veľa indexov α ∈ I takých, že |λα| ≥ 1
n
,
konkrétne najviac n2
s. Zvoľme n ∈ N a sporom predpokladajme, že existujú
skaláry λα1 , . . . , λαm pre nejaké m > n2
s s vlastnosťou |λαk | ≥ 1
n
pre každé
k ∈ {1, . . . , m}. Z Vety 6 vieme, že m
k=1 |λαk | ≤ s. Na druhej strane máme
Norma Súčin Hilbert
Dôkaz Lemy 6 (pokračovanie).
m
k=1
|λαk | ≥
m
k=1
1
n2
=
m
n2
> s,
čo odporuje vyššie uvedenému odhadu. A nakoľko platí
{λα = 0, α ∈ I} =
n∈N
|λα| ≥
1
n
, α ∈ I , (112)
nenulových prvkov v systéme {λα}α∈I môže byť najviac spočítateľne veľa.
Pre danú indexovú množinu I uvažujme množinu všetkých systémov skalárov
{λα}α∈I ⊆ T, ktoré spĺňajú pdomienku (111), t.j.,
V := {λα}α∈I ⊆ T,
α∈I
|λα|2
< ∞ . (113)
Ak na množine V v (113) zavedieme sčítanie a násobenie skalárom v tvare
{λα}α∈I + {µα}α∈I := {λα + µα}α∈I , ν {λα}α∈I := {νλα}α∈I (114)
pre každé {λα}α∈I , {µα}α∈I ∈ V a každé ν ∈ T, potom pomocou Vety 6 a
Norma Súčin Hilbert
Minkowského nerovnosti (Dodatky, Veta 3 pre p = 2) nie je ťažké ukázať, že V
je lineárny priestor nad T. Naviac, z Hölderovej nerovnosti (Dodatky, Veta 2 pre
p = 2 = q) vyplýva, že zobrazenie
{λα}α∈I , {µα}α∈I :=
α∈I
λα µα, {λα}α∈I , {µα}α∈I ∈ V, (115)
je skalárny súčin na priestore V . Takto definovaný unitáry lineárny priestor
budeme označovať l2
(I). Dá sa dokonca ukázať, že sa jedná o Hilbertov priestor.
Poznámka 20
Pre každú konečnú indexovú množinu I s mohutnosťou n ∈ N je priestor l2
(I)
zrejme totožný s euklidovským priestorom Tn
. V prípade I = N je l2
(N) = l2
,
kde l2
je unitárny priestor predstavený v Príklade 12. V oboch prípadoch sa
jedná sa o separabilný Hilbertov priestor s ortonormálnou bázou
em := {δmk}N
k=1, m ∈ N, (116)
kde δnk je štandardný Kroneckerov symbol a hodnota N ∈ N ∪ {∞}. V prípade
I = T dostávame neseparabilný Hilbertov priestor l2
(T) s ortonormálnou bázou
et := {δts}s∈T, t ∈ T. (117)
Systémy et, t ∈ T, v (117) je zrejme možné identifikovať ako súbor charakteristických
funkcií všetkých jednobodových množín v telese T.
Norma Súčin Hilbert
Nech X je unitárny lineárny priestor nad telesom T so skalárnym súčinom ·, · a
S ⊆ X je daný ortonormálny systém. V súlade s Vetou 19 a nerovnosťou (104)
sme odvodili, že pre každý vektor x ∈ X je systém Fourierových koeficientov
{cu}u∈S v (98) prvkom priestoru l2
(S). Môžeme preto uvažovať zobrazenie
Φ : X → l2
(S) definované predpisom
Φ(x) := {cu}u∈S
(98)
= { x, u }u∈S, x ∈ X. (118)
Nasledujúce výsledok predstavuje doplnenie Vety 22 ďalšou vlastnosťou, ktorá je
ekvivalentná s tvrdeniami (i)–(v).
Veta 23 (Fourierove rady v Hilbertovom priestore)
Nech X je Hilbertov priestor nad T so skalárnym súčinom ·, · a S ⊆ X je daný
ortonormálny systém. Nasledujúce tvrdenia sú ekvivalentné.
(i) Pre každý vektor x ∈ X platí u∈S cuu = x, kde cu, u ∈ S, sú Fourierove
koeficienty vzhľadom na systém S.
(ii) Pre každú dvojicu vektorov x, y ∈ X platí rovnosť
x, y =
u∈S
cu du, (119)
kde cu a du, u ∈ S, sú Fourierove koeficienty x a y vzhľadom na S.
Norma Súčin Hilbert
Dôkaz Vety 23.
Predpokladajme platnosť (i) a nech uvažujme dvojicu vektorov x, y ∈ X.
Využitím Cauchyho–Schwarzovej–Buňakovského nerovnosti (77) v Poznámke 12
a definičnej formuly (98) pre Fourierove koeficienty postupne máme
x, y −
u∈C
cu du = x −
u∈C
cuu, y −
u∈C
duu
(99)
= | x − sx(C), y − sy(C) |
(77)
≤ x − sx(C) y − sy(C) pre každé C ⊆ S, (120)
kde {cu}u∈S a {du}u∈S sú systémy Fourierových koeficientov vektorov x a
y vzhľadom na systém S. Zvoľme ε > 0. Keďže platí u∈S cuu = x a
u∈S duu = y, podľa (47) v Definícii 9 existujú množiny Aε, Bε ∈ S také, že
x − sx(A) <
√
ε, x − sy(B) <
√
ε (121)
pre každé množiny A, B ∈ S spĺňajúce Aε ⊆ A a Bε ⊆ B. Uvažujme množinu
Cε := Aε ∪ Bε ∈ S. Kombináciou (120) a (121) dostávame
x, y −
u∈C
cu du
(120),(121)
< ε pre každé C ∈ S s Cε ⊆ C.
V súlade s reláciou (47) v Definícii 9 preto platí formula (119). Naopak, z pod-
Norma Súčin Hilbert
Dôkaz Vety 23 (pokračovanie).
mienky (ii) vyplýva tvrdenie (i), nakoľko voľbou x = y v (119) máme
x 2 (73)
= x, x
(119)
=
u∈S
cu cu =
u∈S
|cu|2
pre každé x ∈ X.
Pre každý vektor x ∈ X teda platí Parsevalova rovnosť (105). Následne, podľa
Vety 20(i) dostávame rovnosť u∈S cuu = x pre každé x ∈ X.
Dôsledok 5
Nech X je Hilbertov priestor nad T so skalárnym súčinom ·, · a S ⊆ X je daná
ortonormálna báza. Potom zobrazenie Φ : X → l2
(S) definované v (118) je
lineárne a izometrické, t.j., platí
Φ(x), Φ(y) l2(S) = x, y X pre každé dva vektory x, y ∈ X. (122)
Dôkaz Dôsledku 5.
Linearita zobrazenia Φ v (118) je dôsledkom axiómy P3 v Definícii 10, t.j., linearity
skalárneho súčinu v prvej zložke, a definície operácií sčítania a násobenia
skalárom v priestore l2
(S) v (114). Keďže systém S je ortonormálna báza v X,
kombináciou Vety 22(iv) a Vety 23(ii) dostávame platnosť formuly (119) v pries-
Norma Súčin Hilbert
Dôkaz Dôsledku 5 (pokračovanie).
tore X. Vzhľadom na definíciu zobrazenia Φ v (118) a skalárneho súčinu v
priestore l2
(S) v (115) je však rovnosť ekvivalentná s identitou (122).
Poznámka 21
Dodajme, že v súlade s Poznámkou 13 je zobrazenie Φ v (118) izometrickým
zobrazením i medzi normovanými priestormi (X, · X ) a (l2
(S), · l2(S)), t.j.,
pre každý vektor x ∈ X platí rovnosť
Φ(x) l2(S) = x X . (123)
Obzvlášť, v súlade s axiómou N1 v Definícii 1 a linearitou Φ to znamená, že
zobrazenie Φ je prosté.
Fundamentálne výsledky vo Vetách 22 a 23 zavŕšime významným tvrdením pojednávajúcim
o ďalších vlastnostiach zobrazenia Φ v (118). V literatúre sa tento
výsledok štandarne označuje ako Rieszova–Fischerova veta. Ako ukážeme
ďalej, poskytuje efektívny spôsob ako klasifikovať všetky Hilbertove priestory nad
daným telesom T. V nasledujúcom tvrdení analyzujeme konvergenciu nekonečného
radu tvaru u∈S λuu pre daný ortonormálny systém S, kde {λu}u∈S ⊆ T.
Norma Súčin Hilbert
Veta 24
Nech X je unitárny priestor nad T so skalárnym súčinom ·, · a S ⊆ X je
ortonormálny systém. Nech {λu}u∈S ⊆ T je systém skalárov s vlastnosťou, že
nekonečný rad u∈S λuu je konvergentný v priestore X so súčtom x. Potom
λu = x, u pre každé u ∈ S. (124)
Inými slovami, {λu}u∈S je súbor Fourierových koeficientov vektora x vzhľadom
na ortonormálny systém S.
Dôkaz Vety 24.
Zvoľme pevne vektor v ∈ S. Pre každú množinu A ∈ S postupne platí
x, v −
u∈A
λu u, v = x −
u∈A
λuu, v
(77)
≤ x − s(A) v
= x − s(A) , (125)
kde s(A) := u∈A λuu. V súlade s predpokladmi pre každé ε > 0 existuje
Aε ∈ S taká, že x − s(A) < ε pre každé A ∈ S s Aε ⊆ A. V kombinácii
s (125) následne dostávame, že platí u∈S λu u, v = x, v . Vzhľadom na
ortonormalitu systému S sa posledná rovnosť redukuje na tvar λv = x, v .
Vektor v ∈ S bol zvolený ľubovoľne, a tak pre každé u ∈ X platí (124).
Norma Súčin Hilbert
Veta 25 (Rieszova–Fischerova)
Nech X je Hilbertov priestor nad T so skalárnym súčinom ·, · a S ⊆ X je daný
ortonormálny systém. Potom pre každý súbor {λu}u∈S ∈ l2
(S) existuje vektor
x ∈ X s vlastnosťou, že
platí rovnosť (124) pre každé u ∈ S a
u∈S
|λu|2
= x 2
. (126)
Dôkaz Vety 25.
Zvoľme systém skalárov {λu}u∈S ∈ l2
(S). V súlade s definíciou priestoru l2
(S)
platí podmienka (111), t.j., máme
u∈S
|λu|2
< ∞. (127)
Podľa Lemy 6 existuje najviac spočítateľne veľa vektorov u ∈ S, takých, že
skalár λu = 0. Označme preto symbolom {un}n∈N ⊆ S množinu všetkých
takýchto vektorov. Nakoľko konvergencia v (127) je “absolútna”, platí rovnosť
u∈S
|λu|2
=
∞
k=1
|λuk |2
. (128)
Dokážeme, že rad ∞
k=1 λuk uk je konvergentný v X v zmysle Definície 7. Vďa-
Norma Súčin Hilbert
Dôkaz Vety 25 (pokračovanie).
ka úplnosti priestoru X stačí ukázať, že postupnosť čiastočných súčtov {xn}∞
n=1,
xn := n
k=1 λuk uk, n ∈ N, je cauchyovská v norme · priestoru X definovanej
v (73). Pre každé dva indexy n, m ∈ N, n > m, postupne máme
xn − xm
2
=
n
k=1
λuk uk −
m
k=1
λuk uk
2
=
n
k=m+1
λuk uk
2
(73)
=


n
k=m+1
λuk uk

 ,


n
l=m+1
λul ul


=
n
k,l=m+1
λuk λul uk, ul
δkl
=
n
k=m+1
|λuk |2
. (129)
V zhode s predpokladmi nekonečný číselný rad ∞
k=1 |λuk |2
konverguje, a preto
podľa Cauchyho–Bolzanovho kritéria platí
pre každé ε > 0 existuje nε ∈ N tak, že pre každé n > m ≥ nε je
n
k=m+1
|λuk |2
< ε2
.
So zreteľom na identitu (129) je tento výrok ekvivalentný s reláciou
Norma Súčin Hilbert
Dôkaz Vety 25 (pokračovanie).
pre každé ε > 0 existuje nε ∈ N tak, že pre každé n > m ≥ nε platí xn − xm < ε.
Následne je postupnosť {xn}∞
n=1 konvergentná v priestore X. V súlade s Definíciou
7 preto existuje vektor x ∈ X taký, že ∞
k=1 λuk uk = x. Aplikáciou Vety 24
vzhľadom na ortonormálny systém {un}n∈N získame rovnosť λun = x, un pre
každé n ∈ N. V prípade vektorov z množiny S \ {un}n∈N využijeme spojitosť
skalárneho súčinu ·, · , pričom dostávame
x, u = lim
n→∞
n
k=1
λuk uk, u = lim
n→∞
n
k=1
λuk uk, u
= lim
n→∞
n
k=1
λuk uk, u = 0 = λu pre každé u ∈ S \ {un}n∈N.
Rovnosť (124) teda platí pre každý vektor u ∈ S. Napokon druhá rovnosť
v (126) vyplýva z Vety 20(ii) vzhľadom na ortonormálny systém {un}n∈N a
formuly (128). Konkrétne, máme
u∈S
|λu|2 (128)
=
∞
k=1
|λuk |2 (105)
= x 2
.
Ukázali sme platnosť celého tvrdenia v (126), čo kompletizuje dôkaz.
Norma Súčin Hilbert
Dôsledok 6
Nech X je Hilbertov priestor nad T so skalárnym súčinom ·, · a S ⊆ X je daný
ortonormálny systém. Pre daný systém skalárov {λu}u∈S ⊆ T nekonečný rad
u∈S λuu konverguje v priestore X práve vtedy, keď λu, u ∈ S, sú Fourierove
koeficienty nejakého vektora x ∈ X vzhľadom na systém S.
Dôkaz Dôsledku 6.
Smer “⇒” je obsahom Vety 24. Platnosť implikácie “⇐” je dôsledkom Vety 25.
Konkrétne, ak λu, u ∈ N, sú Fourierove koeficienty vektora x ∈ X, potom podľa
Vety 19 je nekonečný rad u∈S |λu|2
konvergentný, a teda systém skalárov
{λu}u∈S ∈ l2
(S). To následne podľa Vety 25 implikuje podľa (126) rovnosť
u∈S |λu|2
= y 2
pre vhodný vektor y ∈ X. Napokon v súlade s Vetou 20(i)
dostávame rovnosť u∈S λuu = y. Dôkaz je hotový.
Poznámka 22
Je nutné zdôrazniť, že v prípade všeobecného ortonormálneho systému S nie je
vektor x ∈ X v Dôsledku 6 pre daný súbor {λu}u∈S ⊆ T určený jednoznačne.
Na druhej strane, v súlade s Vetou 24 práve jeden z takýchto vektorov je súčtom
nekonečného radu u∈S λuu v priestore X, konkrétne vektor y v dôkaze vyššie.
Norma Súčin Hilbert
Nasledujúci tvrdenie kompletizuje vlastnosti zobrazenia Φ definovaného v (118),
ktoré sme uviedli v Dôsledku 5.
Veta 26
Nech X je Hilbertov priestor nad T so skalárnym súčinom ·, · a S ⊆ X je daná
ortonormálna báza. Potom zobrazenie Φ : X → l2
(S) v (118) je izometrický
izomorfizmus unitárnych priestorov (X, ·, · X ) a (l2
(S), ·, · l2(S)).
Dôkaz Vety 26.
Kľučovým predpokladom je práve skutočnosť, že ortonormálny systém S ⊆ X
je ortonormálna báza priestoru X. Zvoľme systém skalárov {λu}u∈S ⊆ l2
(S).
Podľa Vety 25 vieme, že existuje x ∈ X, že skaláry λu, u ∈ S, sú Fourierove koeficienty
vektora x vzhľadom na systém S a platí u∈S |λu|2
= x 2
. V súlade
s Vetou 20(ii) sa teda jedná o Parsevalovu rovnosť v (105), pričom zároveň podľa
Vety 20(i) máme u∈S λuu = x. Z ekvivalencií vo Vete 22 následne vyplýva,
že x je jediný vektor, ktorého Fourierove koeficienty sú práve skaláry λu, u ∈ S.
Preto v súlade s (118) dostávame rovnosť Φ(x) = {λu}u∈S. To znamená, že zobrazenie
Φ je surjektívne. Na druhej strane v zhode s Dôsledkom 5 je Φ zároveň i
lineárne izometrické zobrazenie. Preto Φ je izometrický izomorfizmus priestorov
(X, ·, · X ) a (l2
(S), ·, · l2(S)). Dôkaz je hotový.
Norma Súčin Hilbert
Poznámka 23
Je vhodné presne vymedziť význam jednotlivých predpokladov vo Vete 26 a ich
následné použitie v samotnom dôkaze. Rieszova–Fischerova Veta 25 zaručuje,
že pre každý ortonormálny systém S v Hilbertovom priestore X je zobrazenie
Φ definované v (118) surjektívne, t.j., platí Φ(X) = l2
(S). Zobrazenie Φ je
zrejme vždy lineárne a podľa Vety 20 zachováva normu každého vektora x ∈ X,
ktorý je súčtom svojho Fourierovho radu u∈S cuu, kde {cu}u∈S = Φ(x) v
súlade s (118). V kontexte Poznámky 22 však vektor x ∈ X nemusí byť nutne
súčtom radu u∈S cuu. Táto požiadavka je podľa Vety 22 splnená pre každé
x ∈ X práve vtedy, keď systém S je ortonormálna báza priestoru X. V prípade
Hilbertovho priestoru X podľa Vety 23 teda dostávame
S je ortonormálna báza ⇔ Φ zachováva skalárny súčin ⇔ Φ je injektívne zobrazenie.
V tomto duchu potom môžeme hlbšie interpretovať výsledok Vety 21. Ak S ⊆ X
je daná ortonormálna báza Hilbertovho priestoru X, potom každý vektor x ∈ X
je možné jednoznačne vyjadriť v tvare
x =
u∈S
cuu, kde cu = x, u pre každé u ∈ S. (130)
Systém {cu}u∈S ⊆ T je prvkom Hilbertovho priestoru l2
(S) a platí rovnosť
u∈S
|cu|2
= x 2
.
Norma Súčin Hilbert
Obsah
1 Normované lineárne priestory
2 Unitárne lineárne priestory
3 Klasifikácia Hilbertových priestorov
Norma Súčin Hilbert
V poslednej sekcii tejto prednášky klasifikujeme všetky Hilbertove priestory. Ako
uvidíme, kľúčovým parametrom pri tejto analýze bude mohutnosť ortonormálnej
bázy skúmaného Hilbertovho priestoru.
Veta 27
Nech X je Hilbertov priestor nad T so skalárnym súčinom ·, · a S, T ⊆ X sú
dve ortonormálne bázy. Potom platí card S = card T .
Dôkaz Vety 27.
V prípade, že dimenzia priestoru X je konečná, tvrdenie vyplýva z komentára v
Príklade 16. Predpokladajme, že dim X = ∞. Zvoľme vektor x ∈ T a nech
{cu(x)}u∈S je systém jeho Fourierových koeficientov vzhľadom na ortonormálnu
bázu S definovaných v (98). Podľa (104) platí nerovnosť u∈S |cu(x)|2
≤ x 2
.
V súlade s Lemou 6 je preto množina {cu(x) = 0, u ∈ S} najviac spočítateľná
a neprázdna, keďže x = 0. To následne znamená, že
množina AT :=
v∈T
{cu(v) = 0, u ∈ S} má rovnakú mohutnosť ako T. (131)
Keďže T je ortonormálna báza priestoru X, v súlade s Lemou 3 je systém T
úplný, t.j., podľa Definície 15(i) pre každý vektor u ∈ S existuje vektor v ∈ T
taký, že cu(v) = v, u = 0. V súlade s (131) teda platí S = AT , a tak
card S = card AT = card T . Dôkaz je hotový.
Norma Súčin Hilbert
Poznámka 24 (Hilbertova dimenzia)
Kardinalita ortonormálnej bázy daného Hilbertovho priestoru X nad T sa nazýva
Hilbertova dimenzia priestoru X a budeme ju označovať dimH X. Na základe
výsledku vo Vete 27 je tento pojem definovaný korektne. Z Príkladu 16 vyplýva,
že v prípade konečno rozmerného Hilbertovho priestoru s dimenziou n ∈ N platí
dimH X = dim X = n. V Hilbertových priestoroch X nekonečnej dimenzie v
súlade s Vetou 16 kardinálne čísla dimH X a dim X spĺňajú dimH X ≤ dim X.
Príklad 20 (Hilbertove priestory nekonečnej dimenzie)
V Príklade 17 sme uviedli, že v každom nekonečno rozmernom Hilbertovom
priestore X žiadna ortonormálna báza nemôže byť jeho Hamelovou bázou. Táto
skutočnosť je dôsledkom Vety 25 a jednoznačnosti reprezentácie v (130). Ak
S je daná ortonormálna báza v priestore X, potom existuje aspoň jeden vektor
x ∈ X, ktorý má nenulové všetky Fourierove koeficienty vzhľadom na systém
S. To následne znamená, že vektor x sa nedá vyjadriť ako lineárna kombinácia
nejakej konečnej množiny vektorov z S, t.j., systém S nie je Hamelovou bázou
lineárneho priestoru X.
Pomocou získaných výsledkov prezentujeme klasifikáciu Hilbertových priestorov.
Norma Súčin Hilbert
Veta 28
Pre každú danú neprázdnu indexovú množinu I existuje Hilbertov priestor X
nad T s dimH X = card I. Každý takýto Hilbertov priestor X je izometricky
izomorfný s Hilbertovým priestorom l2
(I).
Dôkaz Vety 28.
Ukážeme, že má Hilbertova dimenzia priestoru l2
(I) je rovná mohutnosti množiny
I. Skutočne, systém vektorov eu, u ∈ I, tvaru
eu = {λu
v }v∈I ⊆ T, λu
v :=
1, v = u,
0, v = u,
u ∈ I, (132)
je ortonormálna báza priestoru l2
(I) a card {eu, u ∈ I} = card I. Jednoznačnosť
Hilbertovho priestoru X s vlastnosťou dimH X = card I je priamym
dôsledkom Vety 26, kde požadovaný izometrický izomorfizmus je realizovaný
prostredníctvom zobrazenia Φ definovaného v (118). Dôkaz je hotový.
Dôsledok 7
Dva Hilbertove priestory nad daným telesom T sú izometricky izomorfné práve
vtedy, keď majú rovnakú Hilbertovu dimenziu.
Norma Súčin Hilbert
Poznámka 25 (Separabilné Hilbertove priestory)
Medzi Hilbertovými priestormi nad T majú z hľadiska aplikácií významné postavenie
separabilné Hilbertove priestory. Pomocou Poznámky 18 a Vety 28 je možné
ľahko ukázať, že Hilbertov priestor X je separabilný práve vtedy, keď má najviac
spočítateľnú ortonormálnu bázu, t.j., jeho Hilbertova dimenzia dimH X v
Poznámke 24 je buď konečná alebo je rovná kardinálnemu číslu ℵ0. V kontexte
Vety 28 je každý Hilbertov priestor s algebraickou dimenziou n ∈ N izometricky
izomorfný s priestorom l2
(I), kde I je akákoľvek n-prvková množina. Obzvlášť
sa teda jedná o euklidovský priestor En
nad daným telesom T prezentovaný v
Príklade 11. Každý nekonečno rozmerný separabilný Hilbertov priestor je izometrický
izomorfný s priestorom l2
(N) = l2
v Príklade 12. Ďalšími jeho realizáciami
sú funkcionálny priestor L2
[a, b], taktiež z Príkladu 12, alebo Sobolevov priestor
W 1,2
[a, b] spomenutý v Príklade 15, kde [a, b] ⊆ R je kompaktný interval.
Poznámka 26
Nech X je Hilbertov priestor nad T a A ⊆ X je nejaký daný normovaný lineárny
podpriestor. Z Vety 13 a Poznámky 23 vyplýva, že ak SA je ortonormálna báza
podpriestoru A a SA⊥ je ortonormálna báza podpriestoru A⊥
, potom systém
SA ∪ SA⊥ predstavuje ortonormálnu bázu celého priestoru X.