Cvičení 2.
Úkol 1.: Použijte funkci clv.m pro generování 200 čísel z rozložení N(0,1). Pomocí funkce
kstest.m otestujte na hladině významnosti 0,05, že vygenerovaná data se skutečně řídí
rozložením N(0,1).
Návod:
Vygenerujeme n = 200 realizací z N(0,1):
n=200;
realizace=clv(…,…,…);
Vypočteme hodnoty distribuční funkce rozložení N(0,1) v bodech vygenerovaných realizací:
Fi=normcdf(realizace,…,…);
Zavoláme funkci kstest:
[h,p,ksstat,cv]=kstest(realizace,[realizace,Fi]) (v případě, že
testujeme hypotézu o rozložení N(0,1), stačí zadat jen vektor realizací)
Vstupní parametry:
realizace … sloupcový vektor realizací
[realizace,Fi] … matice nx2 obsahující vektor realizací a vektor hodnot distribuční
funkce rozložení N(0,1)
Výstupní parametry:
h … nabývá hodnoty 0, když nulovou hypotézu nezamítáme na hladině významnosti 0,05 a
hodnoty 1, když zamítáme na hladině významnosti 0,05
p … p-hodnota
ksstat … hodnota testové statistiky
cv … kritická hodnota
V tomto konkrétním případě jsme dostali následující výstupy:
h =
0
p =
0.6009
ksstat =
0.0533
cv =
0.0952
Závěr: Na hladině významnosti 0,05 ………………… hypotézu, že vygenerovaná data
pocházejí z rozložení N(0,1), protože p-hodnota je …….., což je …………… než 0,05.
Vidíme rovněž, že testová statistika nabývá hodnoty ………, což je ….. …. Než kritická
hodnota ………….
Nepovinný úkol: Místo z rozložení N(0,1) generujte data z rozložení N(2,4) a pro ověření
normality opět použijte funkci kstest.m.
Návod:
realizace=clv(…,…,…);
Pro výpočet hodnot distribuční funkce rozložení N(2,4) použijeme příkaz
Fi=normcdf(realizace,2,2);
Úkol 2.: Pro stejný úkol jako v bodě 1 použijte funkce clv_polynom.m, BM_transformace.m
a funkci normrnd.m (je součástí statistického toolboxu).
Návod:
n=200;
Použití funkce clv_polynom.m
realizace=clv_polynom(…,…,…);
Fi=normcdf(realizace,…,…);
[h,p,ksstat,cv]=kstest(…,[…,…])
V tomto konkrétním případě jsme dostali následující výstupy:
h =
1
p =
0.0497
ksstat =
0.0952
cv =
0.0952
Závěr: Na hladině významnosti 0,05 ………………… hypotézu, že vygenerovaná data
pocházejí z rozložení N(0,1), protože p-hodnota je …….., což je …………… než 0,05.
Použití funkce BM_transformace.m
realizace=BM_transformace(…,…,…);
Fi=normcdf(realizace,…,…);
[h,p,ksstat,cv]=kstest(…,[…,…])
V tomto konkrétním případě jsme dostali následující výstupy:
h =
0
p =
0.9517
ksstat =
0.0358
cv =
0.0952
Závěr: Na hladině významnosti 0,05 ………………… hypotézu, že vygenerovaná data
pocházejí z rozložení N(0,1), protože p-hodnota je …….., což je …………… než 0,05.
Použití funkce normrnd.m
realizace=normrnd(…,…,…,…);
Fi=normcdf(realizace,…,…);
[h,p,ksstat,cv]=kstest(…,[…,…])
V tomto konkrétním případě jsme dostali následující výstupy:
h =
0
p =
0.5528
ksstat =
0.0554
cv =
0.0952
Závěr: Na hladině významnosti 0,05 ………………… hypotézu, že vygenerovaná data
pocházejí z rozložení N(0,1), protože p-hodnota je …….., což je …………… než 0,05.
Nepovinný úkol: Místo funkce kstest.m použijte k testování normality funkci chi2gof.m a
funkci adtest.m
Návod:
Funkce chi2gof.m:
Implicitně třídí data do 10 intervalů.
[h,p] = chi2gof(realizace,'cdf',@normcdf)
Vstupní parametry:
realizace … sloupcový vektor realizací
'cdf' … parametr, který dává funkci na vědomí, že bude použita distribuční funkce
nějakého rozložení
@normcdf … označení distribuční funkce standardizovaného normálního rozložení
Výstupní parametry:
h … nabývá hodnoty 0, když nulovou hypotézu nezamítáme na hladině významnosti 0,05 a
hodnoty 1, když zamítáme na hladině významnosti 0,05
p … p-hodnota
Funkce adtest.m:
[h,p,adtsat,cv] = adtest(realizace)
Vstupní parametr:
realizace … sloupcový vektor realizací
Výstupní parametry:
h … nabývá hodnoty 0, když nulovou hypotézu nezamítáme na hladině významnosti 0,05 a
hodnoty 1, když zamítáme na hladině významnosti 0,05
p … p-hodnota
adstat … hodnota testové statistiky
cv … kritická hodnota
Úkol 3.: Pomocí funkce unifrnd.m vygenerujte 1000 čísel z rozložení Rs(0,1). Na hladině
významnosti 0,05:
a) proveďte testy náhodnosti, a to test založený na bodech zvratu, test znamének diferencí a
test založený na Spearmanově koeficientu;
b) proveďte testy nezávislosti, a to test založený na koeficientu autokorelace 1. až 10. řádu a
Cochranův test.
Návod:
Vygenerujeme n = 1000 realizací z Rs(0,1):
n=1000;
x=unifrnd(…,…,…,…);
Zvolíme hladinu významnosti:
alfa=0.05;
Ad a)
Provedení testu založeného na bodech zvratu
Zavoláme funkci body_zvratu:
[h,p,u]=body_zvratu(…,…)
Vstupní parametry:
x … sloupcový vektor realizací
alfa ... hladina významnosti
Výstupní parametry:
h … nabývá hodnoty 0, když nulovou hypotézu nezamítáme na hladině významnosti 0,05 a
hodnoty 1, když zamítáme na hladině významnosti 0,05
p … p-hodnota
u … hodnota testové statistiky
V tomto konkrétním případě jsme dostali následující výstupy:
h =
0
p =
0.3545
u =
-0.9258
Závěr: Test založený na bodech zvratu na hladině významnosti 0,05 ………… hypotézu, že
posloupnost vygenerovaných čísel je náhodná, protože p-hodnota je …….., což je …….. než
0,05.
Provedení testu založeného na znaménkách 1. diferencí
Zavoláme funkci znamenka_diferenci:
[h,p,u]=znamenka_diferenci…,…)
Vstupní a výstupní parametry jsou stejné jako u funkce body_zvratu.
V tomto konkrétním případě jsme dostali následující výstupy:
h =
0
p =
0.4115
u =
0.8212
Závěr: Test založený na znaménkách 1. diferencí na hladině významnosti 0,05 …………..
hypotézu, že posloupnost vygenerovaných čísel je náhodná, protože p-hodnota je ………, což
je ………. než 0,05.
Provedení testu založeného na Spearmanově koeficientu
Utvoříme vektor y=[1:n]’;
Pomocí funkce tiedrank zjistíme vektor pořadí:
R=tiedrank(x);
Pomocí funkce corrcoef spočteme koeficient korelace a odpovídající p-hodnotu:
[rs,p]=corrcoef(y,R)
Rozhodnutí o nulové hypotéze učiníme na základě porovnání p-hodnoty se zvolenou hladinou
významnosti alfa.
Je-li p ≤ alfa, hypotézu o pořadové nezávislosti realizací zamítáme na hladině významnosti
alfa, v opačném případě nikoliv.
V tomto konkrétním případě jsme dostali následující výstupy:
rs =
1.0000 -0.0225
-0.0225 1.0000
p =
1.0000 0.4767
0.4767 1.0000
Závěr: Test založený na Spearmanově koeficientu pořadové korelace na hladině významnosti
0,05 ………….. hypotézu, že posloupnost vygenerovaných čísel je náhodná, protože phodnota
je ………, což je ………. než 0,05.
Spearmanův koeficient nabývá hodnoty …….., což svědčí o existenci
- zanedbatelně slabé přímé pořadové závislosti
- zanedbatelně slabé nepřímé pořadové závislosti
- slabé přímé pořadové závislosti
- slabé nepřímé pořadové závislosti
- středně silné přímé pořadové závislosti
- středně silné nepřímé pořadové závislosti
- silné přímé pořadové závislosti
- silné nepřímé pořadové závislosti
Ad b)
Provedení testu založeného na koeficientech autokorelace 1. až 10. řádu a Cochranova testu:
1. „Ruční” výpočet + funkce Cochran.m
Vypočteme koeficient autokorelace 1. řádu a odpovídající p-hodnotu:
[r,p]=corrcoef(x(1:n-1),x(2:n))
Rozhodnutí o nulové hypotéze učiníme na základě porovnání p-hodnoty se zvolenou hladinou
významnosti alfa.
Je-li p ≤ alfa, hypotézu o neexistenci autokorelace 1. řádu zamítáme na hladině významnosti
alfa, v opačném případě nikoliv.
Analogicky počítáme koeficient autokorelace 2. řádu a příslušnou p-hodnotu:
[r,p]=corrcoef(...,...)
Tak postujeme dál až ke koeficientu autokorelace 10. řádu:
[r,p]=corrcoef(...,...)
Postup lze zjednodušit použitím cyklu:
rad=10;
for i=1:rad
[r,p]=corrcoef(x(1:n-i),x(i+1:n))
end
V tomto konkrétním případě jsme dostali následující výstupy:
r =
1.0000 0.0176
0.0176 1.0000
p =
1.0000 0.5777
0.5777 1.0000
Koeficient autokorelace 1. řádu je ........... a ........... významný na hladině významnosti 0,05.
r =
1.0000 -0.0012
-0.0012 1.0000
p =
1.0000 0.9688
0.9688 1.0000
Koeficient autokorelace 2. řádu je ........... a ...........významný na hladině významnosti 0,05.
r =
1.0000 -0.0016
-0.0016 1.0000
p =
1.0000 0.9603
0.9603 1.0000
Koeficient autokorelace 3. řádu je ........... a ...........významný na hladině významnosti 0,05.
r =
1.0000 -0.0870
-0.0870 1.0000
p =
1.0000 0.0060
0.0060 1.0000
Koeficient autokorelace 4. řádu je ........... a ...........významný na hladině významnosti 0,05.
r =
1.0000 -0.0044
-0.0044 1.0000
p =
1.0000 0.8885
0.8885 1.0000
Koeficient autokorealce 5. řádu je ........... a ...........významný na hladině významnosti 0,05.
r =
1.0000 0.0023
0.0023 1.0000
p =
1.0000 0.9424
0.9424 1.0000
Koeficient autokorelace 6. řádu je ........... a ...........významný na hladině významnosti 0,05.
r =
1.0000 -0.0525
-0.0525 1.0000
p =
1.0000 0.0982
0.0982 1.0000
Koeficient autokorelace 7. řádu je ........... a ...........významný na hladině významnosti 0,05.
r =
1.0000 0.0507
0.0507 1.0000
p =
1.0000 0.1104
0.1104 1.0000
Koeficient autokorelace 8. řádu je ........... a ...........významný na hladině významnosti 0,05.
r =
1.0000 -0.0244
-0.0244 1.0000
p =
1.0000 0.4426
0.4426 1.0000
Koeficient autokorelace 9. řádu je ........... a ...........významný na hladině významnosti 0,05.
r =
1.0000 0.0061
0.0061 1.0000
p =
1.0000 0.8478
0.8478 1.0000
Koeficient autokorelace 10. řádu je ........... a ...........významný na hladině významnosti 0,05.
Cochranův test provádí funkce Cochran.m.
[Q,chi,h,p]=Cochran(x,rad,alfa)
Vstupní parametry:
x … sloupcový vektor realizací
rad … řád autokorelace
alfa … hladina významnosti
Výstupní parametry:
Q … hodnota testové statistiky
chi … kritická hodnota
h … nabývá hodnoty 0, když nulovou hypotézu nezamítáme na hladině významnosti alfa a
hodnoty 1, když zamítáme na hladině významnosti alfa
p … p-hodnota
V tomto konkrétním případě jsme dostali následující výstupy:
Q =
13.8808
chi =
18.3070
h =
0
p =
0.1785
Závěr: Cochranův test na hladině významnosti 0,05 …………. hypotézu, že všechny
koeficienty autokorelace od 1. do 10. řádu jsou nulové, protože p-hodnota je …….., což je
…………… než 0,05.
Použití funkce autokorelace.m (oproti funkci Cochran.m poskytne ještě korelogram)
[T,Q,p,h]=autokorelace(x,k,alfa)
Funkce autokorelace.m má 3 vstupní parametry:
x ... vektor realizací
k ... maximální řád koeficientu autokorelace
alfa ... volitelný parametr, hladina významnosti pro Cochranův test, implicitně alfa=0,05
a 4 výstupní parametry:
T ... tabulka obsahující korelogram a výsledky testu hypotézy H0: ρk = 0
Q ... hodnota testové statistiky Cochranova testu
p ... p-hodnota Cochranova testu
h ...výsledek Cochranova testu: h=0 nezamítáme hypotézu, že všechny koeficienty
autokorelace jsou nula, h=1 zamítáme tuto hypotézu
T =
1.0000 0.0176 0.5777 0
2.0000 -0.0012 0.9688 0
3.0000 -0.0016 0.9603 0
4.0000 -0.0870 0.0060 1.0000
5.0000 -0.0044 0.8885 0
6.0000 0.0023 0.9424 0
7.0000 -0.0525 0.0982 0
8.0000 0.0507 0.1104 0
9.0000 -0.0244 0.4426 0
10.0000 0.0061 0.8478 0
Q =
13.8808
p =
0.1785
h =
0