10. Pravděpodobnostní vytvořující funkce 10.1. Definice: Definice pravděpodobnostní vytvořující funkce celočíselné nezáporné náhodné veličiny. Nechť X je celočíselná nezáporná náhodná veličina s pravděpodobnostní funkcí pfx = k) = ipk vTok = 0>1>2>- 10jinak • Pravděpodobnostní vytvořující funkce (dále značena p.v.f.) oo náhodné veličiny X je dána vztahem: Sx(z)~^Pkz , z <1. k=0 Vysvětlení: Je zřejmé, že p.v.f. je speciálním případem vytvořující funkce posloupnosti oo G a (z) - ^ anz y tomto případě posloupnost ÍPk}k=o splňuje vztahy: n=0 Vk = 0,l,2,...: pk >0, IX =1 k=0 Je také vidět, že Sx(z) = E(zX)= ZPkzk k=0 10.2. Příklad: Najděte pravděpodobnostní vytvořující funkci náhodné veličiny X, která má rozložení: a) Po(X), b) Bi(n,$), c) Ge($). Řešení: ad a) Pk= k! e"^ pro k = 0,1,2,. [o j inak gx(z)=xPkzk=i:Vzk=^i( } k=o k=o k! k=0 k! t-X # ^A,z _ A,(z-1) ad b) Pk = ůk(l-ů)n"kprok = 0,l,...,n Oj inak gx(z)=xpkzk=x ° kd - *rzk =eI; Mkd - <>r =&-<>+zůf k=0 ad c) Pk = (l-#)k£prok = 0,l,... Oj inak k^oyky OO OO OO ^ gx(z) = Xpkzk = £(l-ů)kůzk =o£((z(l-ů))k =7-4" k=0 k=0 k=0 1 ZU O) 10.3. Věta: Výpočet pravděpodobnostní funkce pomocí pravděpodobnostní vytvořující funkce. Je-li gx(z) p.v.f. náhodné veličiny X, pak pro pravděpodobnostní funkci náhodné veličiny X platí: Pk = gx(k)(z) k! pro k = 0, 1,2, z=0 Důkaz: Plyne z věty 10.4. kurzu Markovské řetězce, protože p.v.f. je speciálním případem vytvořující funkce. 10.4. Věta: Výpočet střední hodnoty a rozptylu pomocí pravděpodobnostní vytvořující funkce. Nechť X je celočíselná nezáporná náhodná veličina s p.v.f. gx(z)- Pak platí: E(X) = Agx(z)|i_i D(X)=Argx(z) Důkaz: d2 dz- d d -A , ^gx(z)i-=^SPtZ + E(X) - [E(X)f z=l = 5>, k-1 z=l k=l = XkPt=E(x) z=l k=l gx(z) z=l dz' k=0 = Xk(k-l)Ptzt-2 z=l Odtud plyne, že dokazovaný vztah e(x2)= dz 2 &X k=2 (z) = X k(k - l)pk = E(X(X -1)) = E(X2) - E(X; + EW. Protože D(X) = E(X2) - [E(X)]2, dostaneme z=l 10.5. Příklad: Pomocí pravděpodobnostní vytvořující funkce najděte střední hodnotu a rozptyl náhodné veličiny X ~ Po (A,). Řešení: Podle příkladu 10.2. (a) gx(z) = eUzrl\ E(X) = Ag (Z)| =^(-i)| =X dz D(X) = -T gx(z) dz lz=l z=l + E(X) - [E(X)]2 = -^-e^-" dz z=l + A,-Af = Afe 2 _ ^2 A,(z-1) z=l 10.6. Věta: Věta o pravděpodobnostní vytvořující funkci součtu n stochasticky nezávislých celočíselných nezáporných náhodných veličin. Nechť Xi, Xn jsou stochasticky nezávislé celočíselné nezáporné náhodné veličiny, které mají n p.V.f. £>X1 (z),...,gXn (z). Pak pro p.v.f. transformované náhodné veličiny Zj í platí: gY(z) = flSxi (z) i=l Důkaz: . gY(z) = E(zY)=E i=l v = E í n A Z 1 J n V i=i J i=i =nE(zx.)=ngx,(z) i=l 10.7. Příklad: Nechť Xx,Xn jsou stochasticky nezávislé náhodné veličiny, Xj ~ A(ů), i = 1, 2,.., n. Najděte pravděpodobnostní vytvořující funkci transformované náhodné veličiny y=2X i=l Řešení: X{ ~ A(*>) ^Pk =< V(l-dy"kprok = 0,l ._ ,i i ,.z,..., n 0 jinak oo 1 gXi(z) = Xptzk=Xůk(l-k=0 k=0 *rkzl =É(z1J)k(l-#)l-t =l-^+z^. podie věty 10.6. platí: k=0 gY(z) = gXl(z)-...-gXn (z) = (l-ů + zů)n => Y~Bi(n,a) 10.8. Věta: Věta o pravděpodobnostní funkci součtu n stochasticky nezávislých celočíselných nezáporných náhodných veličin. Nechť Xi, Xn jsou stochasticky nezávislé celočíselné nezáporné náhodné veličiny, které mají PÍx =kWÍPkProk = 0'1,2"" • =1 všechny stejnou pravděpodobnostní funkci ^ 1 > JO jinak '"''n-Pak n transformovaná náhodná veličina ^ ~~ S ^ má pravděpodobnostní funkci p(Y = k) = {^k }Vok = 0,1,2,. [O j inak Důkaz: Nechť gx(z) je p.v.f. náhodné veličiny Xi? i = 1, ..., n. Pak podle věty 10.6. gY(z) = [gx(z)]n. Podle věty 10.7. kurzu Markovské řetězce je posloupnost {p(y=k)}; =o n-tou konvoluční mocninou posloupnosti {pk }k=o • 10.9. Příklad: Nechť Xi, X2 jsou stochasticky nezávislé náhodné veličiny, přičemž Xi ~ Bi(n,#), i = 1, 2. Pomocí věty 10.8. určete rozložení transformované náhodné veličiny Y = Xi + X2. Řešení: Pk =i vky ůk(l-^)n_kprok = 0,l,...n Oj inak + ůl{l-ůf-1 f n vk-i, M ůk-1(l-o)n-k+1+...+ ůk(l-ů)°-k ínl- n j=o v J y n n V ů°{i-ůf = ^ f2n^ n vk j #(l-^)2n" tf-i (i _ #)n-k+i = ^ (l _ ^)2n-k £ I k = 0, 1,2n. Znamená to, že Y ~ Bi(2n,#). (Tento poznatek lze zobecnit pro r stochasticky nezávislých náhodných veličin s týmž binomickým rozložením Bi(n,#), i = 1, 2.. Jejich součet bude mít rozložení Bi(r.n,#).) 10.10. Věta: Věta o pravděpodobnostní funkci součtu náhodného počtu stochasticky nezávislých celočíselných nezáporných náhodných veličin. Nechť Xi, X2, ... jsou stochasticky nezávislé celočíselné nezáporné náhodné veličiny, které mají 'pk prok = 0,1,2,... ,i-i,2,... a N je celočíselná všechny stejnou pravděp. funkci P(X,=k) = Oj inak qn pro n = 0,1,2,. Oj inak nezáporná náhodná veličina, která má pravděpodobnostní funkci P(N = n) = N transformovaná náhodná veličina s = Xxi (součet náhodného počtu náhodných veličin) má í=l oo hk = Z ^ (Pk F pro k = 0,1,2,... Pak pravděpodobnostní funkci P(S k) n=0 Oj inak Důkaz: Použijeme vzorec úplné pravděpodobnosti p(A) = £p(Hi)p(A/Hi) , kde I je nejvýše iel spočetná indexová množina a {H^ie i} je úplný systém hypotéz. Označme A={S=k}, Hn={N=n}. PakP(Hn) = P(N=n), P(A/Hn) = P(S=k/N=n) = P(Xi+...+XN=k/N=n) = P(Xi+...+Xn=k), ovšem podle věty 10.8. ť 2jäi =k . Po dosazení do vzorce úplné pravděpodobnosti dostaneme V i=l J oo oo P(A) = P(S = k) = X P(H n )P(A / H n) = £ q n K F > k = 0,1,2,... n=0 n=0 10.11. Definice: Definice složeného rozložení. n Rozložení =o transformované náhodné veličiny Zj í se nazývá složené rozložení 10.12. Příklad: Nechť Xx, X2,... jsou stochasticky nezávislé náhodné veličiny, přičemž Xj ~ A($), i = 1, 2,... Nechť N je na nich nezávislá náhodná veličina, N ~ Po(A,). Najděte rozložení náhodné veličiny S = Xi + ... + XN. Řešení: Pk ůk(l-ů)1_kprok = 0,l Oj inak ůk(l-ů)n_kprok = 0,l,...,n Oj inak qn =1 n! Oj inak TJ1 e_?lpro n = 0,1,2,, oo ^ n n=k ôl(l-Cl=e"V£- 1 Sk!(n-k)! n-k+k =e-wy Í3 k!(n-k)! k! k! j=o j- S-Po(Arô). k! n=k (n-k)! (^)k k! -m 10.13. Věta: Věta o pravděpodobnostní vytvořující funkci náhodné veličiny S. Pro p.v.f. náhodné veličiny S platí gs(z) = gN(gx(z)). Důkaz: oo oo oo oo oo oo gs(z)=Ihkzl =ZZq„{pJ"V =Eq.IKrzl =EqnfexWľ =gN{gxW) k=0 k=0 n=0 n=0 k=0 n=0 10.14. Příklad: Pro náhodnou veličinu S z příkladu 10.12. odvoďte pravděpodobnostní vytvořující funkci. oo 1 Řešení: X, ~ A( ů) => g x (z) = Z = I & G - *r zk = 1 - # + z# ^ k=0 k=0 N - Poft) => 8n(z) = e"1"1' , gs(z) = gN(gx(z)) = e"'"-*"1' = cMM => S - Po(X«). 10.15. Příklad: Volavka létá k jezírku, aby ulovila rybu. To sejí podaří s pravděpodobností p, 0 < p < 1. Označme N počet letů a předpokládejme, že N ~ Ge(l - ů)9 0 < ů < 1. Odvoďte rozložení náhodné veličiny S, která udává celkový počet ryb ulovených volavkou při jejích N letech k jezírku. v Řešení: Xj ... počet ryb ulovených při i-tém letu, Xj ~ A(p), gx(z) = 1 - p + zp N ... počet letů volavky k jezírku, N ~ Ge(l - ů) 9 g x (z)= j_z^ S ... celkový počet ulovených ryb, S = Xi + ... + XN, gs(z) = gN(gx(z)) = l-ů(l-p + zp) Může to být p.v.f. geometrického rozložení pro nějaké q takové, že &s (z) ^ _ 1-q zq ? Čitatele i jmenovatele podělíme 1 - $ + $p 1-ů 1-ů + ůp-ůp ůp gs(z) = y 1-^ + ^p 1-^+^p 1-^ + ^p $ + i3p-zi3p 1-^ + ^p í 1-z ůp 1-ů + ůp í 1-z ůp 1-^+^p f Vidíme tedy, že S~Ge ůp V + j 10.16. Věta: Věta o střední hodnotě a rozptylu náhodné veličiny S . Nechť Xi, X2,... jsou stochasticky nezávislé celočíselné nezáporné náhodné veličiny, které mají všechny totéž rozložení se střední hodnotou jí a rozptylem o . Nechť N je na nich nezávislá celočíselná nezáporná náhodná veličina. Pak náhodná veličina S = Xi + ... + XN má střední hodnotu E(S) = E(N) jí a rozptyl D(s) = D(N)|i2 + E(N)o2. Důkaz: E(S)= £gs(4=i =£gN(gx(z)Li =gN,(gxW)gx,(zLi =gN,(gx(l))gx,(l) = = gN'(l)gx,(l) = E(N)E(x) = E(N^ + E(S) - [ECS)] Nejprve spočteme 2. derivaci p.v.f. v bodě z=l: D(S)=-^gs(z) dz^ z=l ^Tgs(z)L =gN"(gx(z))gx'(z)2L +gN'(gx(z))gx"(zL =gN"(l)gx'(l)2 +gN'(l)gx"(l) = = gN"(l)n2+E(N)gx"(l) Ze vzorce pro rozptyl plyne, že g N " (l) = D(n) - E(n) + [e(n)]2 , gx " (l) =