4.2. Poznámka: Lze odvodit, že náhodná veličina X~ ( )λPo má tyto číselné charakteristiky:
a) střední hodnota ( ) λ=XE
b) rozptyl ( ) λ=XD
c) šikmost ( )
λ
=α
1
X3
d) špičatost ( )
λ
=α
1
X4
4.3. Poznámka: Náhodná veličina X~ ( )λPo udává počet událostí, které nastanou
v jednotkovém časovém intervalu resp. jednotkové oblasti, přičemž tyto události nastávají
náhodně, jednotlivě a nezávisle na sobě. Parametr λ > 0 udává střední hodnotu (i rozptyl) počtu
událostí.
Poissonovým rozložením se řídí např.
- počet výzev, které dojdou na TÚ za jednotkový časový interval
- počet mikroorganizmů v jednotkové oblasti zorného pole mikroskopu
- počet požadavků v systému hromadné obsluhy za jednotkový časový interval
- atd.
Upozornění: Pokud X udává počet událostí, které nastanou v časovém intervalu délky t a střední
hodnota počtu událostí v jednotkovém časovém intervalu je λ, pak X~ ( )tPo λ .
4.4. Věta: Nechť X ~ ( )λPo a Y ~ ( )n,nBi ϑ , přičemž 0lim
n
n =ϑ
∞→
a λ=ϑ
∞→
n
n
nlim . Pak
pravděpodobnostní funkce náhodné veličiny Y konverguje pro n → ∞ k pravděpodobnostní
funkci náhodné veličiny X.
Důkaz:
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
λ−
−
∞→∞→∞→
−
∞→
−
∞→
−
∞→
−
∞→
λ
=
=




 λ
−




 λ
−










 −
−





−
λ
=




 λ
−
+−−⋅λ
=
=




 λ
−




 λ
−
=ϑ−ϑ
−
=ϑ−ϑ





e
!y
n
1lim
n
1lim
n
1y
1
n
1
11lim
!yn
1
n
1yn1nn
lim
!y
n
1
n!yn!y
!n
lim1
!yn!y
!n
lim1
y
n
lim
y
y
n
n
nn
yyn
nn
y
yny
n
yn
n
y
n
n
yn
n
y
n
n
K
K
Upozornění: Binomické rozložení můžeme dobře aproximovat Poissonovým rozložením, když
pravděpodobnost výskytu jevu v jednom pokusu je velmi malá ( 1,0≤ϑ ) a zároveň počet pokusů
je dostatečně velký ( 30n ≥ ).
4.5. Příklad: Předpokládejme, že při pěstování rostlin hrachu je pravděpodobnost uhynutí
rostliny 0,002. Jaká je pravděpodobnost, že při pěstování 1000 rostlin
a) neuhyne žádná rostlina, b) uhynou nejvýše 4 rostliny?
Řešení: Označme Y náhodnou veličinu, která udává počet uhynulých rostlin hrachu.
Z podmínek úlohy plyne, že Y ~ ( )002,0;1000Bi .
Přesný výpočet:
a) ( ) 13506452,0)002.0,1000,0(binopdf998,0002,0
0
1000
0YP 010000
==





== −
b) ( ) 94752761,0)002.0,1000,4(binocdf998,0002,0
y
1000
4YP
4
0y
y1000y
==





=≤ =
−
Aproximace Poissonovým rozložením: podmínky 30n ≥ a 1,0≤ϑ jsou splněny. Přitom
2002,01000n =⋅=ϑ⋅=λ .
a) ( ) 13533528,0)2,0(poisspdfe
!0
2
0YP 2
0
==≈= −
b) ( ) 94734699,0)2,4(poisscdfe
!y
2
4YP
4
0y
2
y
==≈≤ =
−
4.6. Věta: Nechť X ~ ( )λPo . Pak pro modus xˆ platí: λ≤≤−λ xˆ1 . Je-li λ přirozené číslo, pak
existují dvě modální hodnoty. Není-li λ přirozené číslo, je Poissonovo rozložení unimodální.
Důkaz: Protože modus je nejpravděpodobnější hodnota, musí současně vyhovovat dvěma
nerovnostem:
( ) ( ) ( ) ( )1xˆxˆ1xˆxˆ +π≥π∧−π≥π , tj.
( )
( )
( )
( )
1
xˆ
1xˆ
1
xˆ
1xˆ
≤
π
+π
∧≤
π
−π
.
Dosadíme za pravděpodobnostní funkci a postupně upravujeme:
( ) ( ) 1
e
!xˆ
e
!1xˆ
1
e
!xˆ
e
!1xˆ
xˆ
1xˆ
xˆ
1xˆ
≤
λ
+
λ
∧≤
λ
−
λ
λ−
λ−
+
λ−
λ−
−
1
1xˆ
1
xˆ
≤
+
λ
∧≤
λ
1xˆxˆ −λ≥∧λ≤ , tj. λ≤≤−λ xˆ1 .
4.7. Příklad: K holiči chodí průměrně 6 zákazníků za 1 h. Určete nejpravděpodobnější počet
zákazníků u holiče během půl hodiny a určete pravděpodobnost tohoto počtu.
Řešení: Náhodná veličina X udává počet zákazníků u holiče během 1/2 h, X ~ ( )3Po . Protože λ
je přirozené číslo, existují dvě modální hodnoty, a to 2 a 3. Jejich pravděpodobnosti:
( ) 224,0e5,4e
!2
3
2XP 33
2
==== −−
( ) 224,0e5,4e
!3
3
3XP 33
3
==== −−
4.8. Věta: Nechť X ~ Po(λ). Pak pro L,3,2,1x =∀ platí: ( ) ( )1xxx −λπ=π . Pravděpodobnostní
funkci Poissonova rozložení lze tedy vyjádřit rekurzívně:
( ) ( )1x
x
x −π
λ
=π pro x = 1, 2, 3, …, ( ) λ−
=π e0
Důkaz:
( )
( ) ( )
( )1xe
!1x
e
!1x
e
!x
xxx
1xxx
−λπ=
−
λ
λ=
−
λ
=
λ
=π λ−
−
λ−λ−
4.9. Věta: Nechť X ~ Po(λ). Pak pro L,2,1,0x =∀ platí: ( ) ( )
( )1x
,1x
x
+Γ
λ+Γ
=Φ , kde
( ) 
∞
−−
=Γ
0
t1a
dteta , ( ) 
∞
λ
−−
=λΓ dtet,a t1a
,
pro přirozené a: ( ) ( )!1aa −=Γ , ( ) ( ) ( ) λ−−λ−−λ−
−++λ−+λ=λΓ e!1ae1ae,a 2a1a
K
Důkaz:
( )
( )
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )x01xx
ee
!1x
e
!x!x
e
!x
!x
e
1xx
!x
e
x
!x
e
1x
,1x 1xx2x1xx
Φ=π++−π+π=
=++
−
λ
+
λ
=++
λ
−+
λ
+
λ
=
+Γ
λ+Γ λ−λ−
−
λ−
λ−−λ−−λ−λ−
K
KK
4.10. Věta: Nechť X1, X2 jsou stochasticky nezávislé náhodné veličiny, Xi ~ Po(λi), i = 1, 2. Pak
transformovaná náhodná veličina Y = X1 + X2 ~ Po(λ1+ λ2).
Důkaz:
Podle věty o konvoluci dostáváme:
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
jinak0,2,1,0,yproe
!yx
y
e
!y
1
e
!xy
e
!x
yx00xy,0xxyxy
21
1
1121
1
2
1
1
1
1
-
y
21
y
0x
xy
2
x
1
1
-
y
0x 1
xy
2
1
x
1
111
x
1211*
==
λ+λ
=λλ





=
=
−
λλ
=≤≤≥−≥=−ππ=π
λ+λ
=
−λ+λ
=
λ−
−
λ−
∞
−∞=


K
.
Vidíme, že Y ~ Po(λ1+ λ2).
4.11. Poznámka: Tvrzení věty 4.10. lze zobecnit i na n stochasticky nezávislých veličin
X1, …, Xn, Xi ~ Po(λi), i = 1, …, n. Pak transformovaná náhodná veličina






λ=  ==
n
1i
i
n
1i
i Po~XY . Znamená to, že Poissonovo rozložení je uzavřené vzhledem k operaci
sčítání.
4.12. Věta: Nechť X ~ ( )λPo , přičemž λ je přirozené číslo větší než 9. Pak rozložení náhodné
veličiny X lze aproximovat rozložením N(λ, λ).
Důkaz: Podle poznámky 4.11. je 
λ
=
=
1i
iXX , přičemž stochasticky nezávislé náhodné veličiny
X1, …, Xλ se řídí rozložením Po(1), E(Xi) = 1, D(Xi) = 1, i = 1, …, λ. Přitom
( ) ( )
λ
=
λ
=
λ==





=
1i
i
1i
i XEXEXE , ( ) ( )
λ
=
λ
=
λ==





=
1i
i
1i
i XDXDXD .
Podle CLV dostáváme, že veličina ( )λλ≈ ,NX .
Graf pravděpodobnostní funkce Po(20)
0 5 10 15 20 25 30 35 40
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08
0.09
Graf hustoty N(20,20)
0 5 10 15 20 25 30 35 40
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08
0.09
4.13. Věta: Nechť X ~ ( )λPo , přičemž λ je přirozené číslo větší než 9. Pak pro nezáporná celá
čísla a, b, a < b platí:
( ) 





λ
λ−
Φ−





λ
λ−
Φ≈≤≤
ab
bXaP , kde Φ je distribuční funkce rozložení N(0, 1).
Důkaz:
( ) ( )
( )
( )
( )






λ
λ−
Φ−





λ
λ−
Φ≈





λ
λ−
≤≤
λ
λ−
=







 −
≤≤
−
=≤≤
abb
U
a
P
XD
XEb
U
XD
XEa
PbXaP
4.14. Poznámka: Aproximace Poissonova rozložení normálním rozložením se zlepší, když
použijeme tzv. opravu na nespojitost:
( ) 





λ
−λ−
Φ−





λ
+λ−
Φ≈≤≤ 2
1
2
1
ab
bXaP .
4.15. Příklad: Nechť X ~ ( )12Po . Pomocí aproximace normálním rozložením stanovte
( )20X8P ≤≤ .
Řešení:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) 89606,09034,0199286,03,1145,2
3,145,2
12
128
12
1220
20X8P 2
1
2
1
=+−=Φ+−Φ=
=−Φ−Φ=




 −−
Φ−




 +−
Φ≈≤≤
Pro porovnání provedeme přesný výpočet:
( ) 8989,0)12,7(poisscdf)12,20(poisscdfe
!x
12
20X8P
20
8x
12
x
=−==≤≤ =
−
4.16. Věta: Nechť X1, …, Xn je náhodný výběr z rozložení Po(λ), přičemž nλ > 9. Označme
=
=
n
1i
iX
n
1
M výběrový průměr. Pak meze 100(1-α)% asymptotického intervalu spolehlivosti
pro střední hodnotu λ jsou:
21u
n
M
MD α−−= , 21u
n
M
MH α−+=
Důkaz: Podle centrální limitní věty ( ) ( )( )MD,MENM ≈ , kde E(M) = λ, ( )
n
MD
λ
= .
Standardizací M dostaneme
( )1,0N
n
M
U ≈
λ
λ−
=
. Konvergence k N(0,1) se neporuší, když λ ve
jmenovateli nahradíme M, tedy
( )1,0N
n
M
M
U ≈
λ−
=
. Pak platí:








+<λ<−=












<
λ−
<−≤α−>λ∀ α−α−α−α− 21212121 u
n
M
Mu
n
M
MPu
n
M
M
uP1:0
4.17. Poznámka: Meze 100(1-α)% asymptotického intervalu spolehlivosti pro střední hodnotu λ
se zpřesní, když použijeme tzv. opravu na nespojitost:
21u
n
M
n2
1
MD α−−−= , 21u
n
M
n2
1
MH α−++= .
4.18. Příklad: Předpokládáme, že při výrobě určité tkaniny je počet kazů připadajících na 100 m
této tkaniny náhodná veličina s rozložením Po(λ). Při kontrole 25 balíků, z nichž každý
obsahoval 100 m této tkaniny, bylo zjištěno, že celkový počet kazů je 30. Najděte 95%
asymptotický interval spolehlivosti pro střední hodnotu počtu kazů připadajících na jeden balík.
Řešení: n = 25, m = 30/25 = 1,2, α = 0,05.
75,096,1
25
2,1
50
1
2,1u
n
m
n2
1
md 21 =−−=−−= α−
65,196,1
25
2,1
50
1
2,1u
n
m
n2
1
mh 21 =++=++= α−
S pravděpodobností aspoň 95 % lze očekávat, že střední hodnota počtu kazů připadajících na
jeden balík se nachází v mezích od 0,75 do 1,65.
4.19. Věta: Nechť X1, …, Xn je náhodný výběr z rozložení Po(λ). Označme =
=
n
1i
ix
n
1
m
realizaci výběrového průměru. Pak meze 100(1-α)% empirického intervalu spolehlivosti pro
střední hodnotu λ jsou: ( )nm2
n2
1
d 2
2
αχ= , ( )2nm2
n2
1
h 21
2
+χ= α− .
Důkaz: Viz HÁTLE JAROSLAV - LIKEŠ JIŘÍ. Základy počtu pravděpodobnosti a
matematické statistiky, 2. vyd. Praha: SNTL – Nakladatelství technické literatury, 1974. 463 s.
Upozornění: Podle vztahů uvedených ve větě 4.19. počítá MATLAB pomocí funkce poissfit
meze 100(1-α)% empirického intervalu spolehlivosti pro střední hodnotu λ.
4.20. Příklad: Pro údaje z příkladu 4.16. najděte 95% empirický interval spolehlivosti pro
střední hodnotu počtu kazů připadajících na jeden balík.
Řešení: n = 25, m = 30/25 = 1,2, α = 0,05.
( ) ( ) 81,048,40
50
1
60
50
1
nm2
n2
1
d 025,0
2
2
2
==χ=χ= α
( ) ( ) 71,165,85
50
1
62
50
1
2nm2
n2
1
h 975,0
2
21
2
==χ=+χ= α−
S pravděpodobností aspoň 95 % lze očekávat, že střední hodnota počtu kazů připadajících na
jeden balík se nachází v mezích od 0,81 do 1,71.
4.21. Věta: (Souvislost exponenciálního a Poissonovo rozložení)
Nechť náhodná veličina X, udává počet událostí za x jednotek času, přičemž za časovou jednotku
nastává průměrně λ událostí, se řídí rozložením Po(λx). Pak náhodná veličina Y, která udává
dobu mezi dvěma po sobě následujícími událostmi, se řídí rozložením Ex(λ).
Důkaz:
( ) ( )
( )





=
λ
==λ
λ−
jinak0
0,1,2,...kproe
!k
x
kXPxPo~X
x
k
.
Pravděpodobnost, že za x jednotek času nenastane žádná událost, je stejná jako pravděpodobnost,
že na událost budeme čekat více než x časových jednotek, tedy
( ) ( ) ( )x1e0XPxYP x
Φ−====> λ−
, kde Φ(x) je distribuční funkce rozložení Ex(λ).
4.22. Příklad: V době oběda přijde do restaurace průměrně 20 hostů za hodinu. Předpokládáme,
že počet hostů má Poissonovo rozložení. Vypočtěte pravděpodobnost, že v průběhu 5 minut nepřijde
do restaurace nikdo. Úlohu řešte využitím a) Poissonova rozložení, b) exponenciálního
rozložení.
Řešení:
Časová jednotka = 5 min = 1/12 h
Ad a) X – počet hostů, kteří přijdou do restaurace za časovou jednotku, X ~ Po(λ), 3
5
12
20
==λ
( ) 1889,0e0XP 3
5
===
−
Ad b) Y – doba, která uplyne mezi dvěma příchody hostů, Y ~ Ex(λ), 3
5
12
20
==λ
Nepřijde-li během časové jednotky 5 min nikdo, pak to znamená, že doba mezi dvěma příchody
je větší než 1.
( ) 1889,0e1YP 3
5
==>
−
4.23. Vzorce pro meze 100(1-α)% intervalu spolehlivosti pro střední hodnotu rozložení
Po(λ)
1. způsob: Využití Pearsonova rozložení chí-kvadrát:
( )nm2
n2
1
d 2
2
αχ= , ( )2nm2
n2
1
h 21
2
+χ= α−
2. způsob: Využití standardizovaného normálního rozložení:
21u
n
m
md α−−= , 21u
n
m
mh α−+=
Závislost mezí 95% intervalu spolehlivosti pro střední hodnotu Poissonova rozložení
na rozsahu výběru
d: chi2
h: chi2
d: N(0,1)
h: N(0,1)30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
Závislost šířky 95% intervalu spolehlivosti pro střední hodnotu Poissonova rozložení
na rozsahu výběru
sirka: chi2
sirka: N(0,1)30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
0,20
0,25
0,30
0,35
0,40
0,45
0,50
0,55
0,60
0,65
0,70
4.24. Příklad: Počet hostů v restauraci se řídí Poissonovým rozložením, Z ~ Po(λ). Pravděpodobnost, že
náhodně vybraný host si objedná nápoj, je p (0 < p < 1) a pravděpodobnost, že neobjedná, je q = 1 – p.
Náhodná veličina X udává počet hostů, kteří si objednají nápoj a náhodná veličina Y udává počet hostů, kteří
si neobjednají nápoj.
a) Najděte marginální rozložení náhodných veličin X a Y.
b) Najděte simultánní rozložení náhodného vektoru (X, Y).
Řešení: Je zřejmé, že X + Y = Z. Za podmínky, že Z = n, se X řídí rozložením Bi(n, p) a Y se řídí
rozložením Bi(n, q).
Ad a) Při hledání pravděpodobnostní funkce veličiny X resp. Y použijeme vzorec úplné pravděpodobnosti:
( ) ( ) ( )∈
=
Ii
ii HAPHPAP
Označíme A = {X = k}, Hn ={Z = n}, n = 0, 1, 2, … Pak
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) p
k
p1
k
q
k
0j
jk
kn
knk
0n kn
knk
n
kn
knk
n
e
!k
p
ee
!k
p
ee
!k
p
!j
q
e
!k
p
knj
!kn
q
e
!k
p
kknnqp
!kn!k
!n
!n
eqp
k
n
e
!n
nZkXPnZPkXP
λ−−λλ−λλ−
∞
=
λ−
∞
=
−
λ−
∞
=
∞
=
−λ−
∞
=
−λ−
λ
=
λ
=
λ
=
λλ
=−==
−
λλ
=
=+−==
−
⋅
λ
=




λ
======

 
Vidíme tedy, že X ~ Po(λp). Analogicky lze odvodit, že Y ~ Po(λq).
Ad b) Při hledání simultánní pravděpodobnostní funkce vektoru (X, Y) opět použijeme vzorec pro úplnou
pravděpodobnost, kde položíme A = {X = i ∧ Y = j}, Hn ={Z = n}, n = 0, 1, 2, … Pak
( ) ( ) ( )
∞
=
==∧====∧=
0n
nZjYiXPnZPjYiXP
Uvědomíme si, že P(X = i ∧ Y = j/Z = n) = 0, když Z ≠ i + j . Pak
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )jYPiXP
e
!j
q
e
!i
p
eeeeqp
!j!i
!ji
e
!ji
qp
i
ji
e
!ji
jiZiXPjiZPjiZjYiXPjiZPjYiXP
q
i
p
i
qpp1pji
ji
ji
ji
===
=
λ
⋅
λ
====
+
+
λ
=




 +
+
λ
=
=+==+==+==∧=+===∧=
λ−λ−λ−λ−−+λ−λ−λ−
+
λ−
+
Simultánní pravděpodobnostní funkce je rovna součinu marginálních pravděpodobnostních funkcí, tedy
náhodné veličiny X a Y jsou stochasticky nezávislé.