Autonomní systémy
Charakteristické směry
Kubické nulkliny
Petr Liška
Masarykova univerzita
13.03.2023
Petr Liška (Masarykova univerzita) Autonomní systémy 13.03.2023 1 / 7
Charakteristické směry
Uvažujme autonomní systém
x′
= P(x, y)
y′
= Q(x, y)
(1)
kde P, Q ∈ C(D, R), kde D je otevřená množina, D ⊆ R2, [0, 0] ∈ D a
P(0, 0) = Q(0, 0) = 0.
Zavedením polárních souřadnic x = r cos φ, y = r sin φ dostaneme
systém ve tvaru
r′
= P(r cos φ, r sin φ) cos φ + Q(r cos φ, r sin φ) sin φ
rφ′
= Q(r cos φ, r sin φ) cos φ − P(r cos φ, r sin φ) sin φ
(2)
Petr Liška (Masarykova univerzita) Autonomní systémy 13.03.2023 2 / 7
Definice
Směr φ = φ0 se nazývá charakteristickým směrem pro systém (1)
jestliže existuje posloupnost (rn, φn) taková, že
1.
0 < rn → 0, φn → φ0 pro n → ∞,
2.
(P(rn cos φn, rn sin φn), Q(rn cos φn, rn sin φn)) ̸= 0 pro n ∈ N
3. pro n → ∞
Q(rn cos φn, rn sin φn) cos φ0 − P(rn cos φn, rn sin φn) sin φ0
P2(rn cos φn, rn sin φn) + Q2(rn cos φn, rn sin φn)
→ 0
Petr Liška (Masarykova univerzita) Autonomní systémy 13.03.2023 3 / 7
Věta
Je-li ψ(r) kladná a spojitá funkce pro r > 0 taková, že platí
lim
r→0+
ψ(r) = 0
a limity
p(φ) = lim
r→0+
P(r cos φ, r sin φ)
ψ(r)
,
q(φ) = lim
r→0+
Q(r cos φ, r sin φ)
ψ(r)
existují stejnoměrně pro φ blízká φ0, přičemž p2(φ) + q2(φ) ̸= 0, pak
φ = φ0 je charakteristickým směrem právě tehdy, když
q(φ0) cos φ0 − p(φ0) sin φ0 = 0 .
Petr Liška (Masarykova univerzita) Autonomní systémy 13.03.2023 4 / 7
Věta
Nechť f, g ∈ C(D, R), kde D ⊆ R2 je otevřená množina, [0, 0] ∈ D. Buď
A = (aij)2
i,j=1 regulární konstantní matice. Předpokládejme, že
lim
(x,y)→(0,0)
|f(x, y)| + |g(x, y)|
|x| + |y|
= 0.
Pak ke každému charakteristickému směru φ0 systému
x′
= a11x + a12y + f(x, y),
y′
= a21x + a22y + g(x, y)
(3)
existuje reálný vlastní vektor matice A mající směr φ0 a naopak směr
φ0 každého reálného vlastního vektoru matice A je charakteristickým
směrem rovnice (3).
Petr Liška (Masarykova univerzita) Autonomní systémy 13.03.2023 5 / 7
Důsledek
Předpokládejme, že funkce P, Q jsou spojité a mají spojité parciální
derivace druhého řádu v okolí bodu [x0, y0] a že P(x0, y0) = Q(x0, y0) =
0. Nechť
A =
∂P(x0,y0)
∂x
∂P(x0,y0)
∂y
∂Q(x0,y0)
∂x
∂Q(x0,y0)
∂y
je regulární matice. Pak ke každému charakteristickému směru φ0 sys-
tému
x′
= P(x, y),
y′
= Q(x, y)
(4)
v bodě [x0, y0] existuje reálný vlastní vektor matice A mající směr φ0 a
naopak směr φ0 každého reálného vlastního vektoru matice A je charakteristickým
směrem systému (4) v bodě [x0, y0].
Petr Liška (Masarykova univerzita) Autonomní systémy 13.03.2023 6 / 7
Poslední geometrické pozorování
Uvažme systém
x′
= y − F(x)
y′
= −x,
(5)
kde funkce F splňuje následující vlastnosti
1. F je spojitě diferencovatelná a F(x) = −F(x);
2. F(x) → ∞ pro x → ∞ a existuje β > 0 takové, že F(x) > 0 a
dF
dx > 0 pro x > β;
3. Existuje α > 0, F(α) = 0 takové, že F(x) < 0 pro 0 < x < α.
Pak existuje uzavřená trajektorie systému (5). Je-li α = β pak existuje
právě jedna uzavřená trajektorie systému (5).
Systém (5) je ekvivalentní s rovnicí
x′′
+ f(x)x′
+ x = 0, F(x) =
x
0
f(t) dt.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Autonomní systémy 13.03.2023 7 / 7