Domácí úkol ze 27. dubna 2023
Nechť E je eliptická křivka nad C zadaná rovnicí
y2 = 4x3 - Ax - B,
kde A, B £ M. Dále nechť L C C je mřížka odpovídající této eliptické křivce. Na semináři jsme ukázali, že v L existuje báze {ui, 1^2} taková, že
Q(ídi) > 0,9fř(ídi) > 0, 3f(íd2) = 0 a K(w2) > 0.
Navíc, íji lze zvolit tak, že buď
3ř("i) = 0, (1)
nebo
= ±w2. (2)
Cílem této úlohy je ukázat, že případ (1) nastane právě tehdy, když polynom 4x3 — Ax — B má tři reálné kořeny.
1. Dokažte, že pro libovolné zéC platí p{z) = p(ž).
2. Dokažte, že pokud 3ř(<Ji) = 0, pak platí
(Nápověda: Využijte toho, že funkce p je dvojitě periodická vzhledem k L.)
3. Dokažte, že pokud 3ř(<Ji) = ^2, pak platí
kde LÚ3 = ui + í^2-
4. Dokažte, že kořeny polynomu Ax^—Ax—B jsou p(cji/2), p(íj2/2), p(^3/2).
5. Dokažte, že pokud 3ř(<Ji) = 0, pak má polynom 4x3 — Ax — B tři reálné kořeny.
6. Dokažte, že pokud 3ř(<Ji) =        pak má polynom 4x3 — Ax — B právě jeden reálný kořen.