Optimální teorie kredibility: Kredibilitní
pojistné
4. ledna 2021
• na minulé přednášce jsme došli k závěru, že by bylo pro
pojistitele ideální účtovat klientovi individuální pojistné
µn+1(θ) = E(Xn+1|Θ = θ) =
∞
0
xn+1 · fXn+1|Θ(xn+1|θ)dxn+1
• parametr θ ale bohužel neznáme, proto se Bayesovské pojistné
B(X) = E(Xn+1|X) = E µn+1(Θ)|X
kde X = (X1, . . . , Xn), zdá jako jeho správná alternativa
• v praxi však může být kalkulace Bayesovského pojistného
náročná – mnohdy se setkáme s numerickým integrováním
• v roce 1967 navrhl Bühlmann alternativu k výše uvedeným
přístupům výpočtu pojistného – kredibilitní pojistné, jako
zjednodušenou verzi bayesovského pojistného
Kredibilitní pojistné
• pro odhad ztrát v následujícím zkušenostním období chceme
použít hypotetickou střední hodnotu µn+1(θ)
• provedeme její aproximaci pomocí lineární funkce historických
dat daného pojištěnce
α0 +
n
j=1
αj · Xj ,
kde α0, α1, . . . , αn musíme určit
• vyjdeme z definice Bayesovského pojistného – parametry
α0, α1, . . . , αn zvolíme tak, abychom minimalizovali střední
kvadratickou chybu
Q = E µn+1(Θ) − α0 −
n
j=1
αj · Xj
2
• k minimalizaci Q položíme parciální derivace rovny nule
∂Q
∂α0
= 0
E 2 · µn+1(Θ) − α0 −
n
j=1
αj · Xj · (−1) = 0
E µn+1(Θ) − α0 − E
n
j=1
αj · Xj = 0
E µn+1(Θ) = ˜α0 +
n
j=1
˜αj · E(Xj )
˜α0, ˜α1, . . . , ˜αn jsou hodnoty α0, α1, . . . , αn minimalizující Q
• máme E(Xn+1) = E E(Xn+1|Θ) = E µn+1(Θ) , tedy
E(Xn+1) = ˜α0 +
n
j=1
˜αj · E(Xj ) (1)
• analogicky pro αi , i = 1, 2, . . . , n, máme
∂Q
∂αi
= 0
E 2 · µn+1(Θ) − α0 −
n
j=1
αj Xj · (−Xi ) = 0
E µn+1(Θ) · Xi − E(α0Xi ) − E Xi
n
j=1
αj Xj = 0
E µn+1(Θ) · Xi = ˜α0E(Xi ) +
n
j=1
˜αj E(Xj Xi )
• využitím vlastností střední hodnoty a nezávislosti mezi
Xi , i = 0, 1, . . . , n, a Xn+1 při podmínění Θ lze psát
E µn+1(Θ) · Xi = E E Xi · µn+1(Θ)|Θ =
= E µn+1(Θ) · E(Xi |Θ) =
= E E(Xn+1|Θ) · E(Xi |Θ) =
= E E(Xn+1Xi |Θ) =
= E(Xn+1Xi )
• odtud
E(Xi Xn+1) = ˜α0E(Xi ) +
n
j=1
˜αj E(Xj Xi ) (2)
• vynásobením (1) střední hodnotou E(Xi ) a odečtením od (2)
obdržíme
E(Xi Xn+1) − E(Xn+1) · E(Xi ) =
n
j=1
˜αj E(Xj Xi ) −
n
j=1
˜αj E(Xj ) · E(Xi )
E(Xi Xn+1) − E(Xn+1) · E(Xi ) =
n
j=1
˜αj · E(Xj Xi ) − E(Xj )E(Xi )
Cov(Xi , Xn+1) =
n
j=1
˜αj Cov(Xi , Xj ), i = 1, 2, . . . , n.
(3)
• rovnice (1) a n rovnic (3) dohromady tvoří n + 1 normálních
rovnic, jejich řešením získáme ˜α0, ˜α1, . . . , ˜αn, a tedy i
kredibilitní pojistné
C(X1, X2, . . . , Xn) = ˜α0 +
n
j=1
˜αj Xj
Definice: Nechť náhodné veličiny X1, X2, . . . , Xn značí zkušenosti
pojištěnce v n zkušenostních obdobích. Potom je kredibilitní
pojistné C(X1, X2, . . . , Xn) lineární funkcí X1, X2, . . . , Xn, tj.
C(X1, X2, . . . , Xn) = ˜α0 +
n
j=1
˜αj Xj , (4)
kde ˜αj , j = 1, 2, . . . , n, minimalizují střední kvadratickou chybu
Q = E µn+1(Θ) − α0 −
n
j=1
αj · Xj
2
. (5)
Bühlmannův model
• Bühlmannův model je nejjednodušší kredibilitní model
• předpoklady:
• náhodné veličiny X1, X2, . . . , Xn při podmínění Θ jsou
IID
• můžeme tedy definovat
(i) hypotetickou střední hodnotu
µ(θ) = E(Xj |Θ = θ),
(ii) procesní rozptyl
ν(θ) = Var(Xj |Θ = θ)
• dále si nadefinujme
(i) očekávanou hodnotu hypotetických středních
hodnot
µ = E[µ(Θ)]
(ii) očekávanou hodnotu procesního rozptylu
ν = E[ν(Θ)]
(iii) rozptyl hypotetických středních hodnot
η = Var[µ(Θ)]
• pro Xj můžeme vyjádřit
E(Xj ) = E E(Xj |Θ) = E[µ(Θ)] = µ,
Var(Xj ) = E Var(Xj |Θ) + Var E(Xj |Θ) =
= E(ν(Θ)) + Var(µ(Θ)) = ν + η
pro i = j
Cov(Xi , Xj ) = E(Xi Xj ) − E(Xi ) · E(Xj )
=µ2
=
= E E(Xi Xj |Θ) − µ2
=
= E E(Xi |Θ)
=µ(Θ)
·E(Xj |Θ) − E[µ(Θ)]
2
=
= E µ(Θ)
2
− E[µ(Θ)]
2
= Var(µ(Θ)) = η
• dosazením výše uvedených výsledků do normálních rovnic, tj.
do (1) a (3), získáme hodnoty parametrů ˜α0, ˜α1, . . . , ˜αn, které
minimalizují Q v (5)
• bude platit
˜α0 =
νµ
ν + nη
(6)
˜αj =
η
ν + nη
pro j = 1, 2, . . . , n (7)
• kredibilitní pojistné bude ve tvaru
CB(X1, X2, . . . , Xn) = ˜α0 +
n
j=1
˜αj Xj =
=
νµ
ν + nη
+
n
j=1
η
ν + nη
· Xj =
=
νµ
ν + nη
+
nη
ν + nη
· X
(8)
• položíme-li
k =
ν
η
(9)
Z =
n
n + k
(10)
a dosadíme-li do předchozí rovnice (8), obdržíme kredibilitní
pojistné ve tvaru CB(X1, X2, . . . , Xn) = ZX + (1 − Z)µ
• kredibilitní pojistné ve tvaru
CB(X1, X2, . . . , Xn) = ZX + (1 − Z)µ (11)
je váženým průměrem apriorní hodnoty µ a zkušenosti klienta,
kterou vyjadřuje X.
• kredibilitní faktor Z = n
n+k s volbou k = ν
η nazýváme
Bühlmannův kredibilitní faktor