Pokročilé numerické metody II
2. přednáška
Metody Taylorova rozvoje
Metody Rungeho-Kutty
Jiří Zelinka
Jiří Zelinka Pokročilé numerické metody II, 2. přednáška 1 / 10
Opakování
Počáteční úloha:
y′
= f (x, y), y(x0) = y0
Explicitní Eulerova metoda:
yi+1 = yi + hf (xi , yi )
Implicitní Eulerova metoda:
yi+1 = yi + hf (xi+1, yi+1)
Lichoběžníková metoda:
yi+1 = yi +
1
2
h[f (xi , yi ) + f (xi+1, yi+1)]
Jiří Zelinka Pokročilé numerické metody II, 2. přednáška 2 / 10
Chyby, konvergence
Lokální diskretizační chyba (ltei ): teoretická chyba v i-tém
kroku pro přesné hodnoty
Lokální chyba (lei ): chyba v i-tém kroku
Globální chyba (ei ): y(xi ) − yi
Řád metody: p, ltei = O(hp+1
)
Metoda se nazývá konvergentní v bodě x(= xn), jestliže pro
h → 0, n → ∞, nh = xn − x0 platí yn → y(x).
Eulerovy metody: ltei = O(h2
), lei = O(h2
),
ltei − lei = O(h3
), ei = O(h), jsou konvergentní (řádu 1)
Lichoběžníková metoda: ltei = O(h3
), lei = O(h3
),
ei = O(h2
), je konvergentní (řádu 2)
Jiří Zelinka Pokročilé numerické metody II, 2. přednáška 3 / 10
Stabilita
Zkoumáme, co se děje pro konstantní h a n → ∞.
Pro testovací úlohu y′
= λy, y(0) = 1, λ ∈ C, R(λ) < 0,
požadujeme aby |yn+1| < |yn|
Definované pojmy
oblast stability, interval stability, A–stabilní metoda, L–stabilní
metoda.
Oblasti stability pro explicitní probrané metody.
Metoda prediktor–korektor: iterační řešení implicitní
metody
Prediktor – explicitní Eulerova metoda – počáteční iterace:
y
(0)
i+1 = yi + hf (xi , yi )
Korektor – implicitní Eulerova metoda – zpřesňování iterace:
y
(j+1)
i+1 = yi + hf (xi+1, y
(j)
i+1)
Jiří Zelinka Pokročilé numerické metody II, 2. přednáška 4 / 10
Metody Taylorova rozvoje
y(x+h) = y(x)+hy′
(x)+
1
2
h2
y′′
(x)+· · ·+
1
n!
hn
y(n)
(x)+O(hn+1
)
y′
(x) = f (x, y(x))
y′′
(x) = fx (x, y(x)) + fy (x, y(x))f (x, y(x))
y′′′
(x) = fxx + 2fxy f + fyy f 2
+ fx fy + f 2
y f
Použití:
yi+1 = yi + hf (xi , yi ) + O(h2
)
yi+1 = yi + hf (xi , yi ) +
1
2
h2
[fx (xi , yi ) + fy (xi , yi )f (xi , yi )] + O(h3
)
yi+1 = yi + hf (xi , yi ) +
1
2
h2
[fx (xi , yi ) + fy (xi , yi )f (xi , yi )] +
+
1
6
h3
[fxx + 2fxy f + fyy f 2
+ fx fy + f 2
y f ](xi , yi ) + O(h4
)
Jiří Zelinka Pokročilé numerické metody II, 2. přednáška 5 / 10
Vlastnosti:
metoda Taylorova rozvoje stupně n je řádu n.
výhodou je libovolný dosažitelný řád metody.
nevýhodou je nutnost počítat parciální derivace pro
každou funkci f .
zpravidla se používá jen pro f = f (y), pak vypadnou
všechny členy obsahující fx .
Jiří Zelinka Pokročilé numerické metody II, 2. přednáška 6 / 10
Metody Rungeho–Kutty (explicitní)
Motivace: prediktor–korektor.
Derivaci y′
(xi ) odhadujeme jako kombinaci hodnot směrového
pole (hodnoty f (x, y)) „poblíž“ (xi , yi ).
Explicitní metoda Rungeho–Kutty stupně s:
yi+1 = yi + h(b1k1 + b2k2 + · · · + bsks)
k1 = f (xi , yi )
k2 = f (xi + c2h, yi + ha21k1)
k3 = f (xi + c3h, yi + h(a31k1 + a32k2))
...
ks = f (xi + csh, yi + h
s−1
j=1
asj kj )
Jiří Zelinka Pokročilé numerické metody II, 2. přednáška 7 / 10
Butcherovy tabulky
c2 a21
c3 a31 a32
...
...
cs as1 as2 . . . as,s−1
b1 b2 . . . bs−1 bs
Podmínky řádu (ltei = O(hp+1
)):
p = 1:
s
j=1
bj = 1
p = 2:
s
j=1
bj = 1,
s
j=2
bj cj = 1
2
p = 3: předchozí +
s
j=2
bj c2
j = 1
3
,
s
j=3
j−1
l=2
bj ajl cl = 1
6
Jiří Zelinka Pokročilé numerické metody II, 2. přednáška 8 / 10
Další podmínka: cj =
j−1
l=1
ajl , splňují ji všechny používané
metody
Vztah mezi stupněm a řádem metody
p(s): maximální dossažitelný řád pro metodu stupně s
p(s) = s, s = 1, . . . , 4
p(5) = 4
p(6) = 5
p(7) = 6
p(8) = 6
p(9) = 7
p(s) ≤ s − 2, s ≥ 10
Jiří Zelinka Pokročilé numerické metody II, 2. přednáška 9 / 10
Metody druhého stupně (i řádu)
Obecná m. 2. řádu (ab = 1/2) Modifikovaná EM (midpoint EM)
a a
1 − b b
1/2 1/2
0 1
Ralstonova m. 2. řádu Heunova metoda
2/3 2/3
1/4 3/4
1 1
1/2 1/2
Jiří Zelinka Pokročilé numerické metody II, 2. přednáška 10 / 10