Pokročilé numerické metody II
3. přednáška
Metody Rungeho-Kutty – vlastnosti
Jiří Zelinka
Jiří Zelinka Pokročilé numerické metody II, 3. přednáška 1 / 13
Opakování
Metody Taylorova rozvoje
y(x+h) = y(x)+hy′
(x)+
1
2
h2
y′′
(x)+· · ·+
1
n!
hn
y(n)
(x)+O(hn+1
)
y′
(x) = f (x, y(x))
y′′
(x) = fx (x, y(x)) + fy (x, y(x))f (x, y(x))
y′′′
(x) = fxx + 2fxy f + fyy f 2
+ fx fy + f 2
y f
Jiří Zelinka Pokročilé numerické metody II, 3. přednáška 2 / 13
Metody Rungeho–Kutty (explicitní)
Explicitní metoda Rungeho–Kutty stupně s:
yi+1 = yi + h(b1k1 + b2k2 + · · · + bsks)
k1 = f (xi , yi )
k2 = f (xi + c2h, yi + ha21k1)
k3 = f (xi + c3h, yi + h(a31k1 + a32k2))
...
ks = f (xi + csh, yi + h
s−1
j=1
asj kj )
Jiří Zelinka Pokročilé numerické metody II, 3. přednáška 3 / 13
Butcherovy tabulky
c2 a21
c3 a31 a32
...
...
cs as1 as2 . . . as,s−1
b1 b2 . . . bs−1 bs
Podmínky řádu (ltei = O(hp+1
)):
p = 1:
s
j=1
bj = 1
p = 2:
s
j=1
bj = 1,
s
j=2
bj cj = 1
2
p = 3: předchozí +
s
j=2
bj c2
j = 1
3
,
s
j=3
j−1
l=2
bj ajl cl = 1
6
Jiří Zelinka Pokročilé numerické metody II, 3. přednáška 4 / 13
Další podmínka: cj =
j−1
l=1
ajl – splňují všechny používané
metody
Vztah mezi stupněm a řádem metody
p(s): maximální dossažitelný řád pro metodu stupně s
p(s) = s, s = 1, . . . , 4
p(5) = 4
p(6) = 5
p(7) = 6
p(8) = 6
p(9) = 7
p(s) ≤ s − 2, s ≥ 10
Jiří Zelinka Pokročilé numerické metody II, 3. přednáška 5 / 13
Příklady explicitních metod R–K
Metody druhého řádu
Modifikovaná EM (midpoint EM) Heunova metoda
1/2 1/2
0 1
1 1
1/2 1/2
Ralstonova m. 2. řádu Obecná m. 2. řádu (ab = 1/2)
2/3 2/3
1/4 3/4
a a
1 − b b
Jiří Zelinka Pokročilé numerické metody II, 3. přednáška 6 / 13
Příklady explicitních metod R–K
Metody vyšších řádů
Ralstonova m. 3. řádu Klasická m. R–K
1/2 1/2
3/4 0 3/4
2/9 1/3 4/9
1/2 1/2
1/2 0 1/2
1 0 0 1
1/6 1/3 1/3 1/6
Jiří Zelinka Pokročilé numerické metody II, 3. přednáška 7 / 13
Stabilita explicitních metod R–K
Testovací úloha vede na rovnici yi+1 = Ps(z)yi pro hλ = z,
Ps je polynom stupně s.
Podmínka stability: |Ps(z)| < 1,
oblast stability Ω = {z ∈ C; |Ps(z)| < 1}
Pro p = s ≤ 4 je Ps(z) =
p
j=0
zj
j!
, proto jsou oblasti stability pro
metody stejného stupně stejné.
Intervaly stability:
s 1 2 3 4
(−2, 0) (−2, 0) (−2.51, 0) (−2.79, 0)
Příklad: (částečně ve cvičení)
Jiří Zelinka Pokročilé numerické metody II, 3. přednáška 8 / 13
Implicitní metody Rungeho–Kutty
kl = f (xi + cl h, yi + h
s
j=1
alj kj ), l = 1, . . . , s
– systém nelineárních rovnic pro k1, . . . , ks v každém kroku.
Butcherovy tabulky
c1 a11 a12 . . . a1,s
c2 a21 a22 . . . a2,s
...
...
...
...
cs as1 as2 . . . as,s
b1 b2 . . . bs
Podmínky řádu jsou stejné jako pro explicitní metody.
Jiří Zelinka Pokročilé numerické metody II, 3. přednáška 9 / 13
Semi-implicitní metody Rungeho–Kutty
kl = f (xi + cl h, yi + h
l
j=1
alj kj ), l = 1, . . . , s
– jedna nelineární rovnice pro kl v l-tém každém kroku.
Butcherovy tabulky
c1 a11
c2 a21 a22
...
...
cs as1 as2 . . . as,s
b1 b2 . . . bs
Jiří Zelinka Pokročilé numerické metody II, 3. přednáška 10 / 13
Příklad – Rozšířená lichoběžníková metoda (TRX2):
y(xi+1) = yi +
xi+1
xi
f (t, y(t))dt
yi+1 = yi +
h
4
[f (xi , yi ) + 2f (xi+1/2, yi+1/2) + f (xi+1, yi+1)]
yi+1/2 = yi +
h
4
[f (xi , yi ) + f (xi+1/2, yi+1/2)]
yi+1 = yi+1/2 +
h
4
[f (xi+1/2, yi+1/2) + f (xi+1, yi+1)]
k1 = f (xi , yi )
k2 = f (xi +
1
2
h, yi +
1
4
h(k1 + k2))
k3 = f (xi + h, yi +
1
4
h(k1 + 2k2 + k3))
Jiří Zelinka Pokročilé numerické metody II, 3. přednáška 11 / 13
Butcherova tabulka
0 0
1
2
1
4
1
4
1 1
4
1
2
1
4
1
4
1
2
1
4
Stabilita metody
ve cvičení
Jiří Zelinka Pokročilé numerické metody II, 3. přednáška 12 / 13
Řízení délky kroku
Měníme krok h = hi tak, aby lokální chyba lei byla zhruba
pořád stejně velká.
Strategie EPS (error per step): ∥lei ∥ ≤ ε
Strategie EPUS (error per unit step): ∥lei ∥ ≤ hi ε
Odhad lokální chyby – metoda polovičního kroku
z yi určíme přibližnou hodnotu řešení ¯yi+1 s krokem h, pak
určíme přibližnou hodnotu ˜yi+1 se dvěma polovičními kroky
h/2.
Porovnáním ˜yi+1 a ¯yi+1 získáme odhad lokální chyby.
Jiří Zelinka Pokročilé numerické metody II, 3. přednáška 13 / 13